2019年陕西省渭南市高考数学二模试卷(理科)解析版

2019年陕西省渭南市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x+m＝0}，若A∩B＝{3}，则B＝（）A．{﹣1，3}B．{﹣2，3}C．{﹣1，﹣2，3}D．{3}
2．（5分）复数z满足z﹣1＝（z+1）i（i为虚数单位），则z的值是（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i
3．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x）﹣f（﹣x）＝0，f（x）＝f（x﹣2），则y＝f （x）的图象可能（）
A．B．
C．D．
4．（5分）已知cosα＝﹣，α∈（，π），则sin（π+α）＝（）
A．B．﹣C．±D．
5．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b
6．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则•
（+）等于（）
A．B．C．D．
7．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，
根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝
0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
8．（5分）费马素数是法国大数学家费马命名的，形如2+1（n∈N）的素数（如：2+1
＝3）为费马索数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）＝cosωx的图象，只要将y＝f（x）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
10．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，
0），则的最小值是（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC
是边长为2的等边三角形，若球O的表面积为20π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案写在答题纸的指定区域内。

13．（5分）已知双曲线x2﹣＝1（b＞0）的一条渐近线为y＝2x，则焦点到这条渐近线
的距离为．
14．（5分）函数y＝axe x的图象在x＝0处的切线与直线y＝﹣x互相垂直，则a＝．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c cos B＝2a+b，则∠C＝．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，g（x）＝（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点为（x
1，y1），（x2，y2），…，（x2019，
y2019），则（x i+y i）＝．
三、解答题：本题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤．17．（12分）已知等比数列{a n}，其公比q＞1，且满足a2+a3＝12，a2和a4的等差中项是10．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若b n＝na n，T n是数列{b n}的前n项和，求使T n﹣n•2n+1+14＝0成立的正整数n 的值．
18．（12分）每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名，用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于
8.5分，则称该人的幸福度为“很幸福”．
（Ⅰ）求从这18人中随机选取3人，至少有1人是“很幸福”的概率；
（Ⅱ）以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数，求X的分布列及EX．
19．（12分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝，AC＝2．D，E分别为AC，AB 的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）求证：平面A1DC⊥平面A1BC．
（Ⅱ）当三棱锥C﹣A1BE的体积取最大值时，求平面A1CD与平面A1BE所成角的正弦值．
20．（12分）已知定点A（﹣3，0）、B（3，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的
斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点T（1，0）的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若m＞n＞0，且m n＝n m，求证：mn＞e2．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ；
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交点分别为A，B，点P（1，0），求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣a2﹣a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤5的解集；
（Ⅱ）若存在a∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥b对一切x∈R恒成立，求实数b的取值范围．
2019年陕西省渭南市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x+m＝0}，若A∩B＝{3}，则B＝（）A．{﹣1，3}B．{﹣2，3}C．{﹣1，﹣2，3}D．{3}
【分析】3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，从而得到m＝﹣3，B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，由此能求出集合B．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x+m＝0}，A∩B＝{3}，
∴3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，
∴9﹣6+m＝0，解得m＝﹣3，
∴B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）复数z满足z﹣1＝（z+1）i（i为虚数单位），则z的值是（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i
【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z满足z﹣1＝（z+1）i，
可得z＝＝＝i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
3．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x）﹣f（﹣x）＝0，f（x）＝f（x﹣2），则y＝f （x）的图象可能（）
A．B．
C．D．
【分析】根据条件得到函数是偶函数，图象关于y轴对称，同时函数也关于x＝﹣1对称，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：由f（x）﹣f（﹣x）＝0得f（x）＝f（﹣x），即函数f（x）是偶函数，排除A，C，
