小升初专题——鸡兔同笼

鸡兔同笼问题
一、鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头；从下面数，有94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94 只变成了47 只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1 ．因此，脚的总只数47 与总头数35 的差，就是兔子的只数，即47 - 35 = 12 （只）．显然，鸡的只
数就是35 -12 = 23 （只）了．
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．
假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2 倍
当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2 倍
在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法
模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题
【例1】鸡兔同笼，头共46 ，足共128 ，鸡兔各几只？
【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35 个头，94 只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？
【例2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36 只眼睛和52 只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？
【例3】一队猎手一队狗，两队并着一起走。

数头一共一百六，数脚一共三百九，则有名猎手，只狗。

【例4】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208 只，鸵鸟比梅花鹿多20 只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【巩固】一个养殖园内，鸡比兔多36 只，共有脚792 只，鸡兔各几只？
【例5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107 只，兔的脚数比鸡的脚数多56 只，问鸡、兔各多少只？
【巩固】鸡、兔共100 只，鸡脚比兔脚多20 只.问：鸡、兔各多少只?
【例6】鸡与兔共100 只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
【例7】每只完整的螃蟹有 2 只鳌、8 只脚。

现有一批螃蟹，共有 25 只鳌，120 只脚。

其中可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留 1 只鳌、4 只脚。

这批螃蟹最多有只，至少有只。

模块二、两个量的“鸡兔同笼”问题——变例
【例8】在一个停车场上，现有车辆41 辆，其中汽车有4 个轮子，摩托车有3 个轮子，这些车共有127 个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？
【巩固】某玩具店新购进飞机和汽车模型共30 个，其中飞机模型每个有 3 个轮子，汽车模型每个有4 个轮子，这些玩具模型共有110 个轮子。

则新购进的飞机模型有个。

【例9】体育老师买了运动服上衣和裤子共21 件，共用了439 元，其中上衣每件24 元、裤子每件19 元，问老师买上衣和裤子各多少件？
【例10】100 名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有 41 组。

问：高、低年级学生各多少人?
【巩固】三(1 )班有象棋、飞行棋共14 副，恰好可供全班40 名同学同时进行活动．象棋要2 人下一副，飞行棋要4 人下一副，则飞行棋和象棋各有几副？
【例11】某学校有30 间宿舍，大宿舍每间住6 人，小宿舍每间住4 人．已知这些宿舍中共住了168 人，那么其中有多少间大宿舍？
【巩固】王老师带了41 名同学去北海公园划船，共租了10 条船．每条大船坐6 人，每条小船坐4 人，问大船、小船各租几条？
【例12】李明和张亮轮流打一份稿件，李明每天打15 页，张亮每天打10 页，他们一连打了25 天，平均每天打12 页，问李明、张亮各打了多少天？
【巩固】小伟和小丽计划用50 天假期练习书法：将3755 个一级常用汉字练习一遍。

小伟每天练73 个汉字，小丽每天练80 个汉字，每天只有一人练习，每人每天练习的字各不相同，这样，他们正好在假期结束
时完成计划。

他们各练习了多少天？
【例13】松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采14 个．它一连几天采了112 个松果，平均每天采14 个．问这几天中有几个雨天？
【巩固】小松鼠采松果，晴天每天可以采10 个，雨天每天只能采6 个．它一连几天采了80 个松果，平均每天采8 个．那么其中有几天是雨天呢？
【例14】使用甲种农药每千克要兑水20 千克，使用乙种农药每千克要兑水40 千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50 千克，要配药水1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？
【例15】孙阿姨有贰元人民币和伍元人民币共62 张，合计226 元，孙阿姨这两种人民币各有多少张？【巩固】小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17 张，问两种邮票各买多少张？
【例16】从前有座ft，ft里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38 根扁担和58 个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？【巩固】100 个和尚140 个馍，大和尚1 人分3 个馍，小和尚1 人分1 个馍．问：大、小和尚各有多少人？
【例17】（中国古代僧粥问题）一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少个，小和尚有多少个？
【例18】小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了3 分钟，然后两人各做了5 分钟，一共做仰卧起坐136 次．已知每分钟小建比小雷平均多做4 次，那么小建比小雷多做了多少次？
【例19】工人运青瓷花瓶250 个，规定完整运到目的地一个给运费20 元，损坏一个倒赔100 元．运完这批花瓶后，工人共得4400 元，则损坏了多少个？
【巩固】乐乐百货商店委托搬运站运送100 只花瓶．双方商定每只运费1 元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1 元，结果搬运站共得运费92 元．问：搬运过程中共打破了几只花瓶？。