新教材人教a版选择性必修第二册44数学归纳法课件11

【例 1】(1)用数学归纳法证明 1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n
∈N*),验证当 n=1 成立时,等号左边所得的代数式是 (
A.1
C.1+2+3
B.1+2
D.1+2+3+4
解析:当 n=1 时,等号左边为 1+2+3.
答案:C
).
(2)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×5×…×
时,等式成立”作为条件来推出“当 n=k+1 时,等式也成立”.
【跟踪训练】
1.是否存在常数 a,b,c,使等式 1·(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2n2)=an4+bn2+c 对一切正整数 n 成立?并证明你的结论.
解:分别将 n=1,n=2,n=3 代入等式,


= ,
+ + = ,
D.1+2+3+…+2k+(2k+1)+ 2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
解析:因为要证明 1+2+3+…+2n=2n2+n (n∈N*)成立,
所以当 n=k+1(k∈N*)时,需要证明
1+2+3+…+2k+(2k+1)+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)成立.
答案:D
探索点一 利用数学归纳法证明等式
第四章
]
数列
4.3
数学归纳法
[学习目标]
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单命
题,体会从特殊到一般的数学思想.
数学归纳法的定义
新知探究
情境Ⅰ:据观察,今天第一个到学校的是男同学,
第二个到学校的也是男同学,第三个到学校的还
是男同学.猜想:这所学校里的学生都是男同学.


情境Ⅱ:数列{an}的通项公式为 an=( - + ) ,
【思考】
(1)数学归纳法所证明的命题都是从 n=1 开始的吗?
提示:不一定.
(2)数学归纳法是完全归纳还是不完全归纳?
提示:完全归纳.
【基础测试】
1.已知命题 P(n)对 n=k 成立,且它对 n=k+2 也成立,
若命题 P(1)成立,则下列结论正确的是 (
)
A.P(n)对所有自然数 n 都成立
B.P(n)对所有正偶数 n 都成立
(+)


,即
>
+
+ (+) (+)+
=

-
(+) -
<0,所以
(+)



,所以当
>
1+ + +…+ +
(+) (+)+

n=k+1 时,不等式成立.由(1)(2)知,不等式对一切 n∈N*都成立.

(n∈N*).
( +)
计算得 a1=1,a2=1,a3=1.猜想:数列{an}的每一项
都为 1.
【思考】
(1) 上面两个情境中的猜想是否正确,为什么?
提示:情境Ⅰ,Ⅱ中的结论都是错误的,因为结论
未包含所有的情况.
(2)上面两个情境中的猜想有什么相同点?
提示:相同点:都用到了归纳法,且是不完全归纳.
【知识梳理 】
数学归纳法
4.拔高练已知数列{an}满足 a1=1,an+1=
(1)求 a2,a3,并猜想{an}的通项公式(不需证明);
解:由

a1=1,an+1=
=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1),
从 n=k 到 n=k+1,等式的左边需增乘的代数式是
(++)(+++) (+)(+)
=
=2(2k+1).
+
+
答案:D
(3)用数学归纳法证明: -


-


-


×…× -


=
+
(+) (+)+

证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=


(+)
(+)


+
.因为
≥
+
明
+ +
+ (+) (+)+
(+)

(+)
=
-(+)
=
-(+)
(+) [(+) -] (+) ( ++)
定是 n=1.
(2)递推是关键:从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子
项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由
n=k 到 n=k+1 时,等式的左边会增加多少项、增加怎样的
项.
(3)利用假设是核心:在第二步证明当 n=k+1 时等式成立
的时候,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“当 n=k
故选 C.
答案:C

1+ + <2.




(2)求证: + +…+ > (n≥2,n∈N*).
+ +



证明:①当 n=2 时,左边= + + + = ,右边= ,


故左边>右边,不等式成立.
②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,
*
3.同类练用数学归纳法证明对一切 n∈N



,1+ + +…+ ≥
.

