黑龙江省哈尔滨市七年级(上)期末数学试卷卷

七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知P（-1，2），则点P所在的象限为（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.下列方程是一元一次方程的是（）
A. 2x−y=0
B. x2−x=1
C. xy−3=5
D. x+1=2
3.16的算术平方根是（）
A. 4
B. ±4
C. 8
D. ±8
4.已知等式mx=my，下列变形不一定成立的是（）
A. mx+2=my+2
B. 2−mx=2−my
C. x=y
D. 2mx=2my
5.在16，5，0，39，-π3中无理数有（）个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.如图，点D、E分别为三角形ABC边BC、AC上一点，作射线DE，则下列说法错
误的是（）
A. ∠1与∠3是对顶角
B. ∠2与∠A是同位角
C. ∠2与∠C是同旁内角
D. ∠1与∠4是内错角
7.如图，两只蚂蚁以相同的速度沿甲、乙两条不同的
路线，同时从A出发爬向终点B，则（）
A. 按甲路线走的蚂蚁先到终点
B. 按乙路线走的蚂蚁先到终点
C. 两只蚂蚁同时到终点
D. 无法确定
8.用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个，一个盒身与两
个盒底配成一套罐头盒．设把x张白铁皮制盒身，则可列方程为（）
A. 2×15x=41(150−x)
B. 15x=2×41(150−x)
C. 2×41x=11(150−x)
D. 41x=2×15(150−x)
9.如图所示，数轴上表示2，5的对应点分别为C，B，点C
是AB的中点，则点A表示的数是（）
A. −5
B. 2−5
C. 4−5
D. 5−2
10.在下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平方根与立方根
相等的数有1和0；③在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④直线c外一点A 与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是5cm，则点A到直线c的距离是5cm；⑤无理数包括正无理数、零和负无理数．其中真命题的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.-3的相反数是______．
12.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式______．
13.若关于x的方程x-a+2=0的解是x=-1，则a的值等于______．
14.比较大小：33______55（填“＞”“＜”或“=”）
15.如图，平行线a、b被直线c所截，∠1=50°，则∠2=______°．
16.如果一个数的立方根是4，那么这个数的算术平方根是______．
17.有一列数，按一定规律排成：1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的和
是-384，则这三个相邻数中最小的数为______．
18.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，若射线OF在∠AOE的内部，
∠EOF=25°，∠AOF=23∠BOD，则∠BOC=______°．
19.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，
3）和点B（2，0）是坐标轴上两点，点C（m，n）（m≠n）
为坐标轴上一点，若三角形ABC的面积为3，则C点
坐标为______．
20.如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直
线EF过点C，且90°-∠FCB=∠BAD，点G为线段AB
上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、
CN分别交AD于点M、N，若∠BGC=70°，则
∠MCN=______°．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
21.计算
（1）0.01+3−8-14
（2）3-|3-2|
22.寒假将近，某学校将组织七年级部分同学去亚布力参加“冰雪冬令营”，学校提前给
所去学生预定房间，如果在所预定的房间里每间住3人，则有18人无法安排；每间住4人，则空出1张床．
（1）本次参加“冰雪冬令营”的学生总数为多少人？
（2）冬令营结束时，学校准备给这些同学每人送一个售价为100元的A或B种纪念品，但实际购买时发现，A、B两种商品的售价都有变动，A种商品打八折出售，B种商品的价钱比原售价提高了20%，若实际购买B种商品费用比购买A种商品费用的2倍多600元，那么此次活动中学校购买A种商品多少个？
四、解答题（本大题共5小题，共44.0分）
23.解方程
（1）4+3x=2（x-1）
（2）x+12-2−x3=1
24.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A、
B、C的坐标分别为（0，3）、（-2，1）、（-1，1），
如果将三角形ABC先向右平移2个单位长度，再向下
平移2个单位长度，会得到三角形A′B′C′，点A'、B′、
C′分别为点A、B、C移动后的对应点．
（1）请直接写出点A′、B'、C′的坐标；
（2）请在图中画出三角形A′B′C′，并直接写出三角形
A′B′C′的面积．
25.如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段
