2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版讲义：第二章 不等式 含答案 精品

第二章⎪
⎪⎪
不等式
第一节不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；
(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a > n
b (n ∈N ，n ≥2)． [小题体验]
1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c >d >0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3
b . 答案：(1)＞ (2)> (3)＞
2.2＋7，3＋6的大小关系为____________． 答案：2＋7<3＋ 6
3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋c
b ＋
c 的大小关系为________．
答案：b ＋c a ＋c >a ＋c
b ＋c
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．
[小题纠偏]
1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1
b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3
答案：D
2．“a >b >0”是“1a 2<1
b 2”的________条件．
答案：充分不必要
考点一 比较两个数(式)的大小(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m ＞n C ．m ≤n D ．m ＜n 答案：B 2．若a ＝
ln 22，b ＝ln 3
3
，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 3
3ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .
答案：＜
3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5
a 5的大小关系为________．
解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5
a 5.
当q ＞0且q ≠1时，
S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5
)a 1q 4(1－q )
＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，
所以S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5
a 5
.
答案：S 3a 3＜S 5
a 5
[谨记通法]
比较两实数(式)大小的2种常用方法
考点二 不等式的性质(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．已知a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a <b
a B.
b －a
c >0
C.b 2c >a 2c
D ．a －c ac <0
解析：选C 由c <b <a 且ac <0，有c <0，a >0，不一定能成立的是C.
2．(2018·嘉兴模拟)若a ，b 为正实数，且a ≠1，b ≠1，则“a >b >1”是“log a 2<log b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a >b >1时，log a 2－log b 2＝
ln 2ln a －ln 2ln b ＝ln 2(ln b －ln a )
ln a ·ln b
<0，所以log a 2<log b 2.反之，取a ＝1
2，b ＝2，log a 2<log b 2成立，但是a >b >1不成立．故“a >b >1”是“log a 2<log b 2”
的充分不必要条件，选A.
[由题悟法]
不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
[即时应用]
1．若1a ＜1
b ＜0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2＜b 2 B.ab ＜b 2
C ．a ＋b ＜0
D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |
解析：选D ∵1a ＜1
b ＜0，∴b ＜a ＜0， ∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0， ∴选项A 、B 、C 均正确， ∵b ＜a ＜0，
∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D.
2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a <b <0，则1a <1
b
D ．若a <b <0，则b a >a
b
解析：选B A 选项需满足c ≠0；取a ＝－2，b ＝－1知选项C 、D 错误．故选B. 考点三 不等式性质的应用(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．(2018·嘉兴期末)已知－1<x ＋y <4,2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是____________． 解析：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ， 所以m ＋n ＝3，m －n ＝2， 解得m ＝52，n ＝12
，
所以3x ＋2y ＝52 (x ＋y )＋1
2(x －y )，
由－1<x ＋y <4， 得－52<5
2(x ＋y )<10，
由2<x －y <3， 得1<12(x －y )<32
，
上述不等式相加得－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，
所以－32 <3x ＋2y <23
2.
答案：⎝⎛⎭
⎫－32，232
2．已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2
y 的取值范围．
解：由1≤lg xy ≤4，－1≤lg x
y ≤2， 得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2， 而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋3
2(lg x －lg y )，
所以－1≤lg x 2
y ≤5，
即lg x 2
y
的取值范围是[－1,5]．
[类题通法]
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
[即时应用]
1．若6＜a ＜10，a
2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )
A ．[9,18]
B ．(15,30)
C ．[9,30]
D ．(9,30)
解析：选D ∵a
2≤b ≤2a ，
∴3a
2≤a ＋b ≤3a ， 即3a
2≤c ≤3a . ∵6＜a ＜10， ∴9＜c ＜30.故选D.
