山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件：第2章 第12节 导数的应用

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当 0＜x＜ 2a时，f′(x)＜0；当 x＞ 2a时，f′(x)＞0 所以(0， 2a)是 f(x)的减区间，( 2a，＋∞)是 f(x)的增区间， 综合：当 a≤0 时，f(x)的增区间是(0，＋∞)， 当 a＞0 时，f(x)的减区间是(0， 2a)，f(x)的增区间是( 2a， ＋∞)．
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第十四页，编辑于星期日：九点 五分。
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要证 x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤1＋1 x，只需证明 ex≥x＋1. 记 K(x)＝ex－x－1，则 K′(x)＝ex－1，当 x∈(0,1)时， K′(x)>0，因此 K(x)在[0,1]上是增函数，故 K(x)≥K(0)＝0. 所以 f(x)≤1＋1 x，x∈[0,1]． 综上，1－x≤f(x)≤1＋1 x，x∈[0,1]．
所以要使方程 f(x)＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根， k 的取值范围是ae＋a＋24，－a.
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规律方法 1 1.在解答本题(2)时应判断 f(x)＞f(0)是否成立， 这是容易忽视的地方．
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第十三页，编辑于星期日：九点 五分。
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【思路点拨】 利用构造法，分别判断 f(x)与 1－x，f(x)与1＋1 x 的大小关系；利用比较法或构造函数，通过导数求解未知数范围．
【尝试解答】 (1)证明：要证 x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x， 只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)ex.记 h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，则 h′(x)＝x(ex－e－x)，当 x∈(0,1)时，h′(x)>0，因此 h(x)在[0,1]上 是增函数，故 h(x)≥h(0)＝0.所以 f(x)≥1－x，x∈[0,1]．
记 H(x)＝x－2sin x，则 H′(x)＝1－2cos x，当 x∈(0,1)时，
H′(x)<0，于是 G′(x)在[0,1]上是减函数，从而当 x∈(0,1)时，
G′(x)<G′(0)＝0，故 G(x)在[0,1]上是减函数．于是 G(x)≤G(0)
＝2，从而 a＋1＋G(x)≤a＋3.
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法二：先证当 x∈[0,1]时，1－12x2≤cos x≤1－14x2. 记 F(x)＝cos x－1＋12x2，则 F′(x)＝－sin x＋x. 记 G(x)＝－sin x＋x，则 G′(x)＝－cos x＋1，当 x∈(0,1)时， G′(x)>0，于是 G(x)在[0,1]上是增函数，因此当 x∈(0,1)时， G(x)>G(0)＝0，从而 F(x)在[0,1]上是增函数，因此 F(x)≥F(0)＝0， 所以当 x∈[0,1]时，1－12x2≤cos x.
2.对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数， 借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化.
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第二十二页，编辑于星期日：九点 五分。
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对点训练 设 a 为实数，函数 f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 a＞ln 2－1 且 x＞0 时，ex＞x2－2ax＋1. 【解】 (1)由 f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，f′(x)＝ex－2，x∈ R.令 f′(x)＝0，得 x＝ln 2. 于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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第四页，编辑于星期日：九点 五分。
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【尝试解答】 (1)由 f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得 f′(x)＝ex[ x2＋(a＋2)x]． 当 a＝1 时，f(1)＝e，f′(1)＝4e. 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－e＝4e(x－1)， 即 y＝4ex－3e. (2)令 f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0， 解得 x＝－(a＋2)或 x＝0. 当－(a＋2)≤0，即 a≥－2 时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0， 所以 f(x)是[0，＋∞)上的增函数， 所以方程 f(x)＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．
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挖
掘
１
大
技
法 掌
握 ３
第十二节 导数的应用(二)
个
核
心
考
向
课
堂
限
时
检
测
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[考情展望] 1.利用导数解决生活中的优化问题.2.导数与方 程、函数零点、不等式等知识交汇命题，综合考查分析问题和解 决问题的能力．
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I′(x)＝1－＋1x2＋G′(x)，当 x∈(0,1)时，I′(x)<0. 故 I(x)在[0,1]上是减函数， 于是 I(x)在[0,1]上的值域为[a＋1＋2cos 1，a＋3]． 因为当 a>－3 时，a＋3>0，所以存在 x0∈(0,1)，使得 I(x0)>0， 此时 f(x0)<g(x0)，即 f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立． 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．
2．该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值 等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含 参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
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对点训练 (2014·威海模拟)设 f(x)＝ln x＋xa2. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)的零点个数． 【解】 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞) ∵f′(x)＝1x－2xa3 ＝x2－x32a 当 a≤0 时，f′(x)＞0，(0，＋∞)是 f(x)的增区间， 当 a＞0 时，令 f′(x)＝0，x＝± 2a，(负舍去)
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第十九页，编辑于星期日：九点 五分。
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同理可证，当 x∈[0,1]时，cos x≤1－14x2.
