浅谈常微分方程的数值解法及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
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方程
， （1）
为常微分方程。其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶。例如 ， ，是一阶常微分方程。 是二阶常微分方程。设 定义于区间 上，有直到 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于 的恒等式，即
，
就称 ＝ 为（1）的一个定义于 上的解，并称 为该解的定义区间。[5]
2.2
在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
3 常微分方程的数值
3.1 常微分方程求解的数学思想
从常微分发展历程可以看出，化归是常微分方程的重要数学思想方法，常数变易法、代换法、级数解法、逐次逼近法、算子法、相平面分析法等，都是用联系、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，化归解决的。非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题， 高阶方程问题化为低阶方程问题，在常微分方程发展的各个阶段包含着这种化归范例。
常微分方程发展的初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨成专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉则试图用积分因子统一处理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。[8]
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔在1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”，转向“求定解”时代。同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数幂级数等近似方法的研究。[8]
， ，其中 （1）
值 称为步长。然后近似解
在 上， （2）
设 ， 和 连续，利用泰勒定理将 在 处展开，对每个值 ，存 在一个 和 之间的值 ，使得
， （3）
将 和 代人等式（3），得到 的表示：
， （4）
如果步长 足够小，则可以忽略 2 次项（包含 的项），得到
， （5）
这就是欧拉近似。
重复该过程，就能得到近似解曲线 的一个点序列。欧拉方法的一般步骤是
(1)
这里 是充分光滑，即关于 或 ，满足李普希茨条件的二元函数， 是给定的初始值， 称为初始条件[5]。
2.3初值
一个常微分方程是不是有特解呢?如果有，又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。这个重要的存在和唯一性就是下面列出的著名的存在惟一性定理。
（3）
并且一般有
， （4）
其中 为导数算子
，
区间 上的初值问题 的近似数值解可由各子区间 上的公式（1）来推导。 次泰勒方法的一般步骤为
， （5）
其中在各步 有 。
次泰勒方法的最终全局误差是 阶的，因此可选择所需大小的 ，使得误差足够小。如果 是固定，则理论上可以推导出步长 ，使之满足任意的最终全局误差。然而在实际运算中，通常用 和 计算两个近似结果集，然后比较其结果[9]。
Keywords:ordinary differential equation, the numerical solution,applications
1绪论1
1.1问题的背景1
1.2问题的意义1
2常微分方程概念介绍3
2.1常微分方程概况3
2.2常微分方程初值问题描述3
2.3初值问题(1)解的存在惟一性定理3
常系数非齐次线性微分方程，经采用欧拉的待定指数函数法，将求解问题化归为代数方程根的问题，从而省去了积分运算，这是十分引人入胜的。皮卡逼近法，将微分方程的解问题化归为积分方程的解问题，进而化归为一致收敛的函数列问题，完全符合化难为易，化未知为已知，化繁为简的化归原则。拉普拉斯变换将常系数线性非齐次微分方程的边值问题，化归为关于未知函数的拉氏变换像函数的代数方程问题。
（7） 是转（8）
(8） stop
3.2.2 泰勒级数法
泰勒级数法有着广泛的应用，并且是比较求解初值问题的各种不同数值方法的标准，它可设计为任意指定的精度。下面首先将泰勒定理用新的公式表示，使之适合于求解微分方程。
定理（泰勒定理）设 ，且 在不动点 处有 次泰勒级数展开：
，（1）
其中，
， （2）
表示函数 关于 的 次全导数。求导公式可以递归地计算：
常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。[2]
1.2问题的意义
常微分方程的概念、解法和相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，不过能够求出通解的情况不多，在实际应用中多是求满足某种指定条件的特解。我们知道，自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。[3]
3.2 常微分方程的数值
3.2.1 Euler 法
Euler法是最简单的数值方法， 为求解良态初值问题 ， 的区间。实际上，下面的过程不是要找到满足该初值问题的可微函数，而是要生成点集 ，并且将这些点作为近似解，即 。如何构造“近似满足微方程”的“点集”呢？首先为这些点选择横坐标，为方便起见，将区间 划分为 个等距子区间，并选择网络点
5结论23
参考文献24
致谢26
1 绪 论
1.1 问题的背景
微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。[1]
设计
（ 201 届）
浅谈常微分方程的数值解法及其应用
所在学院
专业班级信息与计算科学
学生姓名学号
指导教师职称
完成日期年月
摘要：对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值有其重大意义。针对于此，本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进行了综述研究，探讨了一些数值解法的应用。
2.4常微分微分方程产生的历史背景以及发展4
3常微分方程的数值解法6
3.1常微分方程求解的数学思想6
3.2常微分方程的数值解法6
3.2.1 Euler法6
3.2.2泰勒级数法8
3.2.3龙格—库塔方法9
3.2.4预报—校正方法11
4常微分方程的数值解法的应用13
4.1Байду номын сангаас轨计算13
4.2司机饮酒驾车防避模型16
关键词：常微分方程 ，数值解法，应用
Numerical Solution of Differential Equation and ItsApplications
Abstract:for some simple and typical differential equation model,such as linear equation, some special first-order nonlinear equation can be managed to find out its analytical solution,but in mathematical modeling of ordinary differential equation met in initial value problem model,it is often hard to,even can't find out the analytical solution,but only for its approximatesolution.Therefore, study the numerical method for quick get numerical has its great significance. Based on this,the paper initial value problems of differential equation model of existing problem is summarized in the numerical method and discusses some numerical solution of application.
