人教版九年级数学上教案第24章第11课时正多边形和圆 含课堂练习+每课一测有答案

第8课时 正多边形和圆
【教学目标】
1．了解正多边形的中心、中心角、边心距、半径等概念； 2．理解正多边形和圆的关系； 3．能够进行正多边形的有关计算．
【知识要点】
1． 的多边形叫正多边形．
2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ， 叫做正多边形的半径， 叫做正多边形的半径，中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的 ． 3．正n 边形的中心角度数为 ，每一个内角度数为 ． 4．正n 边形的边长为a ，边心距为r ，则其面积为 ．
【探究新知】
例1．（正多边形的证明）如图，△ACD 是⊙O 的等腰三角形，顶角∠CAD ＝36°，弦CE 、DB 分别平分∠ACD 、∠ADC ．
求证：五边形ABCDE 为正五边形．
E B
【练习】如图，AB ⌒ ＝BC ⌒＝CD ⌒＝DE ⌒ ＝EF ⌒ ＝F A ⌒ ，试证明六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形．
E
B
例2．（正多边形的计算）圆的内接正六边形的边长为4．
⑴求此正六边形的半径、边心距；
⑵求同圆中内接正四边形、正三角形的周长．
【练习】如图，八边形ABCDEFGH 是正八边形，其外接圆的半径为2，求正八边形的面积．
H G F O E D
C B
A
1． 下列命题中，假命题的是( )
A ．各边相等的圆内接多边形是正多边形；
B ．正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心；
C ．正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心；
D ．一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形．
2． 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3，S 4，S 6的大小关系是（ ）
A ．S 3＞S 4＞S 6
B ．S 6＞S 4＞S 3
C ．S 6＞S 3＞S 4
D ．S 4＞S 6＞S 3 3． 同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )
A .1:3
B .1:2
C .1:2
D .2:1
4． 已知⊙O 的半径为6㎝，则：
它的内接正三角形的边心距为 ㎝，边长为 ㎝． 它的外切正三角形的半径为 ㎝，边长为 ㎝． 它的外切正六边形的半径为 ㎝，边长为 ㎝． 5． 正 边形的中心角等于18°，正十边形的一个内角等于它的中心角的 倍． 6． 任何一个正多边形都有一个 圆和 圆，这两个圆是 圆．
7． 已知一个正n 边形的边心距为4㎝，周长为27㎝．求这个正n 边形的面积．
8．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 、F 分别为DA 、DC 的中点，过点E 、F 作弦的MN ，若⊙O 的半径为12．⑴求MN 的长；⑵连接OM 、ON ，求圆心角∠MON 的度数
C
B
9．已知：如图，△OAB 为正三角形，以O 为圆心，OA 为半径的⊙O ，直径FC ∥AB ，AO 、BO 的延长线交⊙O 于D 、E ．求证：六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形．
O
F
E D C B
A
（完成时间：45分钟，满分：100分）
一、选择题（每题5分，共25分）
1． （2009年义乌）)在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中不能单独镶嵌平面的是（ ）
A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
2． （2009年上海市)下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A ．正六边形
B ．正五边形
C ．正四边形 C ．正三边形
3． （2010年广西柳州）一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
4． (2010甘肃兰州)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A ．2
B ．3
C
D
．
5．工（2010山东济南）如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ）
A ．32cm
B ．3cm
C ．3
3
2cm D ．1cm
二、填空题（每题5分，共25分）
6． （2009年甘肃庆阳）如图，将正六边形绕其对称中心O 旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 度．
7． （2010河北）如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 ． 8． 半径为R 的圆内接正六边形的周长是 ．
9． 如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，且BC ∥Q R ，则∠AOQ
＝ ．
10．已知正六边形的两条对边相距20㎝，则它的边长是 ． 三、解答题（每题10分，共50分）
11．如图，正五边形ABCDE 中，点M 是CD 的中点．求证：AM ⊥CD ．
M
E
D C
B
A
第9题图 R Q P
O
D C
B A
第7题图
第5题图
第4题图 第6题图
12．已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比．
13．如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为5的⊙O ，四边形EFGH 是正方形．
⑴求正方形的面积；⑵连接OF 、OG ，求∠OGF 的度数．
H G O
F
E
D C
B A
14．如图，已知正三角形ABC 的边长为6，剪去三个角后得到一个正六边形，求此正六边形的边长与
面积．
H G M F
E D C
B
A
15．如图①②③中，点E 、D 分别是，正三角形ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以点C 为
顶点的相似邻两边上的点，且BE ＝CD ，DB 交AE 于P 点． ⑴求图①中，∠APD 的度数；
⑵图②中，∠APD 的度数为 ，图③中，∠APD 的度数为 ． ⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况？若能，写出推广问题与结论；若不能，请说明理由．
图①
N
P
E D C B A
图②
P M E D C
B
A
图①
P E D C
B
A
【参考答案】
【要点梳理】
1． 各边相等，各角也相等 ；2．中心、正多边形外接圆的半径、 外接圆的圆心、边心距；3．
n
︒360；
n
n ︒
-180)2(；4．
2
1nar 【问题探究】
例1．证∠ACR ＝∠DCE ＝∠ADB ＝∠CDB ＝∠CAD ＝36°，再利用圆周角定理，证明五段弧相等，即可证明边相等，角相等．． 练习：略
例2．⑴半径：4，；边心距：32；⑵正四边形的周长：216，正三角形的周长：312
练习：提示：过点B 作BM ⊥OA ，可求出BM ＝1，即得△OAB 的面积，从而可得正八边形的面积为24． 【课堂操练】
1．D ；2．B ；3．C ；4．3、36；12、312；34、34；5．二十，4；6．外接圆，内切圆，同心圆；7．54；8．⑴MN ＝312；⑵120°．9．略． 【每课一测】 一、选择题
1．B ；2．C ；3．D ；4．D ；5．A 二、填空题
6．60；7．8；8．6R ；9．75°；10．3
320
三、解答题
11．略；12．3∶213．⑴25；⑵15°；14．36；15．⑴60°；⑵90°；108°；⑶能．推广的问题与结论为：点E 、D 分别为正n 边形ABCM N …中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE ＝CD ，BD 与AE
交于点P ，则∠APD 的度数为n
n ︒
-180)2(．。