九年级数学下册第二章二次函数5用三种方式表示二次函数习题课件北师大版20200320410
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温度x/℃ … -4 -2 0 2 4 4.5 …
植物每天 高度增长 … 41 49 49 41 25 19.75 … 量y/mm
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函 数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说 明不选择另外两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量 的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择? 直接写出结果.
【解析】(1)选择二次函数.设函数关系式为y=ax2+bx+c,
4a 2b c 49, a 1,
根据题意，得 4a 2b c 41, 解得 b 2,
c 49,
c 49，
∴y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由： 点(0，49)不可能在任何反比例函数图象上，所以y不是x的反 比例函数；点(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直线 上，所以y不是x的一次函数.
(2)由(1)得y=-x2-2x+49，∴y=-(x+1)2+50， ∵a=-1＜0，∴当x=-1时y的最大值为50. 即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大. (3)-6＜x＜4.
பைடு நூலகம்
8.已知二次函数的图象经过点(0,3),(-3,0),(2,-5)，且与x轴 交于A，B两点. (1)试确定此二次函数的表达式. (2)判断点P(-2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在， 请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由.
【解析】(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过点(0,3)，(-3,0)，(2,-5)，
c 3，
a 1,
9a 3b c 0，解得 b 2,
4a 2b c 5, c 3,
∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)∵-(-2)2-2×(-2)+3=-4+4+3=3，
题组:二次函数的三种表示方式 1.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么函数表达式 为( ) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D.y=-x2-2x-3
【解析】选B．由图象知抛物线经过点(-1，0)，(3，0)，
a－b c 0， a 1，
∴点P(-2，3)在这个二次函数的图象上.
由-x2-2x+3=0，解得x1=-3,x2=1， ∴与x轴的交点为：(-3,0)，(1，0)，
S△PAB
1 2
43
6.
【想一想错在哪？】抛物线 y x2 2 ax a2的顶点在直线 y=2上，求a的值.
提示：要注意检验求出的a值，必须使 a有意义．
(0，-3)，9a 3b c 0，b －2，
c －3，
c －3，
即y=x2-2x-3.
2.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图，则a的 值为( )
A．1B．2C． 2D． 2
【解析】选C．∵图象经过原点，∴a2—2=0，得：a 或2 a ∵2图. 象开口向下， a 0，a 2．
的坐标是(-2,-2).
4.如图,△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形,∠ABC=∠DEF =90°, AB=4cm,BC与EF在直线l上,开始时C点与E点重合,让 △ABC沿直线l向右平移,直到B点与F点重合为止,设△ABC与 △DEF的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为y cm2,CE的长度 为x cm,则y与x之间的函数图象大致是( )
表示方式
优点
缺点
函数表达 式
表格
图象
可以全面、完整、简洁 不够直观,函数的变化规 地表示变量之间的关系 律不明显
可以清楚、直接地表示 只能列出部分对应值,函 变量间的_数__值__对__应__关系 数的变化规律不明显
可以直观地表示函数的 从图象观察的结果不够 _变__化__过程和_变__化__趋势 准确
3.(2013·徐州中考)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标 满足下表
x … -3 -2 -1 0
1
…
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的顶点坐标为( )
A.(-3,-3)
B.(-2,-2)
C.(-1,-3)
D.(0,-6)
【解析】选B.由(-3,-3),(-1,-3)知顶点的横坐标是-2,故顶点
6.两个数的和为6,设其中一个数为x,这两个数的平方和为y,则 y与x的函数表达式为__________. 【解析】y=x2+(6-x)2=x2+36-12x+x2=2x2-12x+36. 答案:y=2x2-12x+36
7.(2013·武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个 情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经 过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
【解析】选C.由题意得：当0≤x≤4时， y 1当x24，≤x≤8
2
时，y 1 8 所x以2，y与x之间的函数图象大致是C.