， 其中 [8]（6）
例1 用欧拉方法求解初值问题 ，取步长 ，计算过程保留四位数字。
解 ， ，首先建立欧拉迭代格式
（1）当 ， 时，已知 ， ，有 ；
（2）当 ， 时，已知 ， ，有
；
（3）当 ， 时，已知 ， ，有
；
Euler算法的程序设计
（1） 送初值 ，打印
（2）
（3）
（4）
（5） 打印
（6）
19世纪末。天体力学中的太阳系稳定性问题需研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转化为“求所有解时代”。[8]
20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求所有解”转入求“求特殊解”时代，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子等。塞蒙斯成如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏，这是初等微积分的天然后的继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。”[9]
“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一。由此可见，“常微分方程”在我们的理论学习和实际应用中具有很重要的地位和实用性，成为我们发现定理和解决问题的重要方法之一。[4]
2常微分方程概念介绍
2.1 常微分方程概况
我们知道微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。
定理 如果 在矩形区域 上连续且关于 满足利普希茨条件，即存在正常数 ，使得
对所有的 以及所有 、 都成立，则（1）存在惟一的连续可微解 [6]。
2.4
微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。常微分方程是属于数学分析的一支，是数学中与应用密切的相关的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本的理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。而数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。[7]
， （1）
为常微分方程。其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶。例如 ， ，是一阶常微分方程。 是二阶常微分方程。设 定义于区间 上，有直到 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于 的恒等式，即
，
就称 ＝ 为（1）的一个定义于 上的解，并称 为该解的定义区间。[5]
2.2
在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
3 常微分方程的数值
3.1 常微分方程求解的数学思想
从常微分发展历程可以看出，化归是常微分方程的重要数学思想方法，常数变易法、代换法、级数解法、逐次逼近法、算子法、相平面分析法等，都是用联系、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，化归解决的。非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题， 高阶方程问题化为低阶方程问题，在常微分方程发展的各个阶段包含着这种化归范例。
常微分方程发展的初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨成专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉则试图用积分因子统一处理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。[8]
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔在1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”，转向“求定解”时代。同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数幂级数等近似方法的研究。[8]
， ，其中 （1）
值 称为步长。然后近似解
在 上， （2）
设 ， 和 连续，利用泰勒定理将 在 处展开，对每个值 ，存 在一个 和 之间的值 ，使得
， （3）
将 和 代人等式（3），得到 的表示：
， （4）
如果步长 足够小，则可以忽略 2 次项（包含 的项），得到
， （5）
这就是欧拉近似。
重复该过程，就能得到近似解曲线 的一个点序列。欧拉方法的一般步骤是
(1)
这里 是充分光滑，即关于 或 ，满足李普希茨条件的二元函数， 是给定的初始值， 称为初始条件[5]。
2.3初值
一个常微分方程是不是有特解呢?如果有，又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。这个重要的存在和唯一性就是下面列出的著名的存在惟一性定理。
（3）
并且一般有
， （4）
其中 为导数算子
，
区间 上的初值问题 的近似数值解可由各子区间 上的公式（1）来推导。 次泰勒方法的一般步骤为
， （5）
其中在各步 有 。
次泰勒方法的最终全局误差是 阶的，因此可选择所需大小的 ，使得误差足够小。如果 是固定，则理论上可以推导出步长 ，使之满足任意的最终全局误差。然而在实际运算中，通常用 和 计算两个近似结果集，然后比较其结果[9]。
Keywords:ordinary differential equation, the numerical solution,applications
1绪论1
1.1问题的背景1
1.2问题的意义1
2常微分方程概念介绍3
2.1常微分方程概况3
2.2常微分方程初值问题描述3
2.3初值问题(1)解的存在惟一性定理3
常系数非齐次线性微分方程，经采用欧拉的待定指数函数法，将求解问题化归为代数方程根的问题，从而省去了积分运算，这是十分引人入胜的。皮卡逼近法，将微分方程的解问题化归为积分方程的解问题，进而化归为一致收敛的函数列问题，完全符合化难为易，化未知为已知，化繁为简的化归原则。拉普拉斯变换将常系数线性非齐次微分方程的边值问题，化归为关于未知函数的拉氏变换像函数的代数方程问题。
（7） 是转（8）
