宁波市十五中数学高二下期中阶段练习(含答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C
+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
2．(0分)[ID ：13603]已知a ，b ，c 为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，向量=
（3，-1），=（cosA ，sinA ），若⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B=
（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
23
π 3．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如
下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）
A ．1()2sin()2
6
f x x π
=+ B ．1()2sin()2
6f x x π
=-
C ．()2sin(2)6
f x x π=-
D ．()2sin(2)6
f x x π=+ 4．(0分)[ID ：13584]若4
sin()6
5x π
-=
，则sin(2)6
x π+的值为（ ） A ．
7
25
B ．725-
C ．
2425
D ．2425
-
5．(0分)[ID ：13579]当04x π
<<时,函数22
cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值是( ) A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
6．(0分)[ID ：13577]设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2
π
；命题:q 函数cos y x
=的图象关于直线2
x π
=对称.则下列判断正确的是（ ） A ．p 为真
B ．q ⌝为假
C ．p q ∧为假
D ．p q ∨为真
7．(0分)[ID ：13576]若x 1=
4π
，x 2=34
π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=
A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．
12
8．(0分)[ID ：13621]已知4
sin cos 3
αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79
-
B ．29
-
C ．
29
D ．
79
9．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫
⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭
，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
10．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆
222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大
值为60︒，则r 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D 11．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π
6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12
(纵坐标不变)，再将图象向右平移π
3
个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4
C ．x ＝
π
8
D ．x ＝
π4
12．(0分)[ID ：13549]将函数sin ()y x x x R =
+∈的图象向左平移()0m m >个长
度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
56
π 13．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是
A ．11y x
=
- B ．cos y x =
C ．ln(1)y x =+
D ．2x y -=
14．(0分)[ID ：13535]已知函数()42sin(2)24
f π
αα=-
+，在锐角三角形ABC 中，
()6f A =，且cos2cos2B C =，则tan B 的值为( )
A ．1
B ．21-
C ．
22
D ．21+
15．(0分)[ID ：13531]ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，
CA b =，1a =，2b =，则CD =
A ．1233
a b +
B ．
2133
a b + C ．
34
55
a b + D ．
43
55
a b + 二、填空题
16．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为
_______________.
17．(0分)[ID ：13703]已知ΔABC 是边长为√3的正三角形，PQ 为ΔABC 外接圆O 的一条
直径，M 为ΔABC 边上的动点，则PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是______. 18．(0分)[ID ：13691]已知α为锐角，5
cos 5
α=
，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．
19．(0分)[ID ：13688]若(2,2)A -，(cos ,sin )()B R θθθ∈，则AB 的最大值是________.
20．(0分)[ID ：13684]设[
),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有
()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭，则满足条件的有序实数组
的组数为 .
21．(0分)[ID ：13669]已知(3,1)OA =-,(0,5)OB =，且//,AC OB BC AB ⊥，则点C
的坐标为_________．
22．(0分)[ID ：13662]函数f (x )3 x +cos x 的最大值是___________.
23．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.
24．(0分)[ID ：13643]如图，在OAB 中,
OA a OB b ==，若点M 分AB 所成的比为
2:1，若点N 分OA 所成的比为3:1，OM 和BN 交于点P ，则OP 可用,a b 表示为
______．
25．(0分)[ID ：13639]一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .
三、解答题
26．(0分)[ID ：13820]在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知
2BA BC ⋅=，1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
27．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24
f x x x π=
-+． （I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；
（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02
B
f =，B 为锐角，1b =，
2c =，求ABC ∆的面积．
28．(0分)[ID ：13811]在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量
(sin ,sin sin )A B C =-m ，n =(3,)a b b c +，且m n ⊥．
（1）求角C 的值；
（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．
29．(0分)[ID ：13803]已知点()0,2A ，()4,6B ，12OM t OA t AB =+，其中1t ，2t 为实数：
（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围； （2）求证：当1
1t =时，不论2t 为何值，A ，B ，M 三点共线；
（3）若2
1t a =，OM AB ⊥，且三角形ABM 的面积为12，求a 和2t 的值.
