基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂结构的研究

基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂结构的研究
【摘要】随着信息技术在教育教学中的应用，翻转课堂进入了广大数学教育工作者的眼帘。

本文以建构主义学习理论、“学习循环圈”理论为基础，尝试构建了初中数学翻转课堂教学基本流程，形成了两个阶段八个步骤的基本结构，即课前阶段（明确学习目标、观看微视频、自学教材、完成自主学习任务单）、课中阶段（创设问题情境、概念及基本技能重现、技能操练、拓展提高），以期达到提高翻转数学课堂效率的目的。

【关键词】建构主义；学习循环圈；翻转课堂；数学教学
一、基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂的理论基础
建构主义学习理论认为：学习不单纯是知识由外到内的转移和传递，而是学习者主动建构自己知识经验的过程，即通过新旧知识经验双向的作用来丰富和改造自己的知识经验。

[1]因此，在数学课堂中学生的学习不应当是被动的接受教师的知识和结论，而应该是基于自己的认知水平和已有知识经验，通过顺应或同化，主动对新数学知识意义建构的过程。

课堂中教师要充分尊重学生的主体地位和学习数学的心理发展规律，扮演好引导者、组织者和合作者的角色。

而翻转课堂恰好为我们实现这些功能提供了途径。

翻转课堂将传统课堂中的新授知识部分转移到课前完成，课堂中主要是进行知识的内化。

课前学生通过微视频以及配套的习题或预习案进行自学，特别值得注意的是，微视频的回放、暂停功能为不同层次的学生学习需求带来了方便；课中教师根据学生学习情况开展以学生为主体的一系列知识强化教学。

它完全颠覆了传统教学形式，转变了课堂中师生之间的角色，避免了“灌输式”、“填鸭式” 的教学，符合建构主义学习理论，提高了教学效率，促进了学生思维的发展和教师专业发展。

为了打造高效的数学翻转课堂，笔者引入“学习循环圈”理论。

“学习循环圈”理论是美国教育心理学博士伯尼斯麦卡锡在《自然学习设计》一书中提出的，该理论核心是：任何学习都是由“为什么（Why）—是什么（What）—应怎样（How）—该是否（If）”组成的循环圈，依次对应着“把握学习价值（meaning）—透彻掌握概念（conce pts）—积极操练技能（sk il ls）—灵活自如运用（adaptation）”四种教学功能。

将“学习循环圈”理论引入初中数学课堂后，数学课堂被分为四种教学功能（如表1），这使数学课堂结构更加科学合理，更有助于实现《义务
课前
自学教材 “学习循环圈” ①“为什么” ②“是什么” ④“该是否” ③“应怎样”
技能操练 课中
创设问题情境
概念及基本技能重现 拓展提高 完成自主学习任务
观看微视频 明确学习目标 教育数学课程标准（2011 年版）》提出的课程总目标的四个方面“知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度”。

学生经历一个完整的学习循环圈就是学习数学知识的全过程，即从兴趣和新旧联系出发到基本技能的形成,从技能的操练到灵活运用的过程，完全符合学生的数学认知规律，体现了建构主义学习理论的本质。

它对打造高效课堂有着重要意义。

因此，笔者尝试将“学习循环圈”理论引入到数学翻转课堂中去，力求形成基于“学习循环圈”理论的数学高效翻转课堂。

表 1
二、基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂实践
基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂主要包括课前和课中两个阶段。

课前阶段又分为四个步骤（明确学习目标、观看微视频、自学教材、完成自主学习任务单），其中学习目标设计在自主学习任务单中；课中阶段又分为四个步骤（创设问题情境、概念及基本技能重现、技能操练、拓展提高），具体的流程见图 1。

下面，我们以苏科版九年级数学上册《直线与圆的位置关系（1）》为例具体介绍基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂的基本流程。

图 1 基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂教学流程图
学习循环圈
组成部分
“学习循环圈”组成部分对应的数学课堂教学功能 为什么 建立新旧知识联系、了解数学知识的现实意义和价值、激发学习兴趣。

