九年级数学(下)28.1第2课时余弦函数和正切函数课件

A
A的对边 A的邻边
=
a b
小试牛刀
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,
tanA的值（C ）
B
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
┌
2.已知∠A,∠B为锐角，
A
C
(1)若∠A=∠B,则cosA= cosB; (2)若tanA=tanB,则∠A =∠B.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;
3
.
4
锐角三角函数
典例精析
例5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求
sinA,cosA,tanA的值.
解：由勾股定理得
AC = AB2 BC2 = 102 62 =8,
因此 sin A BC = 6 = 3 ,
A
AB 10 5
B 10
6
C
cos A AC = 8 = 4 , tan A BC = 6 = 3 .
正切
想一想 我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大
小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角 的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常 数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个 常数呢？
问题 如图， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中
∠A=∠D =α ，∠C =∠F =90°， 则 BC EF 成立吗？ AC DF
解: 1 tan A BC
62 32 3 3
3.
AC
3
3
tan B AC 3 3 3 . BC 62 32 3 3 3
A
6
┌3
B
C
(1)
提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(2)如图(2),BC=3,tanA=
5 12
,求AC和AB.
解：由折叠的性质可得，CF=CD，
∠EFC=∠EDC=90°.
∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，
∴∠AFE+∠BFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，
∴由t勾an股∠定BC理F易= 3得. BF=6.
4
∴tan∠AFE=tan∠BCF=
例2 如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B
的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C= 4 ，DF=3， 5
求⊙O的半径．
解析：由于∠A、∠C所对的弧相同，因 此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的 比例关系，可用未知数表示出它们的长． 连接BD，易证△BDF∽△ABF，根据所得 比例线段即可求得未知数的值，从而得到 直径AB的长，从而得到⊙O的半径．
为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α，∠C =∠F = 90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴ BC AC . EF DF
即 BC·DF = AC·EF ，
α
α
∴
BC EF . AC DF
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直 角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个 常数，与直角三角形的大小无关．
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
问题引入
如图所示， △ABC和△DEF都是直角三角形，
其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则
AC AB
DF DE
成立吗？为什么？
α
α
余弦
互动探究
我们来试着证明前面的问题：
∵ ∠A=∠D=α ，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E.
从而 sin B sin E.
解: 2 tan A BC 5 , BC 3,
A
AC 12
3 5 , AC 312 36 .
AC 12
55
∴AB
AC2 BC2
36
2
5
32
39 . 5
B
┌3 C
(2)
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝3 ， 4
求：sinA、cosB的值．
B
解：∵
tan
A
BC AC
3 4
，
AC
8，
BC 3 AC 3 8 6
4
4
C
8
A
AB AC 2BC2 82 62 10
sin A BC 6 3，cos B BC 6 3 .
AB 10 5
AB 10 5
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ 15 ，求sinA、
因此 AC DF .
AB DE
α
α
由此可得，在有一个锐角等于α的所有 直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是 一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角α的邻边 与斜边的比叫作角α的余弦，记作cos α，即
cos
角 的邻边
斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α， 有
2
3
练一练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3）， 那么cosα的值是（ D ）
3
4
A.
B.
4
3
3
4
C.
D.
5
5
2.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°， 则直角边BC的长是（ A ）
A. m sin 35 m
C.
cos 35
B. m cos 35 m
D.
cos 35
由此得出 AC = 3BC, 因此 tan 30 BC BC 3 ,
AC 3BC 3
因此tan 60 AC 3BC 3.
BC BC
例4 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE 将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
解析：根据题意，结合折叠的性质， 易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC 中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易 得BF的长，根据三角函数的定义，易 得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF， 可得tan∠AFE的值．
解：连接BD．
在⊙O中，∠C=∠A，
∴cosA=cosC=
4 5
.
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
设AB=4x，则AF=5x，
由勾股定理得，BF=3x． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
BF AF
=
DF BF
，即
3x 5x
=
3 3x
，解得x
5 3
.
∴⊙O的半径为 1 AB 2x 10 .
AB 10 5
AC 8 4
余弦函数 和
正切函数
课堂小结
余弦
在直角三角形中，锐角α的邻边 与斜边的比叫做角α的余弦
正切
在直角三角形中，锐角α的对边 与邻边的比叫做角α的正切
性质
α确定的情况下，cosα,tanα为定 值，与三角形的大小无关
sin
A
A的对边 斜边
=
a c
cos
A
A的邻边 斜边
=
b c
tan
cosα=sin (90°-α) 从而有
sinα=cos (90°-α)
典例精析
例1 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解: cos30°=sin (90°-30°)=sin60°3 = 2
； cos60°=sin (90°-60°)=sin301°; = 2
cos45°=sin (90°-45°)=sin452°. = 2
17
tanA的值．
B
解：∵ cos A AC 15 AB 17
∴设AC=15k，则AB=17k
A
C
所以 BC AB2 AC2 (17k)2 (15k)2 8k
sin A BC 8k 8 , AB 17k 17
tan A BC 8k 8 . AC 15k 15
如下图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边 与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα， 即
α
tan =
角 的对边 角的邻边
.
典例精析 例3 求 tan30°，tan60°的值.
解 如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°， 于是 BC = 1 AB, ∠B=60°.
2
从而 AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.