(8） stop
3.2.2 泰勒级数法
泰勒级数法有着广泛的应用，并且是比较求解初值问题的各种不同数值方法的标准，它可设计为任意指定的精度。下面首先将泰勒定理用新的公式表示，使之适合于求解微分方程。
定理（泰勒定理）设 ，且 在不动点 处有 次泰勒级数展开：
，（1）
其中，
， （2）
表示函数 关于 的 次全导数。求导公式可以递归地计算：
常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。[2]
1.2问题的意义
常微分方程的概念、解法和相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，不过能够求出通解的情况不多，在实际应用中多是求满足某种指定条件的特解。我们知道，自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。[3]
3.2 常微分方程的数值
3.2.1 Euler 法
Euler法是最简单的数值方法， 为求解良态初值问题 ， 的区间。实际上，下面的过程不是要找到满足该初值问题的可微函数，而是要生成点集 ，并且将这些点作为近似解，即 。如何构造“近似满足微方程”的“点集”呢？首先为这些点选择横坐标，为方便起见，将区间 划分为 个等距子区间，并选择网络点
5结论23
参考文献24
致谢26
1 绪 论
1.1 问题的背景
微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。[1]
设计
（ 201 届）
浅谈常微分方程的数值解法及其应用
所在学院
专业班级信息与计算科学
学生姓名学号
指导教师职称
完成日期年月
摘要：对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值有其重大意义。针对于此，本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进行了综述研究，探讨了一些数值解法的应用。
2.4常微分微分方程产生的历史背景以及发展4
3常微分方程的数值解法6
3.1常微分方程求解的数学思想6
3.2常微分方程的数值解法6
3.2.1 Euler法6
3.2.2泰勒级数法8
3.2.3龙格—库塔方法9
3.2.4预报—校正方法11
4常微分方程的数值解法的应用13
4.1Байду номын сангаас轨计算13
4.2司机饮酒驾车防避模型16
关键词：常微分方程 ，数值解法，应用
Numerical Solution of Differential Equation and ItsApplications
Abstract:for some simple and typical differential equation model,such as linear equation, some special first-order nonlinear equation can be managed to find out its analytical solution,but in mathematical modeling of ordinary differential equation met in initial value problem model,it is often hard to,even can't find out the analytical solution,but only for its approximatesolution.Therefore, study the numerical method for quick get numerical has its great significance. Based on this,the paper initial value problems of differential equation model of existing problem is summarized in the numerical method and discusses some numerical solution of application.
， 其中 [8]（6）
例1 用欧拉方法求解初值问题 ，取步长 ，计算过程保留四位数字。
解 ， ，首先建立欧拉迭代格式
（1）当 ， 时，已知 ， ，有 ；
（2）当 ， 时，已知 ， ，有
；
（3）当 ， 时，已知 ， ，有
；
Euler算法的程序设计
（1） 送初值 ，打印
（2）
（3）
（4）
（5） 打印
（6）
19世纪末。天体力学中的太阳系稳定性问题需研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转化为“求所有解时代”。[8]
20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求所有解”转入求“求特殊解”时代，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子等。塞蒙斯成如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏，这是初等微积分的天然后的继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。”[9]
“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一。由此可见，“常微分方程”在我们的理论学习和实际应用中具有很重要的地位和实用性，成为我们发现定理和解决问题的重要方法之一。[4]
2常微分方程概念介绍
2.1 常微分方程概况
我们知道微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。
定理 如果 在矩形区域 上连续且关于 满足利普希茨条件，即存在正常数 ，使得
对所有的 以及所有 、 都成立，则（1）存在惟一的连续可微解 [6]。
2.4
微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。常微分方程是属于数学分析的一支，是数学中与应用密切的相关的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本的理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。而数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。[7]