2．已知a >0，b >0，求证：a ＋b ＋2≥2(a ＋b )． 证明：a ＋b ＋2－2(a ＋b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0， 所以a ＋b ＋2≥2(a ＋b )．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜B
D ．A ＞B
解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b >1a B.1a >1b C ．|a |>|b |
D ．a 2>b 2 解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则
1a －b >1
a
不成立． 3．(2018·杭州二中月考)a (a －b )>0是b
a <1成立的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C b a <1⇔b a －1<0⇔b －a a <0⇔a －b a >0⇔a (a －b )>0，所以a (a －b )>0是b
a <1成立的充要条件，故选C.
4．(2018·金华模拟)设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a ＞0 B.a 3＋b 3＜0 C ．a 2－b 2＜0
D ．b ＋a ＞0
解析：选D 利用赋值法，令a ＝1，b ＝0，排除A 、B 、C ，选D.
5．b g 糖水中有a g 糖(b ＞a ＞0)，若再添m g 糖(m ＞0)，则糖水变甜了．试根据这一事实，提炼出一个不等式____________．
答案：a b ＜a ＋m b ＋m
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B.M >N C ．M ＝N
D ．不确定
解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，
又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .
2．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.
其中正确的不等式的序号是( )
A ．①④ B.②③ C ．①③
D ．②④
解析：选C 法一：因为1a <1
b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，
所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.
法二：由1a <1
b
<0，可知b <a <0.
①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b
<1
ab ，故①正确；
②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1
b
，故③正确；
④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确。

3．(2018·宁波模拟)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1
b ”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫
b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1
b 成立，但a >b >1
不成立，所以必要性不成立．
4．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B.－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜n
D ．m ＜－n ＜n ＜－m
解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 5．设a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2
b 与q ＝a ＋b 的大小关系是( ) A ．p >q B.p ≥q C ．p <q
D ．p ≤q
解析：选D p －q ＝b 2a ＋a 2
b －(a ＋b )＝b 3＋a 3－a 2b －ab 2ab ＝a (a 2－b 2)－b (a 2－b 2)ab ＝
(a －b )(a 2－b 2)ab ＝(a －b )2(a ＋b )
ab
.
因为a <0，b <0，
所以(a －b )2(a ＋b )ab
≤0，即p ≤q ，故选D.
6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1
b 同时成立的条件是________．
解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1
b .
∴a ＜b 和1a ＜1
b 同时成立的条件是a ＜0＜b . 答案：a ＜0＜b
7．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2. 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 答案：(－4,2) (1,18)
8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a
2与1a ＋1
b 的大小关系是________．
解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2
≥0，∴(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
≥0.
∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，
即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，
解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
b 2<1，b >1，此式无解． 综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)
10．实数x ，y 满足3≤xy 2
≤8，19≤y x 2≤1
4，求x 3y
4的取值范围．
解：∵19≤y x 2≤14
，∴4≤x 2y ≤9，∴⎝⎛⎭⎫x 2y 2∈[16,81]．
又∵3≤xy 2≤8.∴1
xy 2∈⎣⎡⎦
⎤18，13， ∴x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2
y 2·1xy 2∈[2,27]，故x 3
y
4的取值范围为[2,27]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞) B.(0,2) C ．(1,3)
D ．(0,3)
解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪
⎧
a <
b ＋
c ≤3a ，a ＋b >c ，
a ＋c >
b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1<b a ＋c
a ≤3，
1＋b a >c
a ，
1＋c a
>b a ，∴⎩⎨⎧
1<b a ＋c
a ≤3，
－1<c a －b
a <1，
两式相加得，0<2·c
a <4， ∴c
a 的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞
b ＞0，m ≠－a ，则
b ＋m a ＋m ＞b
a
时，m 满足的条件是________． 解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得(a －b )m
a (a ＋m )＞0，
因为a ＞b ＞0，所以m
m ＋a
＞0.
即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜0，m ＋a ＜0.
∴m ＞0或m ＜－a .