由f（x）＝f（x﹣2），得f（x）＝f（x﹣2）＝f（﹣x），即函数关于x＝﹣1对称，排除D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合条件判断函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键．
4．（5分）已知cosα＝﹣，α∈（，π），则sin（π+α）＝（）
A．B．﹣C．±D．
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
【解答】解：cosα＝﹣，α∈（，π），则sinα＝＝＝．
sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
5．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【分析】把a，c化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．
【解答】解：∵，
且2﹣0.2＜20＝1，而b＝log23＞log22＝1．
∴b＞a＞c．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．
6．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则•
（+）等于（）
A．B．C．D．
【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足
可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．
【解答】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，
又由点P在AM上且满足
∴P是三角形ABC的重心
∴
＝＝﹣
又∵AM＝1
∴＝
∴＝﹣
故选：A．
【点评】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②
性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．
7．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，
根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝
0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【分析】根据回归方程为＝0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回
归方程只能进行预测，但不可断定．
【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为＝0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x＝170cm时，＝0.85×170﹣85.71＝58.79，但这是预测值，不可断定其体重为
58.79kg，故不正确
故选：D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．
8．（5分）费马素数是法国大数学家费马命名的，形如2+1（n∈N）的素数（如：2+1＝3）为费马索数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n＝15，它能表示为两个不同费马素数的和只有8＝3+5，20＝3+17，22＝5+17，共有3个，由此能求出它能表示为两个不同费马素数的和的概率．
【解答】解：在不超过30的正偶数中随机选取一数，
基本事件总数n＝15，
它能表示为两个不同费马素数的和只有8＝3+5，20＝3+17，22＝5+17，共有3个，
则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是p＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）＝cosωx的图象，只要将y＝f（x）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得ω＝2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．
【解答】解：由题知ω＝2，
所以，
故选：A．
【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．
10．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】根据三视图可得该几何体时直三棱柱，根据三视图中的数据直接求解．
【解答】解：根据三视图可得该几何体时直三棱柱（如图），
该几何体的体积为V＝．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，关键是判断三视图中的数据所对应的几何量，属于中档题．
11．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，
0），则的最小值是（）
A．B．C．D．
【分析】通过抛物线的定义，转化PF＝PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．
【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，A（﹣1，0），
过P作PN垂直直线x＝﹣1于N，
由抛物线的定义可知PF＝PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
设在PA的方程为：y＝k（x+1），所以，
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，
所以△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1，
所以∠NPA＝45°，
＝cos∠NPA＝．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，题目新颖．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC
是边长为2的等边三角形，若球O的表面积为20π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
【分析】设D为AB中点，先证明CD⊥平面PAB得出∠CPD为所求角，利用勾股定理
计算PA，PD，CD，得出结论．
【解答】解：设D，E分别是AB，BC的中点，AE∩CD＝F，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，
∵△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，
又PA∩AB＝A，
∴CD⊥平面PAB，即∠CPD为PC与平面PAB所成的角．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴CD＝AE＝3，AF＝AE＝2，且F为△平面ABC所在截面圆的圆心，
∵球O的表面积为20π，∴球O的半径OA＝，
∴OF＝＝1，
∵PA⊥平面ABC，∴PA＝2OF＝2，
∴PD＝＝，
∴tan∠CPD＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案写在答题纸的指定区域内。

13．（5分）已知双曲线x2﹣＝1（b＞0）的一条渐近线为y＝2x，则焦点到这条渐近线的距离为2．