是什么 掌握数学基本概念，通过基本数学概念的简单应用初步形成数学技能，并进一步
感受到数学知识的应用价值。

应怎样 通过数学技能的操练进一步理解、升华概念，凝练数学方法，体会数学基本思想
和思维方式。

该是否 灵活运用数学新知解决实际问题，拓展延伸基本概念。

（一）课前阶段
课前阶段主要是完成新知识的传授，帮助学生解决“学习循环圈”中的“为
什么”和“是什么”的问题，让学生了解学习本节课的意义，激发学生学习欲望，获
取新的数学知识，为课堂教学中的学习活动作准备。

为了保证这一阶段学生自主学
习的效率，教师在布置学习任务时要引导学生先明确学习目标再观看微视频，另
外教材是课程标准的具体体现，因此应提醒学生在视频学习结束后要及时自学教材。

课前阶段的核心部分是教师精心设计的微视频和自主学习任务单，因此，下面笔者
就微视频设计和自主学习任务单的设计进行详细说明。

1.微视频内容设计
对于微视频内容的设计，首先视频内容要能够帮助学生了解新知识学习的价值、前后的联系、现实模型，从而拉近学生与新知识的距离，产生亲切感，这就要求教
师认真研读教材内容，搜集相关知识的背景，搞清楚知识的前后联系，理解数学知识
的现实意义；其次视频内容要能够让学生获得本节课的核心知识，这就要求教师能够
准确把握教学目标、教学重难点；再次，视频内容要充分考虑考虑学生已有的知识水平、认知能力，从学生的角度出发，这就要求教师深入了解学生的学情，预想学生在学
习过程中会遇到哪些困难，把握学生的“最近发展区”。

如此设计的内容才能确保微
视频帮助学生解决“为什么”和“是什么”的问题。

下面是《直线与圆的位置关系（1）》微视频内容的设计。

（1）点与圆有哪些位置关系？它们用怎样的数量关系来描述的？（这里适
当停顿一下，让学生有时间回忆）
三种位置关系，可以利用圆心与点的距离（d）和圆半径（r）的大小关系来
刻画：点在圆内⇔d <r ，点在圆上⇔d =r ，点在圆外⇔d >r
图形世界是有点、线、面组成的，学习了点与圆的位置关系，那学习直线与圆
的位置关系也显得非常有必要。

请你暂停视频的播放，自己动手画一画，你能画
出几种直线与圆的位置，看看和老师下面画的是否一样？
设计意图：这一部分是解决“学习循环”圈中的“为什么”，学生学习数学
知识总是建立在已有知识基础上的，通过复习点与圆的位置关系，一方面提高学
生学习的信心，建立了新旧知识的联系，另一方面让学生体会了学习直线与圆位
么？ 置关系的必要性。

过程中引导学生暂停视频内容，自己动手画一画，一方面是为了激发学生的学习兴趣，另一方面也体现了学生的主体性。

（2）
图 2
这三幅图（图 2）是老师所画的直线与圆的三种位置关系，你画对了吗？我们分别给它们起个名字吧！它们分别是直线与圆相交、相切、相离。

观察三幅图，你能发现它们的不同点吗？（稍作停顿，让学生有时间思考） 直线与圆的公共点个数不一样，因此我们通过公共点的个数给它们下定义。

（稍作停顿，让学生有时间思考）。

直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。

直线与圆有唯一公共点是，叫直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

（3） 点与圆的位置关系可以用点与圆心的距离和半径大小关系来描述，那直线与圆的位置关系呢？我们分别过圆心作直线的垂线段（图 3），仔细观察，
你发现了什
图 3
如果⊙O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，那么直线与圆相交 ⇔ d < r ，直线与圆相切⇔ d = r ，直线与圆相离⇔ d > r
设计意图：（2）（3）两部分是为了解决“学习循环圈”中的“是什么”，也就是告知本节课的核心概念，利用点与直线的位置关系作类比，帮助学生理解直线与圆的位置关系的两种定义方式。

（4） 例 1、已知⊙O 的半径为 5，若圆心到直线的距离等于 3，则直线与圆的位置关系： ；若圆心到直线的距离等于 5，则直线与圆的位置关系： ；若圆心到直线的距离等于 8，则直线与圆的位置关系：
.
例 2、如图 4，在△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝8.
图 4
2 以点 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 所在直线有怎样的位置关系？①r ＝4；②r
＝ 4 ；③r ＝6（视频中的解题过程略）
视频中教师讲解解题过程时，要注意重点讲清楚为什么要过 C 作边 AB 的垂 线段。