即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a . 答案：m ＞0或m ＜－a 3．设a 1≈2，a 2＝1＋11＋a 1.
(1)证明：2介于a 1，a 2之间； (2)求a 1，a 2中哪一个更接近 2.
解：(1)证明：∵(2－a 1
)(2－a
2)＝(2－a 1)·⎝⎛⎭⎫2－1－11＋a 1＝(1－2)(2－a 1)21＋a 1<0.
∴2介于a 1，
a 2
之间．
(2)|2－a 2|＝⎪⎪⎪⎪2－1－11＋a 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
(1－2)(2－a 1)1＋a 1＝2－11＋a 1|2－a 1|<|2－a 1|.
∴a 2比a 1更接近 2.
第二节一元二次不等式及其解法
对应学生用书P8
“三个二次”的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根x 1，
x 2(x 1＜x 2)
有两相等实根x 1＝x 2
＝－b 2a
没有实数根
一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解
集
{x |x <x 1或x >x 2}
⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫xx ≠－b 2a
R
一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解
集
{x |x 1＜x ＜x 2}
∅
∅
[小题体验]
1．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)
D ．(1,2)∪(3,4)
解析：选B 由题意得B ＝{x |－1≤x ≤3}， 根据补集的定义，∁R B ＝{x |x <－1或x >3}， 所以A ∩∁R B ＝(3,4)．
2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅
3．不等式ax 2＋abx ＋b >0的解集为{x |2<x <3}，则a ＝________，b ＝________. 解析：由题意知2,3是ax 2＋abx ＋b ＝0的两根，
则⎩⎨⎧
2＋3＝－ab
a ＝－
b ，2×3＝b
a ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝－5，a ＝－5
6. 答案：－5
6
－5
1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． [小题纠偏]
1．不等式x －3
x －1≤0的解集为( )
A ．{x |x ＜1或x ≥3} B.{x |1≤x ≤3} C ．{x |1＜x ≤3}
D ．{x |1＜x ＜3}
解析：选C 由x －3
x －1≤0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，
解得1＜x ≤3.
2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．
②当m ≠0时，由条件知⎩
⎪⎨⎪⎧
m >0，
Δ＝4m 2
－4m <0.得0<m <1. 由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)
考点一 一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 2＋1，x ≤0，
－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．
解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－1
2≤x ≤0；当x >0时，原不等
式等价于－2x －x ≤2，∴x >0.综上所述，原不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫xx ≥－12.
答案：⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫xx ≥－12
2．不等式2x ＋1
x －5≥－1的解集为________．
解析：将原不等式移项通分得
3x －4
x －5
≥0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧
(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤4
3.
所以原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≤4
3
或x >5. 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≤4
3或x >5 3．解下列不等式：
(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)x ＋5
(x －1)2
≥2. 解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤4
3
，
所以原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
－2≤x ≤43. (2)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠1，
x ＋5≥2(x －1)2
， 即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ≠1，2x 2－5x －3≤0， 解得－1
2
≤x <1或1<x ≤3.
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
－12≤x <1或1<x ≤3. [谨记通法]
解一元二次不等式的4个步骤
考点二 含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1
a (x －1)＜0， 所以当a ＞1时，解为1
a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1
a
.
综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
1＜x ＜1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.
当a ＞1时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
1a
＜x ＜1. [由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
[即时应用]
1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－1
3，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.⎝⎛⎭⎫13，12
D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－1
3是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得
－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1
a .解得a ＝－6，
b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0，即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．
2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，
令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3
.
当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a
3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭
⎫－a
4，＋∞. 考点三 一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
常见的命题角度有：
(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围；
(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．
[题点全练]
角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围
1．若不等式2kx 2＋kx －3
8<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )
A ．(－3,0)
B ．[－3,0)
C ．[－3,0]
D ．(－3,0]
解析：选D 当k ＝0时，显然成立；
当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －3
8
<0对一切实数x 都成立，则
⎩⎪⎨⎪⎧
k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，
解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －3
8<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．
角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围
2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围为________．
解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a
2＝1，解得a ＝2.