CD延长线上一点，∠BAF=∠EDF．
（1）求证：∠DAF=∠F；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与∠CED互余的角．
26.如图1，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长交AD延长
线于点F，∠FDC=∠CBE，∠F=180°-∠BCF
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，连接BF交CD于点G，连接AG，若AG为∠FAE的角平分线，BC 为∠FBE的角平分线，过点B作BH⊥BC交AG于点H，求证：2∠BHG=∠BGC+∠CBG；
（3）在（2）的条件下，若∠BHG=65°，∠AGB：∠E=3：2，求∠BFE的度数．
27.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），
将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ（点P和点Q分别是点M和点N 的对应点），连接MP、NQ，点K是线段MP的中点．
（1）求点K的坐标；
（2）若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A、B、C、
D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点），当BC与x轴重合时停止运动，连接
OA、OE，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示三角形OAE的面积S（不要求写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接OB、OD，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：因为点P（-1，2）的横坐标是负数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第二象限．
故选：B．
根据点在第二象限的坐标特点解答即可．
解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
2.【答案】D
【解析】
解：A、两个未知数，不是一元一次方程，错误；
B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，错误；
C、两个未知数，不是一元一次方程，错误；
D、只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1，符合一元一次方程，正确；
故选：D．
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
3.【答案】A
【解析】
解：∵4的平方是16，
∴16的算术平方根是4．
故选：A．
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．
此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
4.【答案】C
【解析】
解：A、等式mx=my的两边同时加上2，该等式仍然成立；故本选项正确；
B、等式mx=my的两边同时乘以-1，再加2，该等式仍然成立；故本选项正确；
C、当m=0时，、无意义；故本选项错误；
D、等式mx=my的两边同时乘以2，该等式仍然成立；故本选项正确；
故选：C．
利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．
本题主要考查等式的性质．运用等式性质2时，必须注意等式两边所乘的（或除以的）数或式子不为0，才能保证所得的结果仍是等式．
5.【答案】C
【解析】
解：，，0，，-中无理数有：，，-共3个．
故选：C．
直接利用无理数的定义进而分析得出答案．
此题主要考查了无理数，正确把握无理数的定义是解题关键．
6.【答案】D
【解析】
解：A、∠1与∠3是对顶角，说法正确；
B、∠2与∠A是同位角，说法正确；
C、∠2与∠C是同旁内角，说法正确；
D、∠2与∠4是内错角，说法错误．
故选：D．
根据同位角、内错角以及同旁内角的概念进行判断．
考查了同位角、内错角以及同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可
直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
7.【答案】C
【解析】
解：∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同，
∴两只蚂蚁同时到达．
故选：C．
根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．
本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是
解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
解：设把x张白铁皮制盒身，则把（150-x）张白铁皮制盒底，
根据题意得：2×15x=41（150-x）．
故选：A．
设把x张白铁皮制盒身，则把（150-x）张白铁皮制盒底，根据制作完成的盒底数是盒身数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元
一次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】
解：∵表示2，的对应点分别为C，B，
∴CB=-2，
∵点C是AB的中点，则设点A的坐标是x，
