2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期10月月考数学试
题
一、单选题
1．集合{}11M x x =-<<，{}
02N x x =≤<，则M N =（ ）
A ．{}
12x x -<< B ．{}
01x x ≤<
C ．{}
01x x <<
D ．{}
10x x -<<
【答案】B
【分析】根据集合交集的定义进行运算即可.
【详解】在数轴上分别标出集合,M N 所表示的范围如图所示， 由图象可知， {}|01M N x x =≤<.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．命题“2
0002,x x x π∃≥≥”的否定是 A ．2
0002,x x x π∃<≥ B ．2
0002,x x x π∃<< C ．22,x x x π∀≥≤ D ．22,x x x π∀≥<
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，得出选项.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“2
0002,x x x π∃≥≥”的否定是
22,x x x π∀≥<，
故选D .
【点睛】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.
3．已知全集U =R ，集合(){}{}
20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．()2,1-
B ．[][)1,01,2-
C ．()[]2,10,1--
D ．0,1
【答案】C
【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A
B 、()A B ⋃，然后求交集即可.
【详解】(){}
20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}
1{|11}B x x x x =≤=-≤≤， 由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，
{|21}A B x x ⋃=-<≤，
∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或
01}x ≤≤，
故选：C
【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.
4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的
应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 5．设25a b m ==，且11
2a b
+=，则m =（ ） A ．10 B ．10
C ．20
D ．100
【答案】A
【分析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11
log 2log 5m m a b
+=+求解.
【详解】因为25a b m ==， 所以25log ,log a m b m ==， 所以
11
log 2log 5log 102m m m a b
+=+==， 210m ∴=，
又
0m >，
∴10m =．
故选：A
【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题. 6．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2+bx+a 2﹣1的图象为下列之一，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C 15
-- D 15
-+ 【答案】B
【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可． 【详解】把四个图象分别叫做A ，B ，C ，D ．
若为A ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＝0，解得02b
a ->矛盾，所以不成立． 若为B ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＝0，解得02b
a
-<矛盾，所以不成立． 若为C ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＞0，且函数过原点，
得a 2﹣1＝0，解得a ＝﹣1，此时对称轴02b
a
-
>有可能，所以此时a ＝﹣1成立． 若为D ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＞0，且函数过原点，得a 2﹣1＝0，解得a ＝1， 此时对称轴02b
a
-
<，矛盾，所以不成立． 故图象为第三个，此时a ＝﹣1． 故选B ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握抛物线的开口方法，对称轴之间的关系，属于中档题．
7．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定
【答案】B
【分析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论.
【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．
第一种方案的均价：
3030602m n m n
++=≥
第二种方案的均价：4002200200mn
m n
m n
=≤++ 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B
【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题. 8．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ） A ．49 B ．48
C ．47
D ．46
【答案】A
【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：
1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}， 而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；
2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：
A 的集合为{2},{1,2}，而
B 有3217-=种，
集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；
3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：
A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而
B 有2213-=种，
集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；
4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：
A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，
而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=； ∴一共有151412849+++=个， 故选：A
【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.
二、多选题
9．设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ）
A ．
11
a b
+有最小值4 B 1
2
C ．
D ．22a b +有最小值
12
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式及其变形逐项分析，由此判断出正确的选项.
【详解】A ．
()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，取等号时1
2
a b ==
，故正确；
B 1=22a b +≤
，取等号时12a b ==1
2，故错误；
C ．
2
12a b =++=+≤，取等号时
1
2
a b ==
，故正确； D ．()2
2
2
11
=2121242
a b ab ab a b +-=-≥-⨯+=，取等号时12a b ==，故正确，
故选：ACD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．下列函数中最大值为1
2
的是（ ） A ．2
2
116y x x
=+
B
．[]0,1y x x =∈ C ．2
41
x y x =+
D ．4
,22
y x x x =+
>-+ 【答案】BC
【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】解：对A
，2211162
y x x =+≥=， 当且仅当2
2
1
16x x =
，即12
x =±时取等号，故A 错误； 对B
，
2211
22
x x y x +-==≤=，
当且仅当221x x =-，又
[]0,1x
∈，即2
x =时取等号，故B 正确；
对C ，2422
11
112x y x x x ==≤++，
当且仅当2
2
1
x x =
，即1x =±时等号成立，故C 正确； 对D ，
44
222222
y x x x x =+
=++-≥=++， 当且仅当4
22
x x +=+ ，又2x >- ，0x ∴=时取等号，故D 错误. 故选：BC.
