九年级数学一模试题分类汇编——二次函数综合附答案

九年级数学一模试题分类汇编——二次函数综合附答案
一、二次函数
1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=5
2
时，四边形AOPE面积最大，最大值为
75
8
.（3）P
点的坐标为：P13+515
-
），P2（
35
-1+5
2
），P3
5+5
，
1+5
2
），
P4（55
2
-
，
15
2
）.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=1
2
×3×3+
1
2
PG•AE，
=9
2
+
1
2
×3×（-m2+5m-3），
=-3
2
m2+
15
2
m，
=
32（m-52
）2+758，
∵-
3
2
＜0， ∴当m=
52
时，S 有最大值是758；
（3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，
∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ， 易得△OMP ≌△PNF ， ∴OM=PN ，
∵P （m ，m 2-4m+3）， 则-m 2+4m-3=2-m ， 解得：m=
5+5或55
-，
∴P 的坐标为（
5+5，1+5）或（55-，15-）；
如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，
同理得△ONP ≌△PMF ， ∴PN=FM ，
则-m 2+4m-3=m-2，
解得：
P 2
）；
综上所述，点P 的坐标是：（
2
，2）或（52-，12
）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
2．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为
D .
（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，
①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；
②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2
||23y a x a x =-+的图像只有一个
公共点，求t 的取值范围.
【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最
，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332
t ≤<或7
2t =.
【解析】 【分析】
（1）先利用对称轴公式x=2a
12a
--
=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数
的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结
论，得出t 的取值． 【详解】 解：（1）∵2a
x 12a
-=-
=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4， ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=， 解得a 1=-.
∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.
C 点坐标为()0,3，顶点
D 的坐标为()1,4.
（2）①∵PC PD CD -≤，
∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.
连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===
∴PC PD -
. 易得直线CD 的方程为y x 3=+. 把()P t,0代入，得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.
②2
y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,
y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩
设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段
PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.
（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-.
∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
（2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=.
当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点.
所以当3
t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
（3）将y 2x 2t =-+带入()2
y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=.
()Δ1642t 3288t =--=-.
令288t 0-=，解得7
t 2
=
. ∴当7
t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7
t 2
=. 【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．
3．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D ． （1）求抛物线的解析式；
（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；
（3）△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由； （4）在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA ﹣MC |最大？若存在请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）9
4
；（3）点P （1，0）或（2，﹣1）；（4）M （2，﹣3）． 【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴
930
10
b c
b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得
4
3
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣
（x﹣3
2
）2+
9
4
．∵a=﹣1＜0，∴当x=
3
2
时，线段PD的长度有最大值
9
4
；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析
式为y=kx+b（k≠0），则
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
3
3
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴直线BC的解析式为y=﹣
3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．
4．如图，抛物线y ＝12
x 2
+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝
213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （3
2，﹣258
）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣5
4
）． 【解析】 【分析】
（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=
对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线
x 3
2=
交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】
（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112
⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 213
22
x =-x ﹣2． y 21322x =
-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （325
2
8
，
-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，213
22
x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．
∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为（325
28
，-），
∴抛物线的对称轴为x
3
2
=．
∵抛物线y1
2
=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x
3
2
=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y2
13
22
x
=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x
3
2
=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：
2
40
b
k b
=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
1
2
2
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，∴y
1
2
=x﹣2．
当x
3
2
=时，y
135
2
224
=⨯-=-，∴点M的坐标为（
35
24
-，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=9
4
；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】
（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，
得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
，解得123a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，
这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得
303k b b +=⎧⎨
=-⎩，解得1
3k b =⎧⎨=-⎩
， BC 的解析式为y=x ﹣3，
设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9
4
， 当n=
32时，PM 最大=9
4
； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；
当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，
解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2，
n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；
综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
6．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．
（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN
+均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）
32． 【解析】
试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =1
3
-．
令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =﹣3或x =33，∴点A 的坐标为（﹣3，0），B （33，0），∴抛物线的对称轴为x =3．
（2）∵OA =3，OC =3，∴tan ∠CAO =3，∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =
3AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 的坐标为（3，a ）．
依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．
当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．
当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 的坐标为（3，0）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（3，﹣4）． 综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．
（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+．
设直线MN 的解析式为y =kx +1．
把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -
，∴点N 的坐标为（1k -，0），∴AN =13k
-+=31k -． 将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．
过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33
k +-．
∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323
k k --，∴11AM AN +323231k k --3232k -3(31)2(31)
k k --3 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．
7．在平面直角坐标系中，O
为原点，抛物线2(0)2
y ax x a =-≠
经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=
，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ
）抛物线的解析式为212y x x =-;
抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q
点坐标为
或(-，理由见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ
）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.
（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.
（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）
∵2(0)y ax x a =≠
经过点3)A -，
∴23a -=⨯12a =， ∴
抛物线的解析式为2122y x x =
-，
∵212222b x a =-=-=⨯， ∴
抛物线的对称轴为直线x = （Ⅱ）∵点(0,0)O
，对称轴为2x =
，
∴点O 关于对称轴的对称点B
点坐标为.
