广东省揭阳一中高二数学下学期期中试题 文 新人教A版

揭阳一中2012-2013学年度第二学期高二级期中考试
文科数学试题
参考公式：
2
1
211
2
1
)()
)((x
n x
y x n y
x x x
y y x x
b n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i i
--=
---=
∑∑∑∑====, x b y a -=
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则C U ()A B I 等于（ ）
A ．{1,2,3,4,5}
B ．{1,2,4,5}
C ．{1,2,5}
D ．{3} 2．设p 、q 是简单命题，则“p 或q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
3. 若01x y <<<，则（ ）
A ．33y x <
B ．33>x y
C ．44log log x y <
D ．11()()44
x y
<
4．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
5．函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是（ ）
A. )2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D. ),2(+∞ 6
则y 对x 的线性回归方程为 （ ）
A ．1y x =-
B ．1y x =+
C ．1
882
y x =+
D ．176y = 7.
由22
()()()()()n ad bc K a d c d a c b d -=++++ 算得，22
110(40302020)7.860506050
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，得到的正确结论是 （ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”
8. 已知函数：c bx x x f ++=2
)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：
(2)12
(2)4f f ≤⎧⎨
-≤⎩
为事件为A ，则事件A 发生的概率为 （ ） A ．
14 B ．58 C ．12 D ．3
8
9．若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：2
2
8210x y x y ++++=的周长，则
14
a b
+的最小值为 （ ） A ．8 B ．12
C ．16
D ．20
10. 设曲线1
*()n y x
n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则
12n x x x ⋅⋅⋅L 的值为（ ）
A ．
1n B ． 11n + C ． 1
n n + D ． 1 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上. 11. 某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，知座位号分别为
6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是 ．
12.已知双曲线2
214
x y -=，则其渐近线方程为_________, 离心率为________.
13. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10
则以上两组数据的方差中较小的一个为2
s = .14
---（,m n 都是正整数，且,m n 互质），
通过推理可推测m 、n 的值，则-m n = .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
15.（本小题满分12分）
已知函数()=cos )f x x x π-. (1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； (2) 若α是第二象限角，且2()=-33f π
α-,试求
cos 21+cos 2-sin 2α
αα
的值.
16.（本小题满分12分）
我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：
（1）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出
频率分布直方图；
（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；
30
60
90
120150
H
G
D
E
F
A
B
C
（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分
的概率．
17.（本小题满分14分）
已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （1）求证：GH ∥平面CDE ；
（2）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．
18.（本小题满分14分）
已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为
1
2
，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线6 相切. (1)求椭圆的方程；
(2)设直线320l x y -=:与椭圆在x 轴上方的一个交点为P ，F 是椭圆的右焦点，试探究以PF 为
直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
19.（本小题满分14分）
已知数列{}n a 满足
111
111n n
a a +-=--,且10a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设=2n
n n b n a ⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（3）设1
1n n a c n
+-=
，记1
n
n k
k T c
==
∑，证明：1n T <.
20.（本小题满分14分）
已知函数1
()ln f x a x x
=
-.(a R ∈)
（1）当1a =-时，试确定函数()f x 在其定义域内的单调性； （2）求函数()f x 在(0,]e 上的最小值； （3）试证明：1
1
(1)( 2.718,)n e e n N n
+*+>=∈L .
揭阳一中2012-2013学年度第二学期高二级期中考试
文科数学 参考答案及评分说明
一．选择题：BACAD CACCB
二．填空题：11. 18，12. x y 21
±=13.25
，14. 41 三．解答题：
15解：（1）∵()=cos )f x x x π-
=cos x x ---------------------------------------2分
=1
2(cos )22x x -
2cos()3
x π
=+-------------------4分 ∴
函
数
()
f x 的
最
小
正
周
期
2T π
=,值域为
[-2,2].--------------------------6分
(2)由2()=-33f π
α-
得22cos 3α=-，1
cos 3
α=-，------------7分
∵α是第二象限角 ∴sin 3
α===----------8分 ∴2
7
cos 22cos 19
αα=-=-
，-----------------------------------9分
sin 22sin cos 9
ααα==-
，---------------- -------------10分
H
G
D
E
F
A
B
C
∴cos 21+cos 2-sin 2ααα7
12292742
1-
-=-+---------------------------12分
16.解：（1）由频率分布表得3
1000.03
M =
=, -------1分 所以100(333715)42m =-+++=，---------2分
42
0.42100
n =
=， 0.030.030.370.420.151N =++++=．---------3分
直方图如右---------5分
（2）由题意知，全区90分以上学生估计为4215
600342100
+⨯=人．---------7分
（3）设考试成绩在(]0,30内的3人分别为A 、B 、C ；
考试成绩在(]30,60内的3人分别为a 、b 、c ，
从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有： (A ，B)，(A ，C)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)， (B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(C ，a)，
(C ，b)，(C ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)共有15个. ---------10分 设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D ．
则事件D 含有3个结果： (A ，B)，(A ，C) ，(B ，C) ---------11分 ∴31
()155P D == ．
---------12分
17. （1）证明：∵//EF AD ,//AD BC ∴//EF BC 且EF AD BC ==
∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点-------------2分 又∵G 是FD 的中点
∴//HG CD ---------------------------------------4分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE
∴GH ∥平面CDE ------------------------------7分
（2）解：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD
且
FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面
ABCD .---------------------------------------------------9分
∵6BC =, ∴6FA =
又∵2,CD DB == ，222
CD DB BC +=
∴BD ⊥CD
----------------------------------------------------------------------------------------11分
∴ ABCD S CD BD =⋅Y
＝∴
F ABCD V -=
1
3
ABCD S FA ⋅Y
＝
1
63
⨯=分
18. 解：（1）由于e=
1
2
∴2a c = --------- 1分
又b =
=∴22223,33b a c c =-== ---------3分 221,4c a ∴== --------- 4分
所以椭圆的方程为：13
42
2=+y x ---------5分 (2)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为)2
3
,1(P ，)0,1(F
则以PF 为直径的圆方程是2
239(1)()416x y -+-=，圆心为⎪⎭
⎫ ⎝⎛431，，半径为43
---------9分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是42
2=+y x ，圆心是()0,0，半径是2 --------- 11分
两圆心距为43-2454312
2
==⎪⎭
⎫
⎝⎛+，所以两圆内切. --------- 14分
19．解：（1）由111111n n a a +-=--，知数列1{}1n
a -是首项为1，公差为1的等差数列，
-----2分 ∴
1
111n
n n a =+-=-， ------------------------------------3分
∴
1
1n a n
=-
.------------------------------------------------------------------------4分
（2）由（1）得=2n n n b n a ⋅=1
2(1-
)=(-1)2n
n n n n
⋅ ∴n S =234
-1
2+22+32+---+-2)+-1)n n
n n ⋅⋅⋅⋅（2（2---------------------------①--------5分
345+1
2=2+22+32+---+-2)+-1)n n n S n n ⋅⋅⋅⋅（2（2-------------------②
--------6分
①-②得234+1-S =2+2+2+---+-1)n n n n ⋅2-（2=21+1+1
2(2-1)-(-1)2=(2-)2-4n n n n n -
∴
n S =+1(-2)2+4n n .----------------------------------------------------------------------------------8分 （3）
由
（
1
）
得
n c =
=
=---------------------------------10分
=
----------------------------------------------------------------12分
∴1
1
n n
n k k k T c ===
=∑
∑1=++L
1=-
<1---------------------------------------------------------------------------14分
20．解：（1）当1a =-时，1
()ln f x x x
=
+，(0,)x ∈+∞， 则
22
111
'()x f x x x x
-=-+=，
---------------------------------------------------1分
∵当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >
∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增。