又因为f (x )开口向下，
所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，
f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2.
∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围
3．(2018·浙江五校联考)对于任意的0≤m ≤4，使不等式x 2＋mx ＞4x ＋m －3恒成立，则x 的取值范围是__________．
解析：转化为m (x －1)＋x 2－4x ＋3＞0在0≤m ≤4时恒成立． 令f (m )＝m (x －1)＋x 2－4x ＋3.
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
－4x ＋3>0，x 2－1>0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
x <1或x >3，
x <－1或x >1. ∴x ＜－1或x ＞3.
故x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
[通法在握]
一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 (1)ax 2
＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是⎩⎪⎨
⎪⎧ a >0，
Δ≤0；
(2)ax 2
＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是⎩⎪⎨
⎪⎧
a <0，
Δ≤0
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax
＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔
⎩
⎪⎨
⎪⎧
f (m )>0，f (n )>0，
若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
f (m )<0，f (n )<0
[演练冲关]
1．(2018·台州模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，
所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]
2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的
取值范围．
解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，
即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4
＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6
x 2－x ＋1.
因为函数y ＝
6x 2
－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜6
7即可．
因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭
⎫0，67.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1
x －1
的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)
D ．(1,2]
解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．
2．(2018·台州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．[－1,4]
B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D ．[－2,5]
解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.
3．(2018·镇海中学月考)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________________．
解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其图象如下图所示，
再画出f (－x )的图象即可，
所以不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为{x |－3＜x ＜－2}． 答案：{x |－3＜x ＜－2}
4．(2018·金华十校联考)若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为___________．
解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0. 令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．
则⎩⎪⎨⎪⎧
f (－2)＝－2(x 2
－1)－(2x －1)<0，f (2)＝2(x 2
－1)－(2x －1)<0.
解得－1＋72＜x ＜1＋32
，
故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪
⎫－1＋72，1＋32.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－1＋72，1＋32
5．(2018·湖州五校联考)已知实数x ，y 满足x 2＋2y 2＋1
2≤x (2y ＋1)，则x ＝________，y
＝________，2x ＋log 2y ＝________.
解析：法一：由已知得2x 2＋4y 2－4xy －2x ＋1≤0，即(x －1)2＋(x －2y )2≤0，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
x －1＝0，x －2y ＝0，
解得x ＝1，y ＝12，2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.
法二：由已知得，关于x 的不等式x 2－(2y ＋1)x ＋2y 2＋1
2≤0(*)有解，所以Δ＝[－(2y ＋
1)]2－4⎝⎛⎭⎫2y 2＋12≥0，即Δ＝－(2y －1)2≥0，所以2y －1＝0，即y ＝1
2，此时不等式(*)可化为x 2－2x ＋1≤0，即(x －1)2≤0，所以x ＝1,2x ＋log 2y ＝2＋log 21
2
＝2－1＝1.
答案：1
12
1 二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2
＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )
A ．－3
B ．1
C ．－1
D ．3
解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.
2．(2018·丽水五校联考)不等式x ＋2
x ＋1
＞2的解集是( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A 法一：x ＋2x ＋1＞2⇔x －2＋2
x ＋1＞0⇔x (x －1)x ＋1＞0⇔x (x －1)(x ＋1)＞0⇔ －
1＜x ＜0或x ＞1.
故原不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
法二：验证，x ＝－2，1
2
不满足不等式，排除B 、C 、D.