作点B 关于轴的对称点1B
，得1(B -，
设直线AB 1的解析式为y kx b =+，
把点3)A -
，点1(B -
代入得30b b
⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，
解得9
4k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
∴94y x =-. ∴
直线944
y x =--与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9
y 4=-，
∵P 点坐标为9(0,)4-.
（Ⅲ）
∵3)A -，//AC x 轴，
∴AC =
3OC =，
∴113222
AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=， 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，
∴32
AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q
点坐标为21(,)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，
∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=
梯形，
∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭
⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭
化简整理得2180m -=，
解得1m =
2m =-
如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
393(3)22m m --+-=，
化简整理得23180m m --=，
解得133m =，223m =-，
∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，
∴抛物线上存在点Q ，使得13
AOC AOQ S S ∆∆=.
【点睛】
主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.
8．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m 、n 的值分别为 5，-5
【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得：
4b+c-16=0，b+c-1="3" ，
解得：b="4" ， c=0．
所以抛物线的表达式为：2
4y x x =-+．
y=-224(2)4y x x x =-+=--+，
所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．
（2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）．
三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20，
所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）
又n=-2m +4m ，
所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)
故所求m 、n 的值分别为 5，-5．
9．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.
（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；
（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；
（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点
关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或
【解析】
【分析】
（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．
（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果．
（3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．
【详解】
（1）证明：∵()()()22
2454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥
∴抛物线与x 轴总有交点.
（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知， 方程的两根为：257m m x （）-±-= 即121
6x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+
1<?m 3∴<
(3)解：令 x = 0， y =6m -+
∴ M （0，6m -+）
由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），
它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），
由题意，可得：
6166m m m 或-+=-+=-
56m m ∴==或
【点睛】
本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．
10．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．
（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；
（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？
（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) S=﹣2+0＜t＜5）； (2) 30
7
;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；
（2）设PM=x，则AM=2x，可得，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得
AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．
【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=1
2
∠ABC=60°，AC⊥BD，
∴∠OAB=30°，
∵AB=20，
∴OB=10，
由题意得：AP=4t，
∴PQ=2t，
，
∴S=S△ABC﹣S△APQ，
=11
··
22
AC OB PQ AQ
-，
=11
102
22
t
⨯⨯⨯⨯，
=﹣2（0＜t＜5）；（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，∵点Q关于O的对称点为M，
∴OM=OQ，
设PM=x，则AM=2x，
∴
，
∴
∴
∵AM=AO+OM，
∴
，
t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，
如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积，
∴S △APN =S △PMN ，
过M 作MG ⊥PN 于G ， ∴
11··22
PN AP PN MG ， ∴MG=AP ，
易得△APH ≌△MGH ， ∴AH=HM=3
t ， ∵AM=AO+OM ，
同理可知：OM=OQ=103﹣23t ，
3
t=103=103﹣23t ， t=3011
． 答：当t 为
3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.
11．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的
坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P
（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，5
3
）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）
63 8，
315
,
24
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；
（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩
． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；
（2）如答图1，
∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，
∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，
∴C （0，3），M （﹣1，0）
∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝
53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53
）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10，
∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；
∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53
）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：
如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．
设直线AC′函数关系式为：y ＝kx+t （k≠0）．
将点A （1，0），C′（﹣2，3）代入，得023
k t k t +=⎧⎨-+=⎩， 解得11
k t =-⎧⎨=⎩， 所以，直线AC′函数关系式为：y ＝﹣x+1．
将x ＝﹣1代入，得y ＝2，
即：Q （﹣1，2）；
（4）过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，﹣a 2﹣2a+3）（﹣3＜a ＜0）
∴EF ＝﹣a 2﹣2a+3，BF ＝a+3，OF ＝﹣a
∴S 四边形BOCE ＝
12BF•EF+12（OC+EF ）•OF ＝12（a+3）•（﹣a 2﹣2a+3）+12
（﹣a 2﹣2a+6）•（﹣a ） ＝﹣32a 2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638
， ∴当a ＝﹣32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638
． 此时，点E 坐标为（﹣
32 ，154）． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．
12．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=--+.
（2）3210.
（3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），
∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.
∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.
（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.
∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.
∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.
∴△PBC 的周长最小是：3210.
（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）
∴()22
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴
()
22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.
②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
13．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．
①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41
②点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（1
2
，-
5
2
），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的
解析式为y=-1
5
x+b，把E（
1
2
，-
5
2
）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-
1
5
x-
12
5
，则
解方程组
5
112
55
y x
y x
-
⎧
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式
得到3=13
+
6
2
x
，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），
当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），
把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），
∵B （5，0），C （0，﹣5），
∴△OCB 为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形，
∴AM=2AB=2×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，
∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴222=4，
设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），
当P 点在直线BC 上方时，
PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4，
当P 点在直线BC 下方时，
PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41， 综上所述，P 点的横坐标为4或5+412或5-412
； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
14．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．
【解析】
试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由．
解得：．
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=，
∴该抛物线解析式为：y=；．
（2）可求得A（0，3）。