人教A版高中数学必修五(上)高二级期中考试.doc

广东实验中学2013—2014学年（上）高二级期中考试
理科数学
本试卷分基础检测和综合检测两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

第一部分 基础检测（100分）
一、选择题（每题5分，共50分） 1．抛物线28x y =的准线方程为( *** )
.A 2y =-
.B 2x =- .C 4y =- .D 4x =-
2．椭圆
的焦距等于（*** ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．“”是“直线平行于直线”的（***）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最小值是 （*** ）
A ．1-
B ．2-
C ．2
D ．0 5．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 2
9－x ·|x |
4
＝1交点的个数为( *** )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．若双曲线的焦点为
，则双曲线的渐近线方程为（***）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．圆
与直线
相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（*** ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．抛物线上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（*** ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列说法不正确的是 （ *** ）
A ．“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2
,10x R x x ∀∈--≥”；
B ．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题；
C ．R a
∈∃使“212,0,a R x x a x x ∃∈++=使方程2的两根满足x 1<1<x 2”和“函数2()log (1)f x ax =-在[1，2]上单调递增”同时为真；
D ．△ABC 中，A 是最大角，则22
sin sin B C +<sin 2
A 是△ABC 为钝角三角形的弃要条件。

10．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o
，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ *** ）
A ．
2
2
1+ B ．
2
3
1+ C ． 21+ D ．31+
二．填空题（每题5分，共20分）
11．已知圆2
2
670x y x +--=与抛物线2
2y px = （p ＞0）的准线相切，则p = *** .
12．已知动点P 在曲线2
20x y -=上移动，则点(0,1)A -与点P 连线的中点M 的轨迹方程是
*** ．
13．如图，12F F 、分别为椭圆22
221x y a b
+=的左、右焦点，点P 在椭圆上，
2POF ∆是面积为3的正三角形，则2b 的值是 *** 。

14．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a a =，21a =，21
1n n
a a +=
+， 则109a a += *** . 三．解答题 15．（10分）
如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A 、C 的坐
标分别是A （-2，3）、C （2，1）. （1）求以线段AC 为直径的圆E 的方程；
（2）若B 点的坐标为（-2，-2），求直线BC 截圆E 所得的弦长.
16．（10分）已知命题p ：方程
22
121
x y m m +=--的图象是焦点在y 轴
上的双曲线；
命题q ：不等式01)2(442
>+-+x m x 在R x ∈上恒成立；又
E
C
A
B
D
O
x
y
p q ∨为真，q ⌝为真，求实数m 的取值范围.
17．（10分）已知：双曲线
的左、右焦点分别为、
，动点
满足。

（1）求：动点的轨迹
的方程；
（2）若
是曲线
上的一个动点，求2MF 的最小值．并说明理由。

第二部分 综合检测
18．(每题5分,共15分)
(1). 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为定值．这个定值为____***_____. (2)已知二次函数2
()f x ax bx c =++，且
(1)f a =-，又
23a c b >>，则
b
a
的取值范围是 *** ．
(3)已知O 是△ABC 的外心，且OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r
，
23AB =u u u r
，P 是线段
AB 上任一点（不含端点）
，实数λ，μ满足CA CB
CP CA
CB
λμ
=+u u u r
u u u r
u u u r u u u r u u u r ，则11λμ+的最小值是 *** .
19．（11分）
已知向量)cos ),(sin(x x a ωωπ-=→
，)1,1(=→
b ，且→
→⋅=b a x f )(的最小正周期为π （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若)2
,
0(π
∈x ，解方程1)(=x f ；
（Ⅲ）在OAB ∆中，)2,(x A ，)5,3(-B ,且AOB ∠为锐角，求实数x 的取值范围. 20．（12分）
已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足1
1n n n n n
a a
b a a ++=+
，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设1
2(
)n n n a c n
λ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 21．（12分）如图：已知直线y=2x-2与抛物线x 2
=2py(p>0)交于M 1,M 2两点,直线y=2
p 与y 轴交于点F.且直
线y=2p
恰好平分∠M 1FM 2.
(I)求P 的值;
(Ⅱ)设A 是直线y=2p 上一点,直线AM 2交抛物线于另点M 3,直线M 1M 3交直线y=2
p
于点B,求OA u u u r ·
OB uuu r 的
值.
高二期中考试数学试题
第一部分 基础检测（100分）
一．选择题（每题5分，共50分）
1. A 2． D 3． A 4． B 5．D 6． B 7． A 8． C 9． C 10． B 二．填空题（每题5分，共20分） 11、2 1
2. 2
1
42
y x =- 13. 32 14． 8541+
三．解答题
15.（1）解：AC 的中点E(0,2)即为圆心 半径2
211||42522
r AC =
=+= 所以圆E 的方程为2
2
(2)5x y +-= …….4分 （2）直线BC 的斜率为34,BC 的方程为3
1(2)4
y x -=- 即3420x y --= 点E 到直线BC 的距离为|82|
25
d --=
= …….8分 所以BC 截圆E 所得的弦长为22522-=.…….10分
16.解：11
22
2=-+-m y m x 方程
Θ是焦点在y 轴上的双曲线，
7分
9分
10分
17．（1）)0,3()
0,3(21F F - 。