30．(0分)[ID ：13775]已知函数()sin ()4f x A x x R π⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
，且()01f =. （1）求A 的值； （2）若1
()5
f α=-
，α是第二象限角，求cos α.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．A
3．D
4．B
5．D
6．C
7．A
8．A
9．A
10．D
11．A
12．B
13．D
14．D
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算
17．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM⋅MQ再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM⋅MQ=PO+OM⋅MO+OQ=PO⋅MO+PO⋅OQ+OM⋅MO+OM⋅OQ=OM⋅OQ+OP+PO⋅O
18．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的
19．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力
20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确
21．【解析】【分析】设则由利用向量共线定理向量垂直与数量积的关系即可得出【详解】解：设则解得则点的坐标：故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理向量垂直与数量积的关系考查了推理能力与计算能力属于中档题
22．【解析】由
23．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角
24．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM三点共线所以……①又BPN三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向
25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】
AP OP OA =-=λ（
AB AC AB cosB
AC cosC
+
⋅⋅），
∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫
⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．
2．A
解析：A 【解析】 试题分析：∵
=（3,-1），=（cosA,sinA ），m n ⊥3sin 0A A -=，∴
tan 3A =，∴3
A π
=
，
∵cos cos sin a B b A c C +=，∴sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，∴
2sin()sin A B C +=，
∴sin 1C =，∴2
C π
=
，∴6
B A
C π
π=--=
．
考点：向量垂直的充要条件、正弦定理、特殊角的三角函数值．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】
由函数的图象得524126
A T ππ
π==⨯
-=，（）， 即2 π
πω
=， 则2ω=，
则22f x sin x ϕ=+（）（） ，
22266
f sin ππ
ϕ=⨯+=（）（），
则13sin
π
ϕ+=（）， 则 232
k ππ
ϕπ+=+，
则26
k k Z ，，π
ϕπ=+∈
∵2
π
ϕ<
，∴当k=0时，6
，π
ϕ=
则函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． 故选D. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据诱导公式化简sin(2)6
x π
+，再根据二倍角余弦公式得结果.
【详解】 ∵4sin()6
5
x π
-=
，∴2327sin(2)cos 212sin 16362525x x x πππ-⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 【点睛】
本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力,属基础题.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
分子与分母同除以2cos x ，得21
()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答
【详解】
分子与分母同除以2cos x ，得21
()tan tan f x x x
=
-，
2
2110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π
⎛
⎫<<∴<<∴-=--+
⎪⎝
⎭ 1
tan 2
x ∴=
时，2tan tan x x -的最大值为14
综上，22
cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值为4 故选D 【点睛】
本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题
6．C
解析：C 【解析】
试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】
由题意知，()sin f x x ω=的周期232(
)44
T ω
π
ππ
==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】
本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
8．A
解析：A 【解析】 【详解】
()2
sin cos 1
7
sin 22sin cos 1
9
ααααα--==
=--.
所以选A. 【点睛】
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||
AB AC
AB AC +的
方向
与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||
AB AC
OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】
||AB AB 、||
AC
AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴
||||AB AC
AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又
(
)
||||
AB AC
OP OA AB AC λ=++， ∴(
)||||
AB AC
OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致
∴一定通过ABC ∆的内心
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而
sin MC r
MPC PC PC
∠=
=，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】
结合题意，绘制图象如下：
当MPN ∠取得最大值时， 则MPC ∠取得最大值，
而sin MC r
MPC PC PC
∠=
=， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.
故PC 的最小值为点C 到该直线的距离， 故2
2
2521
d =
=+
故
1sin 302
25r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．A
解析：A 【解析】 把函数y ＝sin(x ＋
π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π
3
个单位长度得
πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π
2
，选A.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π
π+
()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π
π+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.
12．B
解析：B
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3
y
x x x
，令,3
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，
可得函数的图象对称轴方程为,6
x k k Z π
π=
+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的
对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，
m 的最小值为6
π，故选B ．
考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数
2sin()3
y x π
=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．
13．D
解析：D 【解析】 试题分析：1
1y x
=
-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.
考点：函数增减性
14．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据()6f A =得到4
A π
∠=，根据cos2cos2B C =得到38
B C π
∠=∠=
，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】
())264f A A π=-+=，即sin(2)42
A π-=.
锐角三角形ABC ，故32,444A π
ππ
⎛⎫
-
∈- ⎪
⎝⎭
，故244A ππ-=，4A π∠=. ()2,20,B C π∈，cos2cos2B C =，故38
B C π
∠=∠=
.
22tan 3tan 2tan 11tan 4
B B B π
=
==--，故tan 21B =+或tan 21B =-+（舍去）.
故选：D . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力. 15．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，
∴BD DA
＝CB CA
＝
12
， ∴BD ＝
13BA
＝13(CA －CB )＝13b －1
3
a ， ∴CD ＝CB ＋BD ＝a ＋13
b －13a ＝2
3a ＋13
b .