设计意图：例题讲解是直线与圆位置关系的简单应用，它能够进一步帮助学生强化学习循环圈中的“是什么”， 让学生进一步理解概念，初步形成基本技能，进一步规范学生的解题过程。

例 1 的设计一方面增强学生学习本课的自信心，另 一方面再次让学生熟悉概念，例 2 的设计进一步强化了学生对概念的理解和应用，这里还涉及直线与圆位置关系中经常使用的一个基本辅助线的作法，即过圆心作直线的垂线段。

两个例题设计由易到难符合学生的认知规律，为学生完成自主学习任务单和课堂教学作铺垫。

2. 自主学习任务单设计
自主学习任务单主要包括三个方面：一是学习目标，二是基本概念填空，三是配套习题。

学习目标是学生观看微视频前需要了解的，只有了解了学习目标， 自主学习才能更具有方向性；基本概念和配套习题是学生学习完微视频和自学教材后对所学知识的自我检测，是对“学习循环圈”中“为什么”、“是什么”的检测，也为教师课堂教学提供学情，在设计时，一方面要控制题目量，另一方面要控制难度，以基本题为宜。

教师在进行课堂教学前，应当认真批改自主学习任务单，把握学生掌握的情况，有必要可以与存在问题较为突出的学生进行面对面交流，确保课堂中可以有的放矢的开展教学活动。

下面是《直线与圆的位置关系（1）》自主学习任务单的设计。

（1） 同学们，在学习《直线与圆的位置关系（1）》微视频之前，我们先来了解一下学习微视频的目标，在了解了学习目标后，我们带着这些目标一起来学习微视频中的内容。

学习目标：①直线与圆有哪些位置关系，它们的定义是什么？②直线与圆的几种位置关系如何用数学式子来表达？③点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系它们的联系和区别。

④涉及到直线与圆的位置关系有什么常用的辅助线作法？ 设
计意图：通过目标的设置，让学生有目标的进入微视频学习，进而提高微 视频学习的效率。

2
y
B
A O
图6
（2）基本概念填空直线与圆的
位置关系图形公共点个数直线的名称
公共点的名
称
圆心到直线
的距离d 与半
径r 的关系
相交
相切
相离
（3）配套习题
①已知⊙O 的直径为10cm，点O 到直线l 的距离为d：若直线l 与⊙O 相切，则d= ；若d=4cm，则直线l 与⊙O 有个公共点；若d=6cm，则直线l 与⊙O 的位置关系是。

②如图 5，在△ABC 中，∠A＝60°，AC＝2.以点C
为圆心，r 为半径的圆，若r＝1 与AB 所在直线有怎样的
位置关系？若r＝
完整。

呢？若r＝3 呢？请将解题过程写图5
③如图 6，在直角坐标系中，O 为原点，⊙O 的半径为 1，
则直线y =-x +与⊙O 的位置关系怎样？x （二）课中阶段
课中阶段与传统的数学课堂教学有所区别。

教师可以根据学生的不同情况制定个别辅导计划，增强课堂教学的针对性，由知识内容的呈现者转变为学生学习过程中的教练，引导学生学习。

[2]在课中阶段，教师主要是帮助学生解决“学习循环圈”中的“应怎样”和“该是否”的问题，为此笔者又将课中阶段分为创设问题情境、概念及基本技能重现、技能操练、拓展提高等四个步骤，前三个步骤是帮助学生解决“应怎样”，即基本技能的形成；最后一步是帮助学生解决“该是否”，即知识的灵活应用及拓展。

1.创设问题情境
无论什么模式下的数学课堂都离不开有效的问题情境。

创设有效的问题情境，一能让学生体会到数学既来源于生活又可应用于生活；二能够激发学生学习的兴趣，提高学习的效率；三还可以让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的
3
过程。

作为基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂，问题情境的创设就是解决“应怎样”的一个重要载体也是起点，但和传统课堂模式不一样的地方是，创设问题情境后，学生完全能够利用课前已经掌握的基本知识通过合作探究学习解决情境中的问题，因此，问题情境创设这一部分还包含了即时解决情境中的问题。