则x=4-，
∴点A表示的数是4-．
故选：C．
首先可以求出线段BC的长度，然后利用中点的性质即可解答．
本题主要考查了数轴上两点之间x1，x2的中点的计算方法．
10.【答案】A
【解析】
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
②平方根与立方根相等的数只有0，故错误；
③在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故错误；
④直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是5cm，则点A到直线c的距离是5cm，正确；
⑤无理数包括正无理数和负无理数，错误．
正确的只有1个，
故选：A．
利用平行公理、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行公理、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识，难度不大．
11.【答案】3
【解析】
解：∵-的相反数是，
故答案为．
根据相反数的定义进行填空即可．
本题考查了实数的性质以及算术平方根，掌握相反数的定义是解题的关键．
12.【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【解析】
解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后
面接题设，“那么”后面接结论．
本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
13.【答案】1
【解析】
解：把x=-1代入方程x-a+2=0得：
-1-a+2=0，
解得：a=1，
故答案为：1．
把x=-1代入方程x-a+2=0得到关于a的一元一次方程，解之即可．
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
14.【答案】＞
【解析】
解：=
=
∵＞，
∴＞．
故答案为：＞．
根据实数大小比较的方法，应用比较平方法，判断出两个数的大小关系即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意比较平方法的应
用．
15.【答案】130
【解析】
解：∵直线a∥b，∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=180°-∠3=180°-50°=130°．
故答案为：130．
先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据邻补角的定义即可求出∠2的度数．
本题考查的是平行线的性质，解题时注意运用：两直线平行，同位角相等．
16.【答案】8
【解析】
解；43=64，
=8，
故答案案为：8．
根据立方跟乘方运算，可得被开方数，根据开方运算，可得算术平方根．
本题考查了立方根，先立方运算，再开平方运算．
17.【答案】-126
【解析】
解：设这三个连续的数中第一个数是x，则第二个数为-2x，第三个数为4x，由题意得：x-2x+4x=-384，
解得：x=-126，
即第一个数是-126，第二个数为252，第三个数为504，
答：则这三个数中最小的数是-126．
故答案为：-126．
由数列可知：数列中后面的数字是前面的数字乘-2得到的，由此规律，设出第一个数，分别表示出后面两个数，利用某三个相邻数的和是192列出方程解答即可．
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律建立方程．
18.【答案】141
【解析】
解：∵∠AOF=∠BOD，
∴设∠AOF=2x，则∠BOD=3x，
∵OE⊥CD，∠EOF=25°，
∴∠AOF+∠BOD=90°-25°=65°，
∴2x+3x=65°，
解得：x=13°，
∴∠AOF=26°，
∴∠BOC=∠AOD=90°+26°+25°=141°．
故答案为：141．
直接利用已知设∠AOF=2x，则∠BOD=3x，进而利用垂直的定义得出
∠AOF+∠BOD，进而得出答案．
此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠AOF的度数是解题关键．
19.【答案】（4，0）或（0，6）
【解析】
解：∵点C（m，n）（m≠n）为坐标轴上一点，
∴S△ABC=×3×|m-2|=3或S△ABC=×2×|n-3|=3，
解得：m=4或0，n=6或0，
∴C点坐标为（4，0）或（0，6），
故答案为：（4，0）或（0，6）．
根据点C（m，n）（m≠n）为坐标轴上一点，得到点C的横纵坐标由一个为0，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，正确的理解题意是解题的关
键．
20.【答案】35
【解析】
解：∵AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，90°-∠B=∠BAD，
又∵90°-∠FCB=∠BAD，
∴∠FCB=∠B，
∴EF∥AB，
∴∠ECG=∠BGC=70°，
∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD
于点M、N，
∴∠BCN=∠BCE，∠BCM=∠BCG，
∴∠MCN=∠BCN-∠BCM=（∠BCE-∠BCG）=∠ECG=×70°=35°，
故答案为：35．
依据90°-∠B=∠BAD，90°-∠FCB=∠BAD，可得∠FCB=∠B，进而判定EF∥AB，即可得到∠ECG=∠BGC=70°，再根据∠MCN=∠BCN-∠BCM=（∠BCE-∠BCG）=∠ECG，即可得到结论．