2
【变式备选】如图，正方形ABCD的边长为1，E,F,G,H分别为各 边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为 x，则S关于x的函数图象大致是( )
【自主解答】(1)由①的表格可知,抛物线顶点坐标为(1,4),设抛 物线表达式为y=a(x-1)2+4, 将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1, ∴抛物线表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3. (2)抛物线y=-x2+2x+3的性质: ①对称轴为x=1, ②当x=1时,函数有最大值为4, ③当x<1时,y随x的增大而增大.(答案不惟一)
(打“√”或“×”) (1)确定二次函数的表达式需要三个条件.( √) (2)二次函数的三种表示方式不能一起运用.( ×) (3)在实际问题中,二次函数的图象一定不是一条完整的抛物 线.( ×) (4)二次函数的表达式一般有三种形式.( √)
知识点 二次函数的三种表示方式 【例】(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c 的关系式: ①y随x变化的部分数值规律如下表:
5 用三种方式表示二次函数
1.会用三种方式表示变量之间的二次函数关系.(重点) 2.能够根据二次函数的不同表示方式,从不同侧面对函数性质 进行研究.(重点) 3.明确实际问题中二次函数的自变量的取值范围对图象的影 响.(难点)
1.二次函数的三种表示方式:(1)_函__数__表__达__式__,(2)_表__格__, (3)_图__象__. 2.二次函数的三种表示方式的比较:
【总结提升】“三式”巧定表达式 1.一般式:所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时, 可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式). 2.顶点式:所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式 为y=a(x-h)2+k(顶点式). 3.交点式:所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则 可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c; ③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图).
(2)直接写出(1)中二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.
【思路点拨】(1)选择①,观察表格可知抛物线顶点坐标为(1,4), 设抛物线顶点式,将点(0,3)代入确定a的值. (2)根据抛物线的对称轴、开口方向、增减性等说出性质.
【解析】选B.易证Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG, ∴S=EH2=AE2+AH2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,则S关于x的函数图 象 是抛物线的一部分,根据抛物线的开口和自变量的取值易判 断选项B正确.
5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛 物线的函数关系式为___________. 【解析】根据题意,设y=a(x-2)2+1,抛物线经过点(1,0),所以 a+1=0,a=-1. 因此抛物线的函数关系式为:y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3. 答案:y=-x2+4x-3
植物每天 高度增长 … 41 49 49 41 25 19.75 … 量y/mm
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函 数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说 明不选择另外两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量 的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择? 直接写出结果.
【解析】(1)选择二次函数.设函数关系式为y=ax2+bx+c,
4a 2b c 49, a 1,
根据题意，得 4a 2b c 41, 解得 b 2,
c 49,
c 49，
∴y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由： 点(0，49)不可能在任何反比例函数图象上，所以y不是x的反 比例函数；点(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直线 上，所以y不是x的一次函数.
(2)由(1)得y=-x2-2x+49，∴y=-(x+1)2+50， ∵a=-1＜0，∴当x=-1时y的最大值为50. 即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大. (3)-6＜x＜4.
பைடு நூலகம்
8.已知二次函数的图象经过点(0,3),(-3,0),(2,-5)，且与x轴 交于A，B两点. (1)试确定此二次函数的表达式. (2)判断点P(-2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在， 请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由.
【解析】(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过点(0,3)，(-3,0)，(2,-5)，
c 3，
a 1,
9a 3b c 0，解得 b 2,
4a 2b c 5, c 3,
∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)∵-(-2)2-2×(-2)+3=-4+4+3=3，
题组:二次函数的三种表示方式 1.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么函数表达式 为( ) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D.y=-x2-2x-3
【解析】选B．由图象知抛物线经过点(-1，0)，(3，0)，
a－b c 0， a 1，
∴点P(-2，3)在这个二次函数的图象上.
由-x2-2x+3=0，解得x1=-3,x2=1， ∴与x轴的交点为：(-3,0)，(1，0)，
S△PAB
1 2
43
6.
【想一想错在哪？】抛物线 y x2 2 ax a2的顶点在直线 y=2上，求a的值.
提示：要注意检验求出的a值，必须使 a有意义．
(0，-3)，9a 3b c 0，b －2，
c －3，
c －3，
即y=x2-2x-3.