3．(2018·丽水五校联考)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－2，x >0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，
则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )
A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1] C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)
D ．[－3，＋∞)
解析：选C 因为f (－4)＝f (0)，所以当x ≤0时，f (x )的对称轴为x ＝－2，又f (－2)＝0，
则f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－2， x >0，(x ＋2)2
，x ≤0，不等式f (x )≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故选C. 4．(2018·宁波四校联考)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．正数、负数和零都有可能
解析：选A 设f (x )＝x 2－x ＋a ＝0的两个根为α，β，由f (m )<0，则α<m <β， 由于二次函数f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝1
2，且f (0)＝a >0，则|α－β|<1，f (m －1)>0，
故选A.
5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B.[－4,3] C ．[1,3]
D ．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.
6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.
∴a >4或a <－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．
解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －4
5a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜4
5，
故所求解集为⎝
⎛⎭⎫－1，4
5. 答案：⎝
⎛⎭⎫－1，45 8．(2018·萧山月考)不等式x 2
＋ax ＋b >0(a ，b ∈R)的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ≠－1
2a ，x ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
解析：因为不等式x 2＋ax ＋b >0(a ，b ∈R)的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x ≠－1
2a ，x ∈R ， 所以x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1
2a 2＝0， 那么不等式x 2＋ax ＋b ＜c ， 即⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2a 2<c ，所以c ≥0， 所以－c －12a <x <c －12a ，
又m <x <m ＋6， c －
12a
－⎝⎛
⎭⎫－c －12a ＝m ＋6－m ， 即2c ＝6，所以c ＝9. 答案：9
9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.
∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．
(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎨⎧
－1＋3＝a (6－a )
3
，－1×3＝－6－b
3
，解得⎩⎨⎧
a ＝3±3，
b ＝－3.
10．关于x 的不等式⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2>0，
2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值
范围．
解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.
∵⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，的整数解为x ＝－2， 又∵方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 和－52.
①若－k ＜－5
2
，
则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}； ②若－5
2＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2.
综上，所求k 的取值范围为[－3,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)
D ．(－∞，－6)
解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.
2．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2
＋2x ＋3
2
对一切实数x 都成立，证明你的结论．
解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝7
2.
令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋3
2，解得x ＝－1.
由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤3
2，
由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥3
2
，
∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝5
2
且b ＝1.
∴f (x )＝ax 2＋x ＋5
2
－a .
依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋1
2对一切x ∈R 都成立，
即(a －1)x 2＋x ＋2－a ≥0对一切x ∈R 都成立． ∴a ≠1且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0. 即(2a －3)2≤0，∴(2a －3)2＝0， 由a －1＞0得a ＝32.∴f (x )＝ 3
2
x 2＋x ＋1.
证明如下：32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32＝－12x 2－x －12＝－1
2(x ＋1)2≤0.
∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋3
2对x ∈R 都成立． 32x 2＋x ＋1－x 2－12＝12x 2＋x ＋12＝1
2(x ＋1)2≥0， ∴x 2＋12≤3
2
x 2＋x ＋1对x ∈R 都成立．
∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋3
2对一切x ∈R 都成
立．
第三节绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解法：
(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
[小题体验]
1．不等式|2x－1|＞3的解集为________．
答案：{x|x＜－1或x＞2}
2．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为________．
x|x≥1
答案：{}
3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，
即函数y的最小值为8.
答案：8
1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．
2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．
[小题纠偏]
1．设a，b为满足ab<0的实数，那么()
A．|a＋b|>|a－b|B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：选B∵ab<0，
∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.
2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，
∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
答案：[－2,4]
考点一绝对值不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
答案：2
2．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.
解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤3
2；
当－12≤x ≤1
2时，原不等式转化为2≤6，恒成立；
当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.
综上知，原不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－32≤x ≤32.
法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪
⎪x ＋1
2≤3， 其几何意义为数轴上到12，－1
2两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x
＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤3
2时，满足题意，则原不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－32≤x ≤32.
3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．
解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，
－x ＋4，x >32，
故y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3或x ＝5.
故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，
f (x )<－1的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x <1
3
或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x <1
3
或1<x <3或x >5. [谨记通法]
解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
考点二 绝对值不等式的证明(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋1
2，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ，x ≤－1
2
，
1，－12<x <1
2，
2x ，x ≥12
.