11．已知关于x 的方程()2
30x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（ ）
A ．方程有一个正根一个负根的充要条件是{}
0m m m ∈< B ．方程有两个正根的充要条件是{}
01m m m ∈<≤
C ．方程无实数根的必要条件是{}
1m m m ∈> D ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可.
【详解】A 选项中，方程有一个正根一个负根则()()2
340
{00
m m f ∆=--><即0m <；
同时0m <时方程有一个正根一个负根；0m <是方程有一个正根一个负根的充要条件.
B 选项中，方程有两个正根则()()2
3403{0
2200
m m b m
a f ∆=--≥--=>>即01m <≤； 同时01m <≤时方程有两个正根；01m <≤是方程有两个正根的充要条件. C 选项中，方程无实数根则2(3)40m m ∆=--<即19m <<；
而1m 时方程可能无实根也可能有实根；故1m 是方程无实数根的必要条件. D 选项中，3m =时230x +=知方程无实根； 故选：ABC
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，结合二次函数的性质判断方程的根不同分布情况下的充要条件.
12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =
12
x 2
-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ） A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损
D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 【答案】AD
【分析】根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案. 【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当
180000
2x x
=，即400x =时等号成立， 故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A 正确；
设该单位每月获利为S 元， 则
2211
100100(80000200)30080000
22
S x y x x x x x =-=-+-=-+-21
(300)350002
x =---，
因为[400,600]x ∈， 所以[80000,40000]S ∈--.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D 正确，BC 错误， 故选：AD
【点睛】本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.
三、填空题 13．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆，则满足这一关系的集合A 的个数为______.
【答案】7
【分析】列举出符合条件的集合A ，即可得出答案. 【详解】由题意知，符合{}
{}1,21,2,3,4,5A ⊆的集合A 有：{}1,2,3、{}1,2,4、
{}1,2,5、{}1,2,3,4、{}1,2,3,5、{}1,2,4,5、{}1,2,3,4,5，共7个.
故答案为7.
【点睛】本题考查集合个数的计算，一般列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 14．已知1a b >>.若5
log log 2
a b b a +=，b a a b =，则a b +=__________． 【答案】6
【分析】根据题意，设log b t a =，根据1a b >>得出t 的范围，代入5
log log 2
a b b a +=求出t 的值，得到a 与b 的关系式，与b a a b =联立方程组，即可求出a 、b 的值． 【详解】由题意得，设log b t a =，由1a b >>可得1t >，代入5
log log 2
a b b a +=
，得 152
t t += 解得2t =，即2
log 2b a a b =⇒= 又b a a b =，可得2b a b b = 即22a b b == 解得2,4b a == 所以6a b +=． 故答案为6．
【点睛】本题主要考查对数的运算性质．
15．已知01,01x y <<<<，且44430xy x y --+=，则12
x y
+的最小值是___________.
【答案】43
+
【分析】由44430xy x y --+=，整理得1
(1)(1)4
x y --=
，设1,1a x b y =-=-，41ab =，
再化简1242
24441
x y a a +=++--，再结合()()44413a a -+-=，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为44430xy x y --+=，可得44441xy x y --+=， 整理得1
(1)(1)4
x y --=
， 设1,1a x b y =-=-，则41ab =，
又由01,01x y <<<<，则10,10a x b y =->=-> 所以
121212181242221111141141444114a x y a b a a a a a a a a
+=+=+=+=++=++----------
又由()()44413a a -+-=， 则
()()41444444214214()2()
()[][6]44413444134441
1a a a a a a a a a a +=⋅+=++----------+
16[633
++=
≥， 当且仅当
4()2()44444114a a a a =----
，即2
4
a =等号成立，
所以1262433
x y ++
≥+=+
. 所以
12
x y +
的最小值是4+.
