2022-2023学年高二数学下学期期末模拟试卷(选修+必修)(解析版)

绝密★考试结束前
2022-2023学年高二下学期期末数学模拟试卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2023春·湖南长沙·高二望城一中校考期末）已知集合{|27}A x x =−≤<，
2
{|1}B x x
=≥，则()R A B 为（ ）
A ．{|27}x x −≤<
B ．{|20x x −≤<或27}x <<
C ．{|20x x −≤≤或27}x <<
D ．{|20x x −≤<或27}x ≤< 【答案】C
【解析】因为2
{|1}{|02}B
x x x x
=≥=<≤，则{|0R B x x =≤ 或2}x >， 所以(){}|27{|0R A B x x x ∩−≤<∩≤ 或2}x >，
{|20x x =−≤≤或27}.x <<故选：C 2．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知()sin ,1a α= ，()1,2cos b α= ，若a b ⊥ ，则πtan 4α
−=
（ ）
A ．3−
B ．1
3
− C ．1− D ．3 【答案】D
【解析】因为a b ⊥
，所以有sin 2cos 0αα+=
，即tan 2α ， 所以π
tan 1
3
tan 341tan 1ααα−−
−=
== +−
.故选：D 3．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ） A ．1
2 B ．35
C ．2
3 D ．25
【答案】A
【解析】令事件A 为甲被选中的情况，事件B 为乙被选中的情况，
故()
P A 24
35C 3C 5=，()133
5
C 3C 10P AB ==， 故()1
(
|)()
2
P AB P B A P A ==．故选：A ． 4．（2022春·山东德州·高二校考期末）已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则
A ．
()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X << 【答案】B
【解析】根据题意可知，
58559E X ×+==（），238(55)8
()393
D X ×+−==<，故选B. 5．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A EF C −−的大小为45 ，
四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（ ）
A
【答案】B
【解析】因为四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则AE EF ⊥，DE EF ⊥，
又因为二面角A EF C −−的大小为45
，即45AED ∠=
，则,45EA ED =
， 因为DB DE EA AB EA ED AB =++=−+ ，由图易知AB EA ⊥ ，AB ED ⊥
，
=故选：B.
6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，
()21f x −是偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A ．()f x 的图象关于直线=1x −对称
B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称
C ．()31f −=
D ．()f x 的一个周期为8 【答案】C
【解析】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x −+=
−+∴−+=−+， 即()()2f x f x −+=
−，即()()20f x f x +−+=， 故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；
又()21f x −是偶函数，故()
()()()2121,11f x f x f x f x −−=−∴−−=−， 即()()2f x f x −−=
，故()f x 的图象关于直线=1x −对称，A 结论正确； 由以上可知()()()22f x f x f x =−−=
−−+，即()()22f x
f x −=−+，
所以()()4f x f x +=
−，则()()4()8x x f f f x =−=++， 故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；
由于()()3131f x f x −+=
−+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =−∴=， 而()f x 的图象关于直线=1x −对称，故()30f −=
，C 结论错误，故选：C 7．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数()f x 的定义域为ππ
,22
−
，其导函数
是()f x ′. 有()()cos sin 0f x x f x x ′+<，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x
<
的解集为（ ）
A ．ππ
,32
B ．ππ,62
C ．ππ,63
−− D ．ππ
,26 −−
【答案】A
【解析】构造函数()()cos f x g x x
=
，其中ππ,22x
∈−
，则()
()()2cos sin 0cos f x x f x x
g x x
′+′=<，
所以，函数()g x 在ππ
,22
−
上单调递减，
因为ππ,22x ∈− ，则cos 0x >，由()π2cos 3f x f x < 可得
()π3
π
cos cos 3f f x x
<， 即()π3g x g < ，所以，π3
ππ
2
2x x >
−<< ，解得ππ32x <<， 因此，不等式()πcos 3f x x <
的解集为ππ,32
.故选：A.
8．（2023春·山东济南·高二统考期末）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆
记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 的两支分别交于M ，N 两点，且1245F NF ∠=
°，则C 的离心率为（ ） A
C
【答案】D
【解析】如图，设双曲线的方程为22
221x y a b
−=
，则AD a =. 设切线MN 与圆D 相切于点A ，
过点2F 作2F B MN ⊥，垂足为B ，则2//AD BF .
所以，有1
212
1
2
AD DF
BF F F ==
，所以222BF AD a =
=. 又1245F NF ∠=
°，2F B MN ⊥，所以2F BN 为等腰直角三角形， 所以2
2BN BF a ==
，
根据双曲线的定义可得，122NF NF a −=
，所以12NF a =+.
在12F NF △中，由余弦定理可得，222
121212212cos F F NF NF NF NF F NF =+−⋅∠.