【分析】由双曲线x2﹣＝1（b＞0）的一条渐近线为y＝2x，解得b．求出双曲线的右焦点为（c，0）．利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）的一条渐近线为y＝2x，∴，解得b＝2．
∴c＝＝．
∴双曲线的右焦点为（，0）．
焦点到这条渐近线的距离为：＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，属于基础题．
14．（5分）函数y＝axe x的图象在x＝0处的切线与直线y＝﹣x互相垂直，则a＝1．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵函数y＝axe x在x＝0处的切线与直线y＝﹣x垂直，
∴函数y＝axe x在x＝0处的切线斜率k＝1，
∵f′（x）＝ae x+axe x，
∴f′（0）＝a＝1，
得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．
15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c cos B＝2a+b，则∠C＝120°．【分析】由题意，利用正弦定理、两角和的正弦公式即可求得角C的值．
【解答】解：△ABC中，2c cos B＝2a+b，
由正弦定理得2sin C cos B＝2sin A+sin B＝2sin（B+C）+sin B，
即2sin C cos B＝2sin B cos C+2sin C cos B+sin B，
∴2sin B cos C+sin B＝0，
∴cos C＝﹣，
∴C＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了正弦定理与三角形的内角和定理的应用问题，是基础题．
16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，g（x）＝（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点为（x
1，y1），（x2，y2），…，（x2019，
y2019），则（x i+y i）＝4038．
【分析】由函数图象的对称性得：函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点关于点（1，1）对称，则x1+x2019＝x2+x2018＝x3+x2017＝…＝2x1010＝2，y1+y2019＝y2+y2018＝y3+y2017
＝…＝2y1010＝2，即（x i+y i）＝4038，得解．
【解答】解：由g（x）＝（x﹣1）3+1，得函数y＝g（x）的图象关于点（1，1）对称，又函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，
则函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点关于点（1，1）对称，
则x1+x2019＝x2+x2018＝x3+x2017＝…＝2x1010＝2，
y1+y2019＝y2+y2018＝y3+y2017＝…＝2y1010＝2，
故x1+x2+…+x2018+x2019＝2019，
y1+y2+…+y2018+y2019＝2019，
即（x i+y i）＝4038，
故答案为：4038．
【点评】本题考查了函数图象的对称性，属中档题．
三、解答题：本题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤．17．（12分）已知等比数列{a n}，其公比q＞1，且满足a2+a3＝12，a2和a4的等差中项是10．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若b n＝na n，T n是数列{b n}的前n项和，求使T n﹣n•2n+1+14＝0成立的正整数n 的值．
【分析】（Ⅰ）由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；
（Ⅱ）b n＝na n＝n•2n，由数列的错位相减法求和可得T n，解方程可得所求值．
【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}，其公比q＞1，且满足a2+a3＝12，a2和a4的等差中项是10．
即有a1q+a1q2＝12，20＝a2+a4＝a1q+a1q3，
解得a1＝q＝2，即a n＝2n；
（Ⅱ）b n＝na n＝n•2n，
T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2T n＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
相减可得﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1，
＝﹣n•2n+1，
化简可得T n＝2+（n﹣1）•2n+1，
T n﹣n•2n+1+14＝0，即为16﹣2n+1＝0，
可得n＝3．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（12分）每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名，用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于
8.5分，则称该人的幸福度为“很幸福”．
（Ⅰ）求从这18人中随机选取3人，至少有1人是“很幸福”的概率；
（Ⅱ）以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数，求X的分布列及EX．
【分析】（Ⅰ）18人中，很幸福的有12人，可以先计算其反面，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福的概率即可．
（Ⅱ）根据题意，随机变量X～B（3，），列出分布列，求期望即可．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A＝{抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则表示3人都认为不很幸福，
∴P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝1﹣＝．
（Ⅱ）根据题意，随机变量X～B（3，），X的可能的取值为0，1，2，3
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝
＝，P（X＝3）＝＝，
所以随机变量X的分布列为：
所以X的期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝2．
【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望，二项分布，属于基础题．
19．（12分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝，AC＝2．D，E分别为AC，AB 的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）求证：平面A1DC⊥平面A1BC．
（Ⅱ）当三棱锥C﹣A1BE的体积取最大值时，求平面A1CD与平面A1BE所成角的正弦值．
【分析】（I）证明DE⊥平面A1CD得出BC⊥平面A1CD，从而A1DC⊥平面A1BC；
（II）当A1D⊥平面BCDE时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．
【解答】（I）证明：∵∠ACB＝，∴AC⊥BC，
∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥CD，DE⊥A1D，又A1D∩CD＝D，