故答案为：43
+
. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，合理化简和构造基本不等式的条件是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
四、双空题
16．已知不等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<，则实数a = _________；函数2y x bx a -=-的所有零点之和等于_________． 【答案】112
-
712
【分析】根据不等式解集，结合不等式与方程关系可求得参数,a b ；代入函数解析式，即可由韦达定理求得零点的和.
【详解】∵等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<， ∴3,4x x ==是方程210+-=ax bx 的两个实根，
则1
3412a ⨯=-=，解得112
a =-，
而两根之和7b a =-
，解得712
b =， 故函数2y x bx a -=-的所有零点之和为7
12
b =
， 故答案为：112-
，712
． 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由不等式解集确定参数值，属于基础题.
五、解答题
17．已知集合{}{}|25,|121.A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤- （1）若A
B =∅，求实数m 的取值范围；
（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,2)(4,)-∞⋃+∞；（2）(],3-∞. 【分析】（1）由A B =∅分类讨论B =∅、B ≠∅，分别列不等式求m 的范围，取
并集即可.
（2）由条件知B A ⊆，讨论B =∅、B ≠∅，分别列不等式求m 的范围，取并集即可；
【详解】（1）x ∈R 时，A
B =∅知：
当B =∅时，121m m +>-得2m <； 当B ≠∅时，15121m m m +>⎧⎨+≤-⎩或212
121m m m -<-⎧⎨+≤-⎩
，
解得4m >；
综上，∴m 的取值范围为(,2)(4,)-∞⋃+∞； （2）由A B A ⋃=知：B A ⊆， 当B =∅时，121m m +>-得2m <；
当B ≠∅时，12215121m m m m +≥-⎧⎪
-≤⎨⎪+≤-⎩
解得23m ≤≤；
综上可得3m ≤，即m 的取值范围是(],3-∞； 【点睛】易错点睛：若集合A 不是空集，（1）A
B =∅，则要分B =∅以及B ≠∅两
种情况讨论；（2）A B A ⋃=知：B A ⊆，则要分B =∅以及B ≠∅两种情况讨论. 18．化简下列各式：
（1）2
1
2.5
3
13
05270.0648π-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-- ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭
⎝
⎭⎣⎦；
（2）
2lg 2lg3
11ln lg 0.36lg16
24
e +++. 【答案】（1）0；（2）1.
【分析】（1）根据分数指数幂的计算法则进行计算即可； （2）利用对数的运算法则求解. 【详解】解：（1）
(
)
21313
3
312
2
12.5
3
1
3
05
33
0.4
10.410270.06422
8π⨯
---⎡⎤⎛⎫
=--=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎣⎦⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎢⎥-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝
⎭⎣⎦；
（2）2lg 2lg3lg 4lg3lg12lg12
1
111lg 0.6lg 2lg10lg1.2lg12ln lg 0.36lg16
24
e ++====+++++. 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，考查对数式的化简运算，难度一般，解答时要灵活运用指数幂及对数的运算法则.
19．已知:(1)(2)0,:p x x q +-≥关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立 (1)当x ∈R 时q 成立，求实数m 的取值范围; (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()3,2m ∈- （2）107
33
m <<-
【分析】（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于0<恒成立 （2）p 是q 的充分不必要条件可得p 是q 的真子集，再进行分类讨论即可
【详解】（1）由题可知2
2
44240,60,32m m m m m =+-<∴+-=∴-<<实数m 的取值范围是()3,2-
（2）:12p x -，设{|12}A x x =-≤≤，{}
2
|260B x x mx m =+-+>
p 是q 的充分不必要条件，∴A 是B 的真子集
① 由（1）知，32m -<<时，B=R ，符合题意；
② 3m =-时，{
}{
}
2
6903B x x x x x =-+>=≠，符合题意
③2m =时，{
}{
}
2
4402B x x x x x =++>=≠-，符合题意
④32m m <->或时，设2(2)6x m f x mx +-+=,()f x 的对称轴为直线x m =-，由
A 是
B 的真子集得()()1212
,10203+703+100m m m m f f m m -<-->><-⎧⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨⎨->->>⎩⎩⎩⎩
或或＞，
710107
12,323333
m m m m ∴<<-<<-∴-<<-<<或或
综上所述：10733
m <<- 【点睛】复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断
20．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6). （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
900(1)
a x x
+元
(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.