所以，(
)(
)
()
22
2
2422212c
a a a =++−×+×，
所以，223c a =，c =.
所以，C 的离心率==c e
a
.故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）
A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有1333C A 种排法
B ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有4343A A 种
C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种
D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种
【答案】ACD
【解析】对于A ：先排最左端，有13C 种排法，再排剩余3个位置，有33A 种排法，
则共有13
33C A 种排法，故A 正确；
对于B ：3名男生相邻，有33A 种排法，和剩余4名女生排列，
相当于5人作排列，有55A 种排法，所以共有5335A A 种排法，故B 错误；
对于C ：先排4名女生，共有4
4A 种排法，且形成5个空位，再排3名男生，
共有3
5A 4345A A 种排法，故C 正确；
对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，
则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种排法，
若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有3334A A 种排法，
所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有4345A A -3334A A =1296种，
故D 正确.故选：ACD
10．（2022春·湖北孝感·高二统考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()
*112,22n n a a S n N +==+∈，下列说法正确的有（ ）
A ．数列{}n a 是等比数列
B ．123n n a −=×
C ．数列{}n a 是递减数列
D ．数列{}n a 是递增数列 【答案】ABD
【解析】由1
22n n a S +=+，则()1222n n a S n −+≥ 两式相减可得12n n n a a a +=−，即
()132n n a a n +=≥ 由题意21122226a S a =+=+=，满足213a a =
所以
()*13n n a a n N +=∈,所以数列{}n a 是等比数列，故选项A 正确. 则11123n n n a a q −−==×，故选项B 正确.
又1112323430n n n n n a a −−+−=×
−×=×>，所以数列{}n a 是递增数列 故故选项C 不正确，故选项D 正确.故选：ABD
11．（2022春·山东泰安·高二统考期末）对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据
()()()1122,,,,,,i i x y x y x y 则下列结论正确的是（ ）
A ．若求得的经验回归方程为
0.60.3y x =−，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系 B ．若这组样本数据分别是()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5，则其经验回归方程ˆˆˆy
bx a =+必过点()3,2.25 C ．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为11E =.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为1 2.1E =，则模型1的拟合效果更好
D ．若用相关指数2R 来刻画回归效果，回归模型3的相关指数230.41R =，回归模型4的相关指数240.91R =，则模型4的拟合效果更好 【答案】ACD
【解析】对于A ：因为回归方程为
0.60.3y x =−，0.60>， 所以变量y 和x 之间具有正的线性相关关系，故A 正确； 对于B ：样本数据()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5的样本中心点为()3,2.5，
且经验回归方程ˆˆˆy bx a =
+必过样本中心点，但()3,2.25不是样本中心点，故B 错误； 对于C ：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C 正确；
对于D ：相关指数2R 越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D 正确；故选：ACD
12．（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期末）已知函数()321
42
f x x x x =
+−，则（ ） A ．1x =是()f x 的极小值点 B ．()f x 有两个极值点 C ．()f x 的极小值为1 D ．()f x 在[]0,2上的最大值为2 【答案】ABD
【解析】因为()321
42
f x x x x =
+−，所以()()()234134f x x x x x ′=+−=−+， 当()4,1,3x ∈−∞−+∞
时，()0f x >′；当4,13x
∈− 时，()0f x <′， 故()f x 的单调递增区间为4,3 −∞−
和()1,+∞，单调递减区间为4,13
−
，
则()f x 有两个极值点，B 正确； 且当1x =时，()f x 取得极小值，A 正确； 且极小值为()512
f =−，C 错误；
又()00f =，()22f =，所以()f x 在[]0,2上的最大值为2，D 正确.故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若232n
x x
−
展开式的二项式系数和为32，则展开式中
的常数项为______．（用数字作答） 【答案】40
【解析】因为二项式系数和232n =，因此5n =，
又()
()5521055
132C C 2k
k
k k
k
k k T x x x −−+ =
−=−
， 令2k =，常数项为()2
2
5C 240−=
. 故答案为：40.
14．（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考期末）已知π
3sin()34x −=，且π06
x <<，则
π2π
sin()cos()63
x x +−+的值为___________.