二、填空题
16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算
解析：
3
2
【解析】 【分析】
如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】
如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有
CB CA
CD 2
+=
， 又因AC =1，BC =2， 所以()
()
()2222CB CA 113
AB CD CB CA CB CA 212222
+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：3
2
. 【点睛】
本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.
17．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM ⋅MQ 再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM ⋅MQ=PO+OM ⋅MO+OQ=PO ⋅MO+PO ⋅OQ+OM ⋅MO+OM ⋅OQ=OM ⋅OQ+OP+PO ⋅O 解析：3
4
【解析】 【分析】
利用向量运算化简PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 再求解即可. 【详解】
由题易得|OP
⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1.故 PM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(PO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ )=PO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )+PO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=1−OM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2, 故当M 为ΔABC 三边的中点时，|OM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |最小， 1−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2取最大值,此时|OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=1
2,故PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是1−(12)2
=34
. 故答案为：3
4
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算以及正三角形中的关系等.属于中等题型.
18．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan 故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的 解析：3-
【解析】 【分析】
先利用同角三角函数关系，计算sin α，tan α，再利用两角和的正切，即可求得结论． 【详解】
∵α为锐角，5
cos α=
，
∴5
sin α= ∴tan αsin cos α
α
==2 ∴tan 112
34112
tan tan πααα++⎛⎫+===-
⎪--⎝⎭ 故答案为3- 【点睛】
本题考查同角三角函数关系，考查两角和的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
19．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力 解析：3
【解析】 【分析】
计算24sin 594AB πθ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝
⎭，得到答案. 【详解】
A ，(cos ,sin )()
B R θθθ∈
))
2
2
2
cos sin 54sin 59
4AB πθ
θ
θθθ⎛
⎫=
+=+-=-+≤ ⎪⎝
⎭当()3
24
k k Z θππ=
+∈时等号成立，即3AB ≤ 故答案为：3 【点睛】
本题考查了两点间距离公式，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.
20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确
解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)3
3
3x x x π
π
ππ-
=-
+=+
，5(,)(3,)3
b c π
=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3
b c π
=-，注意到
[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,
)3π，,4(23,)3
π
-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3
π
--，
,2(23,
)3
π
-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】
本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
21．【解析】【分析】设则由利用向量共线定理向量垂直与数量积的关系即可得出【详解】解：设则解得则点的坐标：故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理向量垂直与数量积的关系考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：29(3,
)4
- 【解析】 【分析】
设(,)C x y ，则(3,1)AC x y =+-，(,5)BC x y =-，(3,4)AB =，由//AC OB ，BC AB ⊥，利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【详解】
解：设(,)C x y ，则(3,1)AC x y =+-，(,5)BC x y =-，(3,4)AB =，
//AC OB ，BC AB ⊥，5(3)0x ∴+=，34(5)0BC AB x y =+-=，
解得3x =-，294
y =
． 则点C 的坐标：29(3,)4
-． 故答案为：29(3,)4
-． 【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【解析】由 解析：2
【解析】
由max ()3cos 2sin()()26
f x x x x f x π
=+=+
⇒=.
23．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取
值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4
【解析】 【分析】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为
2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关
于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.
()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，
4AD AM a ∴⋅=-，
10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是
[]0,4.
故答案为：[]0,4. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
24．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM 三点共线所以……①又BPN 三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向
解析：33
105
a b + 【解析】 【分析】
运用平面向量基本定理和三点共线，分别求得OP ，即可求得,λμ的值，得到答案． 【详解】
根据题意得，O ，P ，M 三点共线，
所以11
2()333
OP OM OB BM OB BA OA OB λλλλλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭……① 又B ，P ，N 三点共线，
所以33
()44
BP BN ON OB OA OB OA OB μμμμμ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭
则3
(1)4OP OA OB μμ=
+-……..② 由①②得
132
,134
3λμλμ==-，所以29,510
μλ==， 所以33
105OP a b =
+． 故答案为：33105
a b + 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及三点共线的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，合理求得向量OP 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为
解析：3 【解析】 【分析】
根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图，再由弧长公式，即可求解． 【详解】
由题意，作出过球心且垂直于二面角棱的截面图，如图所示， 因为二面角为120°，所以603
AOB π
∠==，
设球的半径为R ，由弧长公式可得3
R π
π=，解得3R =．
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及弧长公式的应用，着重考查了空间想
象能力与思维能力，属于基础题．
三、解答题 26．
（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，22122
sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
27．
(1) [,]()4
4
k k k Z π
π
ππ-
+
∈;(2)
32
.