+
×
=1,不等式成立.
×+



,则
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 1+ + +…+ ≥
+

(+)



成立,只需证
≥
当 n=k+1 时,要证明 1+ + +…+ +




下面证明
+
+
- ≥0 成立.
+ + + +
方法一(分析法):




+
+
- ≥0
+ + + +
要证明
成立,
只需证明(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)·(3k+2)3(3k+1)(3k+2)≥0 成立,
只需证明(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)(27k2+27k+6)≥0 成立,
只需证明 9k+5≥0 成立,它显然成立.
方法二(缩放法):






- =0,所以
+
+
- ≥0
+ +
+ + + +
因为左边>3×
综上,当 n=k+1 时,不等式也成立.
由①②可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N*都成立.
成立.
用数学归纳法证明不等式成立的关键点
(1)验证 n 的第一个值 n0 时,要注意 n0 不一定为 1,若 n>k(k
一般地,证明一个与 正整数n
有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当 n=n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当 n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出
“当 n=k+1 时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n
都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
=1·(k2-12)+2·(k2-22)+…+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+
1)+…+k(2k+1)
4 2
(+)
= k - k +(2k+1)·




4
= (k+1) - (k+1)2.


即当 n=k+1 时,等式也成立.
由(1)(2)知,等式对一切正整数 n 都成立.
(2n-1)(n∈N*),从 n=k 到 n=k+1,等式的左边需要增乘的代
数式是(
A.2k+1
)
+
B.
+
+
C.
+
D.2(2k+1)
解析:用数学归纳法证明
(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*)时,当
n=k 时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),当 n=k+1 时,左边
+
,



=


×…×

-

+ (+) + (+)+
·
=
=
,所以当
(+) (+) (+)
=
式也成立.
综合①②,得对于任意 n≥2,n∈N*,等式成立.
·-

(+)
=
n=k+1 时,等
利用数学归纳法证明等式成立的关键点
(1)验证是基础:找准起点,有些问题中验证的初始值不一
探索点二 利用数学归纳法证明不等式
【例 2】(1)用数学归纳法证明


“1+ + +…+

*
<n(n∈N
,n>1)”时,第一步需要
-
验证的不等式是 (


)


A. <2 B.1+ <2

C.1+ + <2


D.1+ + + <2

解析:第一步验证当 n=2 时的情况,即
(1)当
成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,等式成立,即
2
2
2
2
2
2
1·(k -1 )+2(k -2 )+…+k(k -k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
)= k - k .


则当 n=k+1 时,左边
=1·[(k+1)2-12]+2·[(k+1)2-22]+…+k·[(k+1)2-k2]+(k
+1)·[(k+1)2-(k+1)2]
得 + + = , 解得 = - ,下面用数学归纳法证

+ + = ,
= .





n=1 时,左边=1×(12-12)=0,右边= - =0,左边=右边,等式

明 1·(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)= n4- n2(n∈N*)成立.
时,应先证明 (
A.f(1)>0
C.f(4)>0
)
B.f(2)>0
D.f(5)>0
解析:当利用数学归纳法证明 f(n)=2n-n2>0(n≥5,n
∈N*)时,第一步应该先证明当 n=5 时命题成立,
即证明 f(5)=25-52>0 成立.
答案:D
3.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+2n=2n2+n (n∈N*)的
+
+ + +








= + + +…+
+
+ +…+ +
则当 n=k+1 时,
+ + + + +
+ +










- =
+
- ,因为
+
- > +
+
+
+ + +
+ + + + + +
即



+ +…+ > .
+ +

则当 n=k+1 时,







+
+…+ +
+
+
= +
(+)+ (+)+
+ + (+) +







+…+ +
+
+
> +
+
+ + + +




+
+
.
+ + + +
C.P(n)对所有正奇数 n 都成立
D.P(n)对所有大于 1 的自然数 n 都成立
解析:由若命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+2 也
成立,且已知命题 P(1)成立,可得命题
P(3),P(5),P(7),P(9),P(11),…均成立,即 P(n)对所
有正奇数 n 都成立.
答案:C
2.当用数学归纳法证明 f(n)=2n-n2>0(n≥5,n∈N*)
(n≥2,n∈N*).

解:①当

+
n=2 时,左边=1- = ,右边= = ,所以左边=右边,所

×
以当 n=2 时,等式成立;
②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即
-