【解析】令πππ,363t x
=
−∈
，则ππ2π,π623x t x t +=−+=− ∵π3sin()sin 3
4x t −==
，则cos t =
(
)π2ππsin cos sin cos π2cos 632x x t t t
+−+=−−−==
15．（2022春·湖北·高二统考期末）某地区调研考试数学成绩X 服从正态分布()2
95,N σ，且
(70)0.15P X <=，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩
在[]70,120的人数为随机变量ξ，则ξ的方差为________． 【答案】2.1
【解析】由正态分布知，均值95µ=，且(70)0.15P X <=
，所以(120)0.15P X >= 每个人的数学成绩在[]70,120的概率为(70120)P X ≤≤=
2(0.50.15)0.7×−=， 所以10名学生的数学成绩在[]70,120的人数~(10,0.7)B ξ， 所以()100.70.3 2.1D ξ=××=． 故答案为：2.1．
16．（2022春·山东临沂·高二统考期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有
121212
ln ln 3
x x x x x x −>−，则m 的最小值是________. 【答案】3
【解析】由于当12x x <时，都有
121212
ln ln 3
x x x x x x −>−，
所以121212213()33ln ln x x x x x x x x −−<
=−，即1212
33
ln ln x x x x +<+， 令3()ln f x x x
=
+，所以当任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有12()()f x f x <， 所以()f x 在(),m +∞上递增， 因为由22133
()0x f x x
x x
−′=−
=>，得3x >， 所以()f x 在(3,)+∞上递增，所以3m ≥，所以m 的最小值是3， 故答案为：3
四．解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足0n a >，且2
1
,,3
n n n
a S a 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若{}n b 为等比数列，且0n b >，246
64b b b ==，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）3n a n =；（2）()13326n n T n +=
−+ 【解析】（1）因为21
,,3
n n n a S a 成等差数列，故2
1
23n
n n S a a =+， 故2111123n n n S a a −−−=+，所以()22
11123
n n n n n a a a a a −−=
−+−， 整理得到：()()()22
11
111133
n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−+−−+， 而10n n a a −>+，故13n n a −−=
，所以{}n a 为等差数列， 又211111
2,03
a a a a =
+>，故13a =，故()3313n a n n =+−=. （2）因为{}n b 为等比数列且246
64b b b ==，故2364b =，而30b >，故38b =， 故等比数列的公比q 满足364
88
q
==，故2q ， 故3322n n n b b −=
×=，故32n n n a b n ⋅=×， 所以2326232n n T n =×+×++× ，故2312326232n n T n +=×+×++× ， 故2
1
3232
3232
n n n T n +−=×+×++×−× ，()1112632332612
n
n n n n ++−=×
−×=−−−， 所以()13326n n T n +=
−+. 18．（2022春·广东广州·
高二统考期末）已知二项式()2n
x n N ∗
∈
的展开式， ，给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②所有偶数项的二项式系数之和为256；③展开式中第4项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：
（1）求展开式中x -3的系数； （2）求展开式中二项式系数最大的项 【答案】（1）18；（2）答案见解析.
【解析】（1）二项式()2n
x n N ∗
+∈
的展开式的通项公式为：()1C 2n r
r r n r
T x −+=.
选条件①：第二项与第三项的二项式系数之比是1：4，
所以12C 1C 4n n
=，即()142n n n −=，解得：9n =； 选条件②：所有偶数项的二项式系数之和为256，所以12256n −=，解得：9n =.
选条件③：展开式中第4项为常数项，即()
33
3
3
932
42C C 2n n n n
T x x
−−==为常数项，
所以9n =.
所以二项式9
2x 的展开式的通项公式为：()
9392
199
22C C r
r r r
r
r r
T x x
−−+==.
要求展开式中x -3的系数，只需令39
32
r −=−，解得：r =1.
所以系数为192C 18⋅=.
（2）当9n =时，展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.
所以349
3
422594C 26201T x x ×−==，359
536952C 43220T x x ×−==.
19．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末）如图，四棱锥S ABCD −的底面是直
角梯形，//AB CD ，90BAD ADC ∠=∠=
SD ABCD ⊥平面，M 是SA 的中点，22AD SD CD AB ====.
（1）证明：DM ⊥平面SAB ； （2）求二面角A SB C −−的大小；
（3）线段SC 上是否存在一点E ，使得直线//SA 平面BDE . 若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见证明；（2）o 135；（3）见解析 【解析】（1）因为SD ABCD ⊥平面 ,DA DC ⊂平面ABCD .
所以SD DA ⊥，SD DC ⊥，又DA DC ⊥. 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系．
由题意得()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1D A B C S M
所以()1,0,1DM = ,()2,0,2SA
=−,()0,1,0AB = . 所以0DM SA ⋅=
,0DM AB ⋅= ,
所以DM SA ⊥,DM AB ⊥,
所以DM ⊥平面SAB .
（2）设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z =
，
因为()()0,2,2,2,1,0SC BC =
−=−
. 所以1100SC n BC n ⋅=
⋅=
，即22020y z x y −= −+= ， 令1x =，则
2,2y z ==.于是()11,2,2n =
. 因为DM ⊥平面SAB ，所以DM
为平面SAB 的法向量，
又=(1,0,1)DM
.