---------------------3
分
（2）∵22
11
'()a ax f x x x x +=-
-=-
， ①当0a ≥时，∵(0,]x e ∈，∴10ax +>'()0f x ⇒< 函数()f x 在(0,]e 上单调递减，∴min 1
()()f x f e a e
==----- --------5分 ②当0a <时，令'()0f x =得1x a
=-
当1,e a -<即1a e <-时，对1(0,)x a ∈-，有'()0f x <；即函数()f x 在1(0,)a
-上
单调递减；
对1(,]x e a ∈-，有'()0f x >，即函数()f x 在1
(,]e a
-上单调递增； ∴min 11
()()ln()f x f a a a a
=-=---；--------------------------------7分
当1,e a -≥即1
a e
≥-时，对(0,]x e ∈有'()0f x <，即函数()f x 在(0,]e 上单调递
减；
∴min 1
()()f x f e a e
==
-；--------------------- -------------8分 综上得min
1
1()()1ln()()
a a e e f x a a a a e ⎧-≥-⎪⎪=⎨⎪---<-⎪⎩
--------------- --------9分
（3）1
1111
(1)
(1)ln(1)1ln(1)1
n e n n
n n n ++>⇔++>⇔+>
+，----- ----10分 令11x n +=，（12x <≤）则1111n x
=-+，
∴要证11ln(1)1n n +>+只需证1
ln 1x x
>-（12x <≤），---- -----------12分
由（1）知当1a =-时，min ()(1)f x f = ∴
1
()ln f x x x
=
+(1)1
f ≥=，即
1ln 1x x
≥-
，
-----------------------------------13分
∵12x <≤，∴上式取不到等号
即
1ln 1x x
>-
，∴
11
(1)n e n
++>.------------------------------------------------------14分
揭阳一中2012-2013学年度第二学期高二级期中考试
文科数学答题卡
分数统计栏
二、填空题
三、解答题 15.
16.
11. 12. 13. 14.
30
60
90
120150
17.
请把18、19、20题的答案写在背面。

11。