综上，当 x∈[0,1]时，1－12x2≤cos x≤1－14x2.
因为当 x∈[0,1]时，
f(x)－
g(x)
＝
(1
＋
x)e －
2x
－ ax＋x23＋1＋2xcos
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当12(ln 2a＋1)＞0，即 a＞21e时 f(x)无零点， 当12(ln 2a＋1)＝0，即 a＝21e时，f(x)有一个零点， 当12(ln 2a＋1)＜0，即 0＜a＜21e时 f(x)有 2 个零点． 综上：当 a＞21e时 f(x)无零点，当 a＝21e或 a＝0 时 f(x)有一个 零点，当 0＜a＜21e时 f(x)有 2 个零点．
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所以，当 a≤－3 时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立． 下面证明，当 a>－3 时 ，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立． f(x)－g(x)≤1＋1 x－1－ax－x23－2xcos x ＝1－＋xx－ax－x23－2xcos x ＝－x1＋1 x＋a＋x22＋2cos x， 记 I(x)＝1＋1 x＋a＋x22＋2cos x＝1＋1 x＋a＋G(x)，则
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考向一 [041] 导数在方程(函数零点)中的应用 (2014·长沙模拟)已知函数 f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中
a 是常数． (1)当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若存在实数 k，使得关于 x 的方程 f(x)＝k 在[0，＋∞)上
由上表可知函数 f(x)在[0，＋∞)上的最小值为 f(－(a＋2))＝
a＋4 ea＋2 .
服/务/教/师 免/费/馈/赠返回菜单第六页，编辑于星期日：九点 五分。
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因为函数 f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋ ∞)上的增函数，且当 x≥－a 时，有 f(x)≥e－a(－a)＞－a，又 f(0) ＝－a.
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当－(a＋2) ＞0，即 a＜－2 时，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况
如下表：
x
0 (0，－(a＋2)) －(a＋2) (－(a＋2)，＋∞)
f′(x) 0
－
0
＋
f(x) －a
a＋4 ea＋2
有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．
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【思路点拨】 (1)先求切点、切线斜率，再求切线方程； (2)利用导数判断函数 f(x)在[0，＋∞)上的变化情况，数形结 合求解．
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所以 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，
当 a＞0 时，由(1)f(x)在(0， 2a)上是减函数，f(x)在( 2a，＋
∞)上是增函数，
所以当 x＝ 2a时，f(x)有极小值，
即最小值 f( 2a)＝12(ln 2a＋1)．
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(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当 a＝
0 时有零点 x＝1，
当 a＜0 时，f(ea)＝a(e－2a＋1)＜0，f(e－a)＝a(e2a－1)＞0，(或
当 x→＋0 时，f(x)→－∞，当 x→＋∞时，f(x)→＋∞)，
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第十二页，编辑于星期日：九点 五分。
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考向二 [042] 导数在不等式中的应用 (2013·辽宁高考)已知函数 f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax ＋x23＋1＋2xcos x．当 x∈[0,1]时， (1)求证：1－x≤f(x)≤1＋1 x； (2)若 f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围．
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第二十一页，编辑于星期日：九点 五分。
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规律方法 2 1.本例第1问不等式的证明利用构造函数法， 通过导数证明，考查简单的转化化归能力，第2问的两种解法都 对转化化归能力进一步升级考查，法一利用第一问的结论进行转 化，法二通过构造函数，两次利用导数转化.
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第十五页，编辑于星期日：九点 五分。
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(2)法一：f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－ax＋x23＋1＋2xcos
x≥1－
x－ax－1－x23－2xcos
x＝－xa＋1＋x22＋2cos
x，
设 G(x)＝x22＋2cos x，则 G′(x)＝x－2sin x.
x≥(1
－
x)
－
ax
－x23－1－2x1－14x2＝－(a＋3)x.
所以当 a≤－3 时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．
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第二十页，编辑于星期日：九点 五分。
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下面证明，当 a＞－3 时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立． 因为 f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－ax＋x23＋1＋2xcos x≤1＋1 x－1 －ax－x23－2x1－12x2 ＝1＋x2 x＋x23－(a＋3)x≤32xx－23a＋3， 所以存在 x0∈(0,1)例如x0取a＋3 3和12中的较小值 满足 f(x0)<g(x0)，即 f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立． 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．