所以111cos ,n DM n DM n DM ⋅〈〉==
. 因为所求二面角为钝角，所以二面角A SB C −−大小为o 135.
（3）设()[]()0,2,2.0,1SE SC λλλλ=
=−∈
， ()0,2,22DE DS SE λλ=+=− ，()2,1,0DB = ，()2,0,2SA
=−
.
设平面BDE 的法向量()2000,,n x y z =
，
则2200DE n DB n ⋅=
⋅=
，即 ()0000221020y z x y λλ +−= += ，
令01x =，02y =−，021z λ
λ=
−. 于是221,2,1n λλ =− −
， 如果直线//SA 平面BDE ，
那么20SA n ⋅= ，解得 1
=3
λ. 所以，存在点E 为线段SC 靠近S 点的三等分点，使得直线//SA 平面BDE .
20．（2022春·湖南·高二校联考期末）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表： 年龄（岁） [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65 [)65,75
频数
5
5 10 15 10 5 赞成的人数 3 4
9
10
7
3
（1）请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在
[)45,55的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求
随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆
限行”的人数，求使概率()P k η=取得最大值的整数k . 【答案】（1）0.72，47；（2）见解析，()43
E ξ=；（3）14k = 【解析】（1）赞成率为
349107336
0.725050+++++==，
平均年龄为112321
20304050607047101010101010
×+×+×+×+×+×=
； （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
因为年龄在[)45,55的市民不赞成“车辆限行”的频率为13，所以1
4,3B ξ
∼
，
所以()()44
210,1,2,3,433k
k
k P k C k ξ−
===
， 所以ξ的分布列为：
()4
3
E np
ξ==. （3）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成，
所以()()203614
20
50
6,7,8,,20k k C C P k k C η−=== ， 由()()()()11P k P k P k P k ηηηη =≥=−
=≥=+
，解得7257775252k ≤≤，
因为Z k ∈14k =.
21．（2022春·湖北武汉·高二统考期末）已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ． （1）求L 的方程；
（2）已知点()3,2B −−，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定点110,
33
−
；
【解析】（1）设圆心(),C x y ，圆的半径为R ，
则()()2
2
222220R x x y =+=−+−，整理得24y x =． 所以动圆圆心的轨迹方程为24y x =．
（2）证明：抛物线的方程为2
4y x =，设200,4y D y
，121,4y E y ，22
2,4y F y
，
则直线EF 的方程为
()12
1
1221244
y y y y x x y y −−=−−，
得211121112121212
4444x y y y x x x
y y y y y y y y y y +−=−+=+++++，
又2114y x =，所以直线EF 的方程为121212
4y y x
y y y y y +++． 同理可得直线DE 的方程为101010
4y y x
y y y y y +++， 直线DF 的方程为002202
4y y x
y
y y y y +++ 因为直线DE 过点()3,2B −−，所以()1101222y y y −=+； 因为直线DF 过点()2,1C ，所以()22081y y y −=−．
消去0y ，得()12
12104
33
y y y y =++． 代入EF 的方程，得124110
33
y
x y y ++ + ， 所以直线EF 恒过一个定点110,
33
−
．
22．（2023春·重庆·高二校联考期中）已知函数()1
ln f x x a x x
=
−+. （1）若()f x 在()2,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若2a >时，()f x 存在两个极值点1x 、2x ，证明：()()
1212
2f x f x a x x −<−−.
【答案】（1）5,2
−∞
;（2）证明见解析
【解析】（1）因为()1ln f x x a x x =−+，则()222
11
1a x ax f x x x x −+′=−−+=−，
因为函数()f x 在()2,+∞上单调递减，则对任意的2x >，()0f x ′≤， 即2
110a x
x −−
≤，可得1
a x x ≤+，
设()1h x x x =+，则()222111x h x x x
−=−
=′， 当2x >时，()0h x ′>，所以，()h x 单调递增，则()()522h x h >=，故52
a ≤， 即实数a 的取值范围是5,2
−∞
．
（2）证明：由（1）知：1x 、2x 满足210x ax −+=，则121x x =，
不妨设120x x <<，则21x >．
则
()()
121212212
121212
22
ln ln ln ln 2ln 1
1221f x f x x x x x x a a a
x x x x x x x x x x −−−−=−
−+=−+=−+−−−−，
则要证()()1212
2f x f x a x x −<−−，即证2
22
2ln 1a x a
x x −<−， 即证22212ln x x x <−
，也即证222
1
2ln 0x x x −+<成立． 设函数()12ln g x x x x =−+，则()()2
22112
10x g x x x x
−′=−−+=−<， 所以，()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．
故当()1,x ∈+∞时，()()10g x g <=
， 所以，222
1
2ln 0x x x −+<，即
()()1212
2f x f x a x x −<−−.。