《直线与圆的位置关系（1）》课堂教学中的问题情
境可以这样创设：
如图7，某森林保护区是以点A 为圆心，10km 为半
径的圆形区域，当地政府想要在B、C 两地间建设一条
笔直的公路，现已测得AB=12km，∠ABC=60°，请问
图7
这条公路需要穿过森林保护区吗？你能用直线与圆的位
置关系来解决吗？
2.概念及基本技能重现
概念及基本技能重现是检验学生对基本概念和基本数学方法掌握的情况，同时也是为帮助学生进一步解决学习循环圈中的“应怎样”作铺垫的。

课堂中，教师可以通过合作探究、个别提问、互相纠错、回看微视频等方式相结合来进行。

以《直线与圆的位置关系（1）》为例，一方面教师要让学生复述直线与圆的位置关系及其定义，直线与圆位置关系的三种数量表示方法，另一方面教师可以通过回看微视频中的相关例题，引导学生总结其中的数学方法、数学思想。

3.技能操练
操练技能是帮助学生解决“应怎样”的核心，教学中教师可以通过合作学习、小组讨论、独立探究、变式训练等各种方式方法帮助学生进一步掌握如何应用所学到的概念、技能解决问题，在技能操练过程中进一步体会数学思想、方法及数学思维方式。

在这一环节里，还要对自主学习任务单中的配套习题存在的问题进行纠错。

在《直线与圆的位置关系（1）》中，我们
可以设置以下题目：
例3、已知：如图8，⊙O 的直径长6cm，OA＝OB
＝5cm，AB＝8cm。

试问直线AB 与⊙O的位置关系如何？图8
说说你的理由。

例4、如图9，已知Rt△ABC 的两直角边AC＝3cm,BC
图9
北
西 B A 东 ＝4cm ，以点 C 为圆心作圆，若圆 C 与直线 AB 没有公共点，求⊙C 半径 r 的取值范围；与直线 AB 有公共点，⊙C 半径 r 的取值范围又如何呢？
4. 拓展提高
拓展提高主要帮助学生解决“学习循环圈”中的“该是否”，也就是通过这一课堂环节，培养学生灵活应用的能力，进一步提高学生的解决数学问题的能力。

例 5、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区
频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A 城气象局测得沙尘暴中
心在A 市的正西方向 240km 的B 处正以每小时 12km 的速
度向北偏东 60°方向移动，如图 10 所示，距沙尘暴中心
150km 的范围为受影响区域.（1）A 城是否受这次沙尘暴
的影响？为什么？（2）若 A 城受这次沙尘暴的影响，那
么遭受一向的时间多长？
图 10 设计意图：本题将直线与圆的位置关系与实际问题相联系，一方面培养学生从实际问题抽象出数学问题的能力，另一方面让学生进一步体会如何用直线与圆的位置关系解决实际问题。

通过这样的设计力求帮助学生解决学习循环圈中的“该是否”。

例 6、如图 11，已知 Rt△ABC 的两直角边 AC
＝3cm,BC ＝4cm ，以点 C 为圆心作圆，若圆 C 与边
AB 没有公共点，求⊙C 半径 r 的取值范围；与边 AB
有一个公共点，⊙C 半径 r 的取值范围又如何呢？与
边 AB 有两个公共点，⊙C 半径 r 的取值范围又如何
呢？
图 11 设计意图：本题其实是前面例 4 的变式问题，是将原问题中的“直线”改成了“线段”，是直线与圆位置关系的进一步拓展，让学生进一步理解和把握概念的本质。

三、结语
综上所述，基于“学习循环圈”理论的数学翻转课堂结构研究进一步明确了数学翻转课的基本结构，即两个阶段八个步骤，同时还明确了每一个步骤要帮助学生完成怎样的学习任务，它符合学生的认知规律，尊重学生的主体地位，对提
高数学课堂效率有一定的现实意义。

但文中笔者主要就具体流程进行了阐述，至于课堂中所采用的具体教学方法、教学策略没有过多的阐述，还需要在实践过程中继续研究并完善。

【参考文献】
[1]王振宏,李彩娜.教育心理学（M）.北京:高等教育出版社,2011.
[2]吴华，丛洋，孙丽梅.初中数学翻转课堂研究[J].中国教育技术装备,2014(18).。