1
且32421>=+PF PF P ∴点的轨迹是以21F ，F 为焦点的椭圆， 。

3
且1,32==
=b c ，a 从而 。

∴
； 。

4
（2）222)3(),,(y x MF y x M +-=设 。

5
22
3)223(43243,4
1,1422222
22-=-=+-=∴-=∴=+x x x x MF x y y x Θ。

7 ]2,2[-∈∴∈x E M Θ
]2,2[2
3
22-∈-
=∴x x MF 。

显然2MF 在]2,2[-上为减函数， 。

9 2MF ∴有最小值32-。

。

10
第二部分 综合检测
18.(每题5分,共15分)
(1). -1. (2) 54
(,)25
-- (3 ) 2
19．（Ⅰ）()sin()cos sin cos )4f x a b x x x x x ππωωωωω→→
=⋅=-+=+=
+…2分∴2π
πω
=
∴2ω=----3分
（Ⅱ）由())14f x x π=+=，得2244x k πππ+=+或32244
x k ππ
π+=+，k Z ∈….6分
又)2,
0(π
∈x ， ∴4
x π
=
----7分
（Ⅲ）
(,2),(3,5)OA x OB ==-u u u r u u u r Q AOB ∠为锐角， 0310OA OB x ∴<•=-+u u u r u u u r
----9分
103x ∴< 又65
x =-时
OA OB u u u r u u u r 、同向----10分 ∴x 的范围是⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-≠<56310x x x 且----11分
20．解：（Ⅰ）由题知2
317a a a =，设{}n a 的公差为d ，
则()()2
11126a d a a d +=+，212a d d =，0d ≠Q
∴12a d =． ………1分
又Q 23a =，∴13a d +=
12,1a d == …… 2分
1n a n ∴=+． … 3分
（Ⅱ）111211
22112
n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=
+=+=+-
++++． …… 5分 12111111
222233412
n n S b b b n n =++=+
-++-+++-
++L L 1122222(2)
n
n n n n =+-=+
++． …… 7分 （III ）1(2)
2(
)=2()n n n n a n c n n
λλ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)2
2()01n n n n n c c n n
λ+++-=--<+对*∈N n 都成立 … 8分
即max 2(3)22(3)20()11n n n n n n n n
λλ++++--<⇒>-++ …… 9分
设2(3)2
()1n n f n n n
++=-
+ 2(4)32(3)2
(1)()211n n n n f n f n n n n n +++++-=--+
+++ 2(4)23(3)
21
n n n n n n +++=+-
++ 426
21321
n n n =+++--
++ ()
()()
2212n n n n -=
++ …… 10分
(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>L
当2n =或3n =时，max 4()3
f n = 所以max 2(3)24
(
)13n n n n ++-=+ 所以),3
4
(+∞∈λ …… 12分
21解：(Ⅰ) 由⎩
⎨⎧=-=py x x y 22
22 ,整理得0442=+-p px x , 。

1分
设1M (11,y x ),2M (22,y x ),
则⎪⎩⎪
⎨⎧=⋅=+>-=∆p x x p x x p p 440
16162
1212 , 。

2 ∵ 直线2
p
y =
平分21FM M ∠,∴ 021=+F M F M k k , 。

3 ∴
0222
211=-+-
x p y x p y ,即:022********=--+--x p
x x p x ,
∴ 0)22(42
12
1=⋅+⋅+
-x x x x p ,∴ 4=p ,满足0>∆,∴4=p 。

5 (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为y x 82
=,且⎩⎨⎧==+16162
121x x x x ,)8,(2111x x M ,)8,(2
2
22x x M ,
设)8
,(2
333x
x M ,A )2,(t ,)2,(a B ,
由A 、2M 、3M 三点共线得232AM M M k k =, 。

6
∴ t x x x x --=+22
2
322
88,即:16)(22323222-=+-+x x x t x x x , 整理得:16)(3232-=+-x x t x x , ① 。

7
由B 、3M 、1M 三点共线,同理可得 16)(3131-=+-x x a x x , ② 。

8 ②式两边同乘2x 得:2322132116)(x x x x x a x x x -=+-,
即:232316)16(16x x x a x -=+-, ③ 。

10 由①得:16)(3232-+=x x t x x ,代入③得:23231616)(1616x a x x ta a x -=++--, 即:)()(163232x x at x x +=+,∴ 16=at . 。

11 ∴ 204=+=⋅at 。

12。