∴DE⊥平面A1CD，
∴BC⊥平面A1CD，又BC⊂平面A1BC，
∴平面A1DC⊥平面A1BC．
为定值，
（II）∵V＝V，S
△BCE
∴当A1D⊥平面BCDE时，三棱锥C﹣A1BE的体积取最大值．
以D为原点，以DC，DE，DA1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则B（1，2，0），E（0，1，0），A1（0，0，1），
∴＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，﹣1，1），
设平面A1BE的法向量为＝（x，y，z），则，
即，令x＝1可得＝（1，﹣1，﹣1），
∵DE⊥平面A1CD，∴＝（0，1，0）是平面A1CD的一个法向量，
cos＜＞＝＝＝﹣，
∴平面A1CD与平面A1BE所成角的正弦值为＝．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，属于中档题．
20．（12分）已知定点A（﹣3，0）、B（3，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的
斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点T（1，0）的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设动点M（x，y），则（x≠±3），利用，求出曲线C的方程．
（Ⅱ）由已知直线l过点T（1，0），设l的方程为x＝my+1，则联立方程组，
消去x得（m2+9）y2+2my﹣8＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．
【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），则（x≠±3），
∵，即．
化简得：，由已知x≠±3，故曲线C的方程为（x≠±3）．
（Ⅱ）由已知直线l过点T（1，0），
设l的方程为x＝my+1，则联立方程组，
消去x得（m2+9）y2+2my﹣8＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
直线SP与SQ斜率分别为，，
＝＝
．
当s＝3时，；当s＝﹣3时，．所以存在定点S（±3，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．
21．（12分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若m＞n＞0，且m n＝n m，求证：mn＞e2．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数f（x）的极值；
（Ⅱ）得到f（m）＝f（n），根据函数的单调性问题转化为证明m＞＞e，即证＜
，令G（x）＝e2lnx﹣2x2+x2lnx（1＜x＜e），根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝．
∴f（x）的定义域为（0，+∞），且，
令f'（x）＞0，得0＜x＜e，
令f'（x）＜0，得x＞e，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴函数f（x）的极大值为f（e）＝＝．
（Ⅱ）∵m＞n＞0，m n＝n m，∴nlnm＝mlnn，
∴，即f（m）＝f（n）．
由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
且f（1）＝0，则1＜n＜e＜m，
要证mn＞e2，即证m＞，即证f（m）＜f（），即证f（n）＜f（），
即证，由于1＜n＜e，0＜lnn＜1，即证e2lnn＜2n2﹣n2lnn．
令G（x）＝e2lnx﹣2x2+x2lnx（1＜x＜e），
则﹣4x+2xlnx+x＝（）+2x（lnx﹣1）＝，∵1＜x＜e，∴G'（x）＞0恒成立，∴G（x）在（1，e）递增，
∴G（x）＜G（e）＝0在x∈（1，e）恒成立，
∴mn＞e2．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ；
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交点分别为A，B，点P（1，0），求的值．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的
极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得，由此能求出
的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的直角坐标方程为l：x+y﹣1＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
∵曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为C：x2+y2﹣4x＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程，得：
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分
∴|t1﹣t2|＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分
∴＝＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．
【点评】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、两线段的倒数和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣a2﹣a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤5的解集；
（Ⅱ）若存在a∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥b对一切x∈R恒成立，求实数b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）a＝1时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式f（x）≤5的解集即可；
（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，等价于f（x）min≥b，求出f（x）min在a∈[﹣1，0]的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，
x≤﹣1时，不等式f（x）≤5化为﹣2x+1≤5，解得x≥﹣2，即﹣2≤x≤1；1
﹣1＜x＜2时，不等式f（x）≤5化为3≤5，不等式恒成立，即﹣1＜x＜2；
x≥2时，不等式f（x）≤5化为2x﹣1≤5，解得x≤3，即2≤x≤3；
综上所述，不等式f（x）≤5的解集为{x|﹣2≤x≤3}；
（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，∴f（x）min≥b，
∵f（x）＝|x+a|+|x﹣a2﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a2﹣a）|＝|a2+2a|，
∴f（x）min＝|a2+2a|≥b对任意a∈[﹣1，0]恒成立，
∵|a2+2a|＝|（a+1）2﹣1|，
∴当a＝0时，|a2+2a|取得最小值为0，
∴实数b的取值范围是（﹣∞，0]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，是中档题．。