当x ≤－1
2
时，
由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1； 当－12<x <1
2时，f (x )<2恒成立；
当x ≥1
2
时，
由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．
(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0.
因此|a ＋b |<|1＋ab |.
[由题悟法]
证明绝对值不等式主要的3种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
[即时应用]
已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，
求证：|x ＋5y |≤1.
证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.
∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×1
4
＝1.即|x ＋5y |≤1.
考点三 绝对值不等式的综合应用(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．
(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪1
2－x ≥3－a 2
. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪
⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．
[由题悟法]
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .
[即时应用]
(2018·浙江七校联考)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；
(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1
n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－2
3时，即－3x －2－x ＋1<4，
解得－54<x <－2
3
；
当－2
3≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，
解得－23≤x <1
2
；
当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，x ∈⎝⎛⎭
⎫－54，1
2. (2)1m ＋1
n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4，
当且仅当m ＝n ＝1
2时等号成立．
令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝ ⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋2＋a ，x <－2
3，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，
－2x －2－a ，x >a .
∴x ＝－23时，g (x )max ＝2
3＋a ，要使不等式恒成立，
只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤10
3.
所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，10
3.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( ) A ．8
B ．2
C ．－4
D ．－8
解析：选C 因为不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，所以－1,2是方程|ax ＋2|＝6，
代入得⎩
⎪⎨⎪⎧
|－a ＋2|＝6，
|2a ＋2|＝6，解得a ＝－4，故选C.
2．若|x －a |<h ，|y －a |<h ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|x －y |<h B.|x －y |<2h C ．|x －y |>h
D ．|x －y | >2h
解析：选B 2h >|x －a |＋|y －a |≥|x －a －(y －a )|＝|x －y |，故选B. 3．不等式|x ＋2|>3x ＋14
5的解集是( )
A ．(－3，－2) B.(－2,0)
C ．(0,2)
D ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
解析：选D 不等式即为5(x ＋2)>3x ＋14或5(x ＋2)<－(3x ＋14)，解得x >2或x <－3，故选D.
4．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集为____________． 解析：不等式|x －1|－|x －5|<2等价于
⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，－(x －1)＋(x －5)<2或⎩⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤5，x －1＋x －5<2 或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >5，x －1－(x －5)<2， 即⎩⎪⎨⎪⎧
x <1，－4<2或⎩⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤5，2x <8或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >5，4<2，
故原不等式的解集为{x |x <1}∪{x |1≤x <4}∪∅＝{x |x <4}． 答案：{x |x <4}
5．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集为________．
解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·台州联考)不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B.{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}
D ．{x |x <1且x ≠－1}
解析：选D 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，1－x 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，
(1＋x )2>0，
解得0≤x <1或x <0且x ≠－1.故选D.
2．如果x，y是实数，那么“xy＜0”是“|x－y|＝|x|＋|y|”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A因为“xy＜0”可以推出“|x－y|＝|x|＋|y|”成立，反过来若“|x－y|＝|x|＋|y|”成立，但是xy有可能等于0，所以“xy＜0”是“|x－y|＝|x|＋|y|”的充分不必要条件，故选A.
3．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是()
A．[－5,7] B.[－4,6]
C. (－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析：选D当x≤－3时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x－x－3＝2－2x≥10，即x≤－4，∴x≤－4.当－3<x<5时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x＋x＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x≥5时，|x －5|＋|x＋3|＝x－5＋x＋3＝2x－2≥10，即x≥6，∴x≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
4．不等式x2－|x－1|－1≤0的解集为()
A．{x|－2≤x≤1} B.{x|－1≤x≤2}
C．{x|1≤x≤2} D．{x|－1≤x≤1}
解析：选A当x－1≥0时，原不等式化为x2－x≤0，解得0≤x≤1.∴x＝1；
当x－1＜0时，原不等式化为x2＋x－2≤0，
解得－2≤x≤1.∴－2≤x＜1.
