平面向量数量积的最值问题求解策略

平面向量数量积的最值问题，是各级各类考试
的热点。

本文拟从一道填空题入手，探究平面向量
数量积的最值问题的多种解法，并通过反思提炼以
及解法活用，促进学生实现对知识的融会贯通和方
法的灵活运用，提高学生的解题能力。

［题目］已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的
两条切线，A、B为两切点，那么
PA·
PB的最小值为。

一、多解探究
平面向量具有代数和几何的双重属性，求解平
面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何
角度去寻找解题思路，代数化、坐标化和几何化都
是最常见的解题策略。

思路1：利用定义代数化，直接利用平面向量
数量积的定义，借助基本不等式求解。

解法1：如图1所示
设|
|OP=x
，∠APO=θ，则
|
|PA
=x2-1，cos2θ=1-
2sin2θ=1-2x2，所以 PA·
PB=|| PA|| PB cos2θ=|| PA2cos2θ=（x2-1）(1-
2
x2)=x2+2x2-3≥22-3，当且仅当x2=2时
等号成立，所以（
PA·
PB）min=22-3。

思路2：利用平面向量的基底转化运算。

解法2：如图2所示，设
AB的中点为M，设|
|OM=x，在
Rt△PAO中，由直角三角形射
影定理得|
|OA2=||OM×
|
|OP，|
|MA2=||OM||PM，所以
|
|OP=1x，||PM=1x-x，所以 PA· PB=（ PM+ MA）·
（
PM+
MB）=（
PM+
MA）（
PM-
MA）=|| PM2-
|
| MA2=||PM2-||OM||PM=()1x-x2-x1x-x)=
2x2+1x2-3≥22-3，当且仅当x2
成立，所以（
PA·
PB）min=22-3。

思路3：利用平面向量的极化恒等式加以转化。

解法3：如图2所示，在Rt△PAO中，由直角三角
形射影定理有|
|OA2=||OM||OP，所以||OP=1||OM，
PA·
PB=14[]
（
PA+
PB）2-（ PA- PB）2=14éëê（2 PM）2-
|| AB2ù
û
ú=14[]
（2
PM）2-（2 AM）2=|| PM2-|| AM2=
（|
|OP-|
|OM）2-()
|
|OA2-||OM2=(1||OM-||OM)2-
()
|
|OA2-||OM2 =2||OM2+1||OM2-3≥22-3，当
且仅当|
|OM=时等号成立，所以（
PA·
PB）min=
22-3。

思路4：建立平面直角坐标系，利用坐标运算
求解。

解法4：如图3所示，建立平面直角坐标系，设
A（x，y），P（x0，0），则B（x，-y），x2+y2=1，所以 PA=
（x-x0 ，y），
PB = （x-x0，-y），所以
PA·
PB=x2-
2xx0+x20-y2=2x2+x20-2xx0-1，又 OA· PA=0，
所以
PA·
PB=2x2+x20-2xx0-
1=2x2+x20-3≥22x2x20-3=
22-3，当且仅当2x2=x20，
即x=124时等号成立，所以
（
PA·
PB）min=22-3。

思路5：利用平面向量数量积定义，换元转化
为分式型最值问题。

解法5：如图1所示，设∠APO=θ，则
PA·
图1
图2
图3
平面向量数量积的最值问题求解策略
福建闽侯县第六中学（350108）　林　芬
［摘　要］文章从一道求解平面向量数量积的最值的填空题入手，探究平面向量数量积的最值问题的多种解法，通过反思提炼，以提高学生的解题能力。

［关键词］平面向量；数量积；最值问题
［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2024）08-0024-03数学·解题研究
PB =||PA 2
cos 2θ，在Rt△PAO 中，tan θ=
1
|
|PA ，因为cos 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=||PA 2
-1
||PA 2+1
，所以 PA· PB =
||PA 2
||PA 2
-1||PA 2
+1
，令||PA 2
=t ，则 PA· PB =t 2-t t +1=t +1+2
t +1
-3≥2
2-3，当且仅当t +1=2，
即t =
2-1时等号成立，所以（ PA·
PB ）min =2
2-3。