【答案】（1）4米；（2）(0，12).
【分析】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则y=900(x+16
x
)+7 200，利用基本不等式求解函数的最值即可； （2）由题意可得，900(x+
16
x
)+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即可
a<2
(4)1
x x ++=(x+1)+91x ++6恒成立，再利用基本不等式求解函数的最值即可
【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则y=3(150×2x+400×
12x )+7 200=900(x+16
x
)+7 200(2≤x ≤6)，
900(x+
16x )+7 200≥900×27 200=14 400.
当且仅当x=
16
x
，即x=4时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元. （2）由题意可得，900(x+
16
)x
+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即
2(4)(1)
x a x x x
++>
， ∴a<2(4)1
x x ++=(x+1)+91x ++6，
又x+1+
91x ++6=12， 当且仅当x+1=
9
1
x +，即x=2时等号成立， ∴a 的取值范围为(0，12).
【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数()2
14y x m x =-++，区间[]
0,3A =，分别求下列两种情况下m 的取
值范围.
（1）函数y 在区间A 上恰有一个零点； （2）若0x A ∃∈，使得1y <-成立.
【答案】（1）10
3
m >
或3m =；（2）1m >． 【分析】（1）分类讨论，（i ）0或3是零点时；（ii ）0和3都不是零点，在(0,3)上有唯一零点，用零点存在定理求解； （2）不等式1y <-变形为5
1m x x +>+
，求出5x x
+的最小值即可得． 【详解】记2
()(1)4f x x m x =-++， （1）显然(0)0f ≠，
（i ）若2
(1)160m ∆=+-=，则3m =或5-，
5m =-时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==-∉， 3m =时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==∈，
（ii ）若(3)93(1)40f m =-++=，则103m =
，此时()f x 的另一零点是6
[0,3]5
∈，
不合题意；
（iii ）(0)40f =>，(3)133(1)0f m =-+<，103
m >， 综上，10
3
m >
或3m =； （2）即不等式2
(1)41x m x -++<-在[0,3]上有解，0x =显然不是它的解，
(0,3]x ∈，则51m x x +>+
，即5
1m x x
+>+在(0,3]上有解， 设5()g x x x =+，25()1g x x '=-22
5
x x
-=,
所以当0x <<时，()0g x '<，()g x
3x <≤时，()0g x '>，()g x 递
增，
所以x =
()g x
取得极小值也是最小值g =
1m +>
，
1m >．
【点睛】本题考查零点存在定理，考查不等式能成立问题，不等式恒成立与能成立问题都是要进行问题的转化，常常转化为求函数的最值，但要注意是求最小值还是求最大值． 22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}， 其中min{p ，q}={
,.
p p q q p q ，，
≤>
（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.
【答案】（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）(
)2
0,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+->．（ⅱ）
()348,34
{2,4
a a a a -≤<M =≥．
【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2
242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，
()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；
（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．
试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故
当1x ≤时，()
()()2
2
242212120x ax a x x a x -+---=+-->，
当1x >时，()
()()2
2422122x ax a x x x a -+---=--．
所以，使得等式()2
242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．
（Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2
242g x x ax a =-+-，
则()()min 10f x f ==，()()2
min 42g x g a a a ==-+-，
所以，由()F x 的定义知()()(){}
min 1,m a f g a =，即
(
)2
0,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+->+
（ⅱ）当02x ≤≤时，
()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，
当26x ≤≤时，
()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34
{2,4
a a M a a -≤<=≥．
【解析】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．
【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式
()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的
最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．。