综上，－2≤x≤1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}，故选A.
5．(2018·长沙六校联考)设f(x)＝1
a x
2－bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(－1,3)，若f(7
＋|t|)＞f(1＋t2)，则实数t的取值范围为() A．(－3,1) B.(－3,3)
C．(－1,3) D．(－1,1) 解析：选B∵f(x)＜0的解集是(－1,3)，
∴a＞0，f(x)的对称轴是x＝1，且ab＝2.
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
又∵7＋|t|≥7,1＋t2≥1，
∴由f(7＋|t|)＞f(1＋t2)，得7＋|t|＞1＋t2.
∴|t|2－|t|－6＜0，解得－3＜t＜3. 故选B.
6．(2018·温州模拟)不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，则a 的取值范围为________． 解析：不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，只需a >(|x －1|－|x －2|)max . 因为|x －1|－|x －2|≤|x －1－(x －2)|＝1，故a >1. 故a 的取值范围为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)
7．设|x －2|<a 时，不等式|x 2－4|<1成立，则正数a 的取值范围为____________． 解析：由|x －2|<a 得2－a <x <a ＋2， 由|x 2－4|<1，得3<x 2<5， 所以－5<x <－3或3<x < 5.
因为a >0，所以由题意得⎩⎨⎧
3≤2－a ，a ＋2≤ 5.
解得 0<a ≤5－2，
故正数a 的取值范围为(0，5－2]． 答案：(0，5－2]
8．(2018·杭州五校联考)已知不等式|x 2－4x ＋a |＋|x －3|≤5的x 的最大值为3，则实数a 的值是____________．
解析：∵x ≤3，∴|x －3|＝3－x .
若x 2－4x ＋a ＜0，则原不等式化为x 2－3x ＋a ＋2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集， ∴x 2－4x ＋a ＜0不成立． 于是，x 2－4x ＋a ≥0，
则原不等式化为x 2－5x ＋a －2≤0.
∵x ≤3，令x 2－5x ＋a －2＝(x －3)(x －m )＝x 2－(m ＋3)x ＋3m ，比较系数，得m ＝2，∴a ＝8.
答案：8
9．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；
(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.
解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.
(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 10．(2018·杭州质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.
解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，
从而解得a ＝2.
(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，
2x －6，x ＞4.
故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得1
2≤x ≤2，
当2<x ≤4时，显然不等式成立， 当x >4时，令2x －6≤5，得4<x ≤11
2
，
故不等式f (x )≤5的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
12≤x ≤112. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·金丽衢十二校联考)设a ，b 为实数，则“|a －b 2|＋|b －a 2|≤1”是“⎝⎛⎭
⎫a －1
22＋⎝⎛⎭⎫b －122≤32
”的( )
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ⎝⎛⎭⎫a －122＋⎝⎛⎭⎫b －122≤32⇔a 2－a ＋14＋b 2－b ＋14≤3
2⇔a 2－a ＋b 2－b ≤1⇔b 2－a ＋a 2－b ≤1，令b 2－a ＝x ，a 2－b ＝y ，则|x |＋|y |≥|x ＋y |≥x ＋y ，所以|x |＋|y |≤1⇒x ＋y ≤1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.
2．(2018·宁波质检)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (1)解不等式f (x )＞0；
(2)若存在实数x 0，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＞0，即|2x －1|＞|x ＋2|， 即4x 2－4x ＋1＞x 2＋4x ＋4，
3x 2－8x －3＞0，解得x ＜－1
3
或x ＞3，
所以不等式f (x )＞0的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x ＜－1
3或x ＞3. (2)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－x ＋3，x ＜－2，－3x －1，－2≤x ≤12，
x －3，x >12，
故f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－5
2
.。