二、反思提炼
求解平面向量数量积的最值问题，最基本的思
路就是结合数量积定义与向量运算公式，选择恰当
的方法将平面向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题。

这类问题一般有以下几种转化方向：
利用数量积的定义，借助平面几何知识，转化为关于某个变量的函数，如思路1；利用向量运算（三角形法则）和平面图形的几何性质转为关于某个变量的函数，如思路2；利用向量极化恒等式：～a·～b =14
[]
（～a +～b ）2-（～a -～b ）2进行转化，如思路3； 建立平面直角坐标系，把问题转化为坐标运算，如思路4；设角度，把问题转化为三角函数问题后，换元化为分式型的最值问题，如思路5。

建立目标函数后求最值，需具体问题具体分析。

求最值问题一般有两种方法：一是利用几何意义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值
不等式法求解。

三、解法活用［例1］已知圆O 的半径是1，直线PA 与圆O 相
切于点A ，过点P 的直线PB 与圆O 交于B 、C 两点，且点A 与点O 在直线PB 的两侧，点D 为BC 的中点，若|
| PA =3，则 PA· PD 的最大值为 。

分析：依题意求出PO =2，∠APO =π6
，设∠CPO =α，
将 PA· PD 转化为α的函数，由三角函数的最值求解。

解：依题意，如图4所示，在
Rt△AOP 中，AO =1，
AP =3，所以PO =2，∠APO =π
6
，设∠CPO =
α，
α∈(0，π
6
)
，在Rt△DOP 中，PD =PO cos α=2cos α，
PA· PD =|| PA |
| PD cos ()
π6-α=
3×2cos αcos
()
π
6
-α=23cos α
α+12sin α)
=32cos 2α2α+
32
=3sin ()2α+
π3+32，由于α∈()0，π
6
，则2α+π3∈()
π3，2π3，当2α+π3=π
2
时，sin ()
2α+π3=1，此时 PA ⋅ PD 取得最大值3
2
+3。

点评：本题结合平面向量数量积定义和几何图
形特征，将原问题转化为三角函数的最值问题。

［例2］已知向量～a ，～b ，～e 满足|
|～e =1，～a·～e =1，～b·
～e =2，|
|～a -～b =2，则～a·～
b 的最小值是 。

分析：由题意知，若～e =（1，0），设～a =（1，m ），～
b =
（2，n ），求出～a +～b 、～a -～
b 的坐标。

思路1：根据～a·～b =()～a +～b 22-()
～a -～b 2
2
求最小值。

思路2：由已知|
|
～a -～b =1+（m -n ）2=2，结合基本不等式求mn 的取值范围，再由平面向量数
量积坐标表示求～a·～
b 的最小值；注意取值条件。

解法1：由题意，若～e =（1，0），设～a =（1，m ），～
b =
（2，n ），则～a +～b =（3，m +n ），～a -～b =（-1，m -n ），～a·～b =()～a +～b 22-()
～a -～b 22=14[9+（m +n ）2
-4]=14
[5+（m +n ）2
]≥54，当且仅当m +n =0时等号成立，故～a·～b 的最小值为54。

解法2：|
|～a -～b =1+（m -n ）2=2，即（m -n ）2
=
3，
由基本不等式得mn ≥-34
，当且仅当m =-n 时等号成立，故～a·～b =2+mn ≥2-34=54
，所以～a·～b 的最小值为54。

点评：解法1采用了向量极化恒等式，通过配方法求最值；解法2采用了坐标法，利用基本不等式求最值。

［例3］已知|| OA =|| OB =|
| OC =1， OA·
OB =0，|
| OP ≤1，则 AP· BP + BP· CP + CP· AP 的最大值
为 。