2.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图，则a的 值为( )
A．1B．2C． 2D． 2
【解析】选C．∵图象经过原点，∴a2—2=0，得：a 或2 a ∵2图. 象开口向下， a 0，a 2．
的坐标是(-2,-2).
4.如图,△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形,∠ABC=∠DEF =90°, AB=4cm,BC与EF在直线l上,开始时C点与E点重合,让 △ABC沿直线l向右平移,直到B点与F点重合为止,设△ABC与 △DEF的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为y cm2,CE的长度 为x cm,则y与x之间的函数图象大致是( )
表示方式
优点
缺点
函数表达 式
表格
图象
可以全面、完整、简洁 不够直观,函数的变化规 地表示变量之间的关系 律不明显
可以清楚、直接地表示 只能列出部分对应值,函 变量间的_数__值__对__应__关系 数的变化规律不明显
可以直观地表示函数的 从图象观察的结果不够 _变__化__过程和_变__化__趋势 准确
3.(2013·徐州中考)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标 满足下表
x … -3 -2 -1 0
1
…
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的顶点坐标为( )
A.(-3,-3)
B.(-2,-2)
C.(-1,-3)
D.(0,-6)
【解析】选B.由(-3,-3),(-1,-3)知顶点的横坐标是-2,故顶点
6.两个数的和为6,设其中一个数为x,这两个数的平方和为y,则 y与x的函数表达式为__________. 【解析】y=x2+(6-x)2=x2+36-12x+x2=2x2-12x+36. 答案:y=2x2-12x+36
7.(2013·武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个 情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经 过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
【解析】选C.由题意得：当0≤x≤4时， y 1当x24，≤x≤8
2
时，y 1 8 所x以2，y与x之间的函数图象大致是C.
2
【变式备选】如图，正方形ABCD的边长为1，E,F,G,H分别为各 边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为 x，则S关于x的函数图象大致是( )
【自主解答】(1)由①的表格可知,抛物线顶点坐标为(1,4),设抛 物线表达式为y=a(x-1)2+4, 将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1, ∴抛物线表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3. (2)抛物线y=-x2+2x+3的性质: ①对称轴为x=1, ②当x=1时,函数有最大值为4, ③当x<1时,y随x的增大而增大.(答案不惟一)
(打“√”或“×”) (1)确定二次函数的表达式需要三个条件.( √) (2)二次函数的三种表示方式不能一起运用.( ×) (3)在实际问题中,二次函数的图象一定不是一条完整的抛物 线.( ×) (4)二次函数的表达式一般有三种形式.( √)
知识点 二次函数的三种表示方式 【例】(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c 的关系式: ①y随x变化的部分数值规律如下表:
5 用三种方式表示二次函数
1.会用三种方式表示变量之间的二次函数关系.(重点) 2.能够根据二次函数的不同表示方式,从不同侧面对函数性质 进行研究.(重点) 3.明确实际问题中二次函数的自变量的取值范围对图象的影 响.(难点)
1.二次函数的三种表示方式:(1)_函__数__表__达__式__,(2)_表__格__, (3)_图__象__. 2.二次函数的三种表示方式的比较:
【总结提升】“三式”巧定表达式 1.一般式:所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时, 可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式). 2.顶点式:所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式 为y=a(x-h)2+k(顶点式). 3.交点式:所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则 可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c; ③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图).
(2)直接写出(1)中二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.
【思路点拨】(1)选择①,观察表格可知抛物线顶点坐标为(1,4), 设抛物线顶点式,将点(0,3)代入确定a的值. (2)根据抛物线的对称轴、开口方向、增减性等说出性质.
【解析】选B.易证Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG, ∴S=EH2=AE2+AH2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,则S关于x的函数图 象 是抛物线的一部分,根据抛物线的开口和自变量的取值易判 断选项B正确.
5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛 物线的函数关系式为___________. 【解析】根据题意,设y=a(x-2)2+1,抛物线经过点(1,0),所以 a+1=0,a=-1. 因此抛物线的函数关系式为:y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3. 答案:y=-x2+4x-3