【解析】
试题分析:(1)由二倍角公式和诱导公式化简函数()f x ,根据正弦函数的单调递增区间列出不等式,即可求出()f x 的单调递增区间;(2)由02B f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可求出角B ,再由余弦定理求出边a ,利用三角形的面积公式求出结果. 试题解析: （I ）由题意知，
()21cos 21112sin2cos sin2sin224222x f x x x x x ππ⎛
⎫++ ⎪
⎛⎫⎝⎭=-+=-=- ⎪⎝
⎭； 因为222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，所以,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
即()f x 的单调递增区间为(),44k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦. （II ）因为1sin 022B f B ⎛⎫
=-=
⎪
⎝⎭
，所以1sin 2B =， 又B
为锐角，所以,cos 6
B B π
=
=
.
1b =，2c =
，22221cos 22a B a +-==
⨯⨯
a =
因此111sin 22222ABC S ac B ∆=
=⨯=
，所以ABC ∆
的面积为2
. 28．
（1）6
C π
=；（2
）
【解析】 【分析】
（1
）根据()sin ()(sin sin )0m n a A b c B
C ⋅=-++-=和正弦定理余弦定理求得
6
C π
=
.(2)先利用正弦定理求出R=1,b -
化成2sin()6
A π
-
，再利用三角函数的图
像和性质求解. 【详解】
（1）因为m n ⊥，所以()sin ()(sin sin )0m n
a A
b
c B C ⋅=-++-=，
由正弦定理化角为边可得2220a b c +-=，
即222a b c +-=，由余弦定理可得cos C =
，又0C π<<，所以6C π=．
（2）由（1）可得56A B π+=
，设ABC 的外接圆的半径为R ， 因为6C π=
，1c =，所以122sin sin30c R C =
==︒，
则52sin 2sin 2sin )2sin(
)]6b R A R B R A B R A A π-=-=-=--= 2sin()2sin()66R A A ππ
-=-， 因为ABC 为锐角三角形，所以025062A A πππ
⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即32A ππ<<， 所以663
A π
π
π
<-<
，所以1sin()262A π<-<，
所以12sin()6A π<-
<
b -
的取值范围为．
【点睛】 (1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值.
29．
（1）20t <且21t ≠-，（2）证明见解析；（3）2a =±，21t =-.
【解析】
【分析】
（1）由向量加法的坐标运算及点所在的象限求解即可；
（2）由向量的减法运算及向量共线证明即可；
（3）由向量垂直的坐标运算及三角形的面积公式求解即可.
【详解】
解：（1）因为点()0,2A ，()4,6B ，12OM t OA t AB =+，
所以()122124,24OM t OA t AB t t t =+=+，
又12t =，则()224,44OM t t =+，
又点M 在第二或第三象限，则2240440
t t <⎧⎨+≠⎩，即20t <且21t ≠-； （2）当11t =时，因为2OM OA t AB =+,
所以2OM OA t AB -=，即2AM t AB =,
即AM AB ,
又,AM AB 共点,A
故A ，B ，M 三点共线；
（3）因为()4,4AB =，21t a =，
由（1）有()2224,24OM t a t =+，
又OM AB ⊥，
则2224(4)4(24)0t a t ⨯+⨯+=， 即2214
t a =-， 所以()22,OM a a
=-， 又42AB =, 点M 到直线:20AB x y -+=
的距离21d =
=-， 又三角形ABM 的面积为12，
则211122
⨯-=， 解得：2a =±，此时22114t a =-
=-. 【点睛】
本题考查了向量加法的坐标运算及向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属中档题.
30．
（
1）A =
2）45- 【解析】
【分析】
(1)由题意利用()01f =结合函数的解析式即可确定A 的值；
(2)由题意结合同角三角函数基本关系和两角和差正余弦公式可得cos α的值.
【详解】 （1）依题意得：(
)0142f Asin A π⎛⎫===
⎪⎝⎭
，A ∴= （2）由（1）得(
)4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭由()15f α=-可得：
()1
45f παα⎛⎫=+=- ⎪⎝
⎭，
410sin πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝
⎭， α是第二象限角，
222k k ππαππ∴+
<<+， 3522444k k ππππαπ∴+
<+<+，
又0410sin πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭
， 4π
α∴+
是第三象限角，
4cos πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭= 44cos cos ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 44cos cos ππα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 44sin sin ππα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
= 45
=-. 【点睛】 本题主要考查三角函数的运算，两角和差正余弦公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。