分析：利用向量的减法法则，把 AP ， BP ，
CP 转化为 OA ，
OB ， OC ， OP 进行求解。

图4
数学·解题研究
解：设M=
AP·
BP+
BP·
CP+
CP·
AP，则M=
（
OP-
OA）（
OP-
OB）+（
OP-
OB）（
OP-
OC）+（
OP-
OC）（
OP-
OA）=3
OP2-[（ OA+ OB）⋅ OP+（ OB+
OC）⋅
OP+（
OC+
OA）⋅
OP]+（ OA· OB+ OB· OC+
OC·
OA）=3
OP2-2（ OA+ OB+ OC）· OP+（ OA⋅
OB+
OB·
OC+
OC⋅
OA）=3()
OP-
OA+
OB+
OC
3
2
-
（
OA+
OB+
OC）2
3+（ OA⋅ OB+ OB⋅ OC+ OC⋅ OA）=
3( OP- OA+ OB+ OC3)2+ OA· OB+ OB· OC+ OC· OA3-
1。

设 OP=（x，y）， OA=（1，0）， OB=（0，1）， OC=
（cosθ，sinθ），θ∈[)
0，2π， OG= OA+ OB+ OC
3，即G
为△ABC的重心，则( OP- OA+ OB+ OC3)2=|| PG2，
∵|| OA=|| OB=|| OC=1，|| OP≤1，∴A、B、C三
点共圆，点P位于圆上或圆内，故当P为射线GO
与圆周交点时，|
| PG2最大，即()|| OG+12最大。

∴M≤3(|| OG+1)2+ OA· OB+ OB· OC+ OC· OA
3-
1=3(（1+cosθ）2+（1+sinθ）2+1)2+sinθ+cosθ3-1=
3
ù
û
úú
+12+sinθ+cosθ
3-1。

由-2≤sinθ+cos
θ≤2得，M≤3
1ù
û
úú
2
5+32。

当且仅当θ=π4时，M取到最
大值5+32。

点评：本题应用平面向量基本定理，将所求向
量向基底转化，同时为了构建目标函数将向量坐标
化，求最值时，既应用了几何图形的性质，又运用了
三角函数的有界性。

用向量基本定理解决问题的
一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条
件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来
解决。

［例4］已知向量
～
a，
～
b满足||～a=3，且|
|～b-λ～a的
最小值为1（λ为实数），记
～
a，
～
b=α，
～
a，
～
a-
～
b=β，
则
～
b·（
～
b-
～
a）
cos（α+β）最大值为。

分析：如图5所示，由题意建
立位于坐标系内的△OAB，先数
形结合得出B到OA的距离为1
再利用三角形内角和关系转化为
求-||～b·|
|～b-～a的最大值，利用坐
标转化为求函数最值问题，利用求导找出函数的单
调性，结合函数的单调性可得函数的最值，进一步
得到答案。

解：设
～
a=
OA，|| OA=3，～b= OB，由|
|～b-λ～a的
最小值为1（λ为实数），∴B到OA的距离为1，如
图5所示建立平面直角坐标系，A（3，0），B（x，1），
∵～a，～b=α，～a，～a-～b=β，∴在△ABO中，∠BOA=α，
∠BAO=β，∴cos（α+β）=-cos∠OBA=-cos～b，～b-～a，
∴～b·（～b-～a）
cos（α+β）=
～
b·（
～
b-
～
a）
-cos～b，～b-～a=-
||～b·||～b-～a=
-x2+1·（x-3）2+1 =-x4-6x3+11x2-6x+10，
令f（x）=x4-6x3+11x2-6x+10 ，f'（x）=4x3-
18x2+22x-6=2（2x-3）（x2，
令f ′（x）=0，得x=32或或或
x<，f'（x）<0，f（x）单调递减；
x∈)，32，f'（x）>0，f（x）单调递增；
x∈32，f'（x）<0，f（x）单调递减；
x∈)+∞，f'（x）>0，f（x）单调递增；
∵f=f=9，∴f（x）min=9，
∴-||～b·||～b-～a max=-3，即～b·（～b-～a）
cos（α+β）的最大值为-3。

点评：建立平面直角坐标系，在图形中找到角
度的关系，转化为求-||
～
b·|
|～b-～a的最大值，再转化
为求函数最值问题，利用导数找出函数的单调性，
即可分析函数的最值。

由此可见，求解平面向量数量积的最值问题的
关键是数形结合，建立目标函数，利用向量数量积
定义和向量运算公式进行合理转化。

（责任编辑　黄桂坚）
图5数学·解题研究。