本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注
意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，
③两直线平行，同旁内角互补．
21.【答案】解：（1）原式=0.1-2-12=-2.4；
（2）原式=3-3+2=2．
【解析】
（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：（1）设本次参加“冰雪冬令营”的学生总数为x人，
根据题意，得x−183=x+14，
解得x=75．
答：本次参加“冰雪冬令营”的学生总数为75人；
（2）设此次活动中学校购买A种商品y个，则购买B种商品（75-y）个，
根据题意，得2（100×0.8y）+600=100×（1+20%）（75-y），
解得y=30．
答：此次活动中学校购买A种商品30个．
【解析】
（1）设本次参加“冰雪冬令营”的学生总数为x人，根据在所预定的房间里每间住3人，则有18人无法安排；每间住4人，则空出1张床以及房间数不变列出方程，求解即可；
（2）设此次活动中学校购买A种商品y个，根据实际购买B种商品费用比购买A种商品费用的2倍多600元列出方程，求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23.【答案】解：（1）去括号得：4+3x=2x-2，
移项得：3x-2x=-2-4，
合并同类项得：x=-6，
（2）去分母得：3（x+1）-2（2-x）=6，
去括号得：3x+3-4+2x=6，
移项得：3x+2x=6-3+4，
合并同类项得：5x=7，
系数化为1得：x=75．
【解析】
（1）依次去括号，移项，合并同类项，即可得到答案，
（2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
24.【答案】解：（1）根据题意知，点A′的坐标为（2，1）、B'的坐标为（0，-1）、C′的坐标为（1，-1）；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，
S△A′B′C′=12×1×2=1．
【解析】
（1）根据点的坐标的平移规律可得；
（2）依据所得点的坐标，描点后首尾顺次连接即可得，再根据三角形的面积公式可得答案．
本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并根据平移变换的定义和性质得出变换后的对应点位置．
25.【答案】解：（1）∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAF+∠F=180°，
又∵∠BAF=∠EDF，
∴∠EDF+∠F=180°，
∴ED∥AF，
∴∠ADE=∠DAF，∠EDC=∠F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F；
（2）∵∠C=90°，
∴∠CED+∠CDE=90°，
∴∠CED与∠CDE互余，
又∵∠ADE=∠DAF=∠EDC=∠F，
∴与∠CED互余的角有∠ADE，∠CDE，∠F，∠FAD．
【解析】
（1）依据AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，即可得到AB∥CF，进而得出
∠BAF+∠F=180°，再根据∠BAF=∠EDF，即可得出ED∥AF，依据三角形外角性质以及角平分线的定义，即可得到∠DAF=∠F；
（2）依据余角的概念，即可得到所有与∠CED互余的角．
本题主要考查了平行线的判定与性质、余角的概念，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数
量关系．
26.【答案】证明：（1）如图1，∵∠F=180°-∠BCF，
∴∠F+∠BCF=180°，
∴AF∥BC，
∴∠FDC=∠DCB，
∵∠FDC=∠CBE，
∴∠DCB=∠CBE，
∴AB∥CD；
（2）如图2，∵BH⊥BC，
∴∠HBC=90°=∠CBE+∠ABH，
∵BC为∠FBE的角平分线，
∴∠FBC=∠CBE，
∴∠ABH=∠HBG，
∵∠BHG=∠HBA+∠HAB，
∴2∠BHG=2∠HBA+2∠HAB=∠ABG+2∠HAB，
∵AG为∠FAE的角平分线，
∴∠FAE=2∠HAB，
∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠BGC，∠FAE=∠FDC=∠CBE=∠CBG，
∴2∠BHG=∠BGC+∠FAE=∠BGC+∠FDC=∠BGC+∠CBG；
（3）由（2）知：2∠BHG=∠BGC+∠CBG，
∵∠BHG=65°，
∴∠BGC+∠CBG=130°，
∴∠BCG=50°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB=∠CBE=∠CBG=50°，
∴∠HBG=90°-50°=40°，
△HBG中，∠HGB=180°-65°-40°=75°，
∵∠AGB：∠E=3：2，
∴∠E=50°，
△FBE中，∠BFE=180°-∠FBE-∠E=180°-100°-50°=30°．
【解析】
（1）先根据平行线的判定证明AF∥BC，可得∠FDC=∠DCB，最后由平行线的判
定可得结论；
（2）先根据垂直得∠HBC=90°=∠CBE+∠ABH，根据角平分线的定义和三角形
外角的性质可得结论；
（3）根据第（2）的结论得∠BGC+∠CBG=130°，由三角形的内角和得∠BCG=50°，由平行线的性质和三角形的内角和定理及已知条件可得∠BFE=30°．
此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质和判定、三角形的内角和、
垂直的定义、角平分线的定义等知识，解本题的关键是熟练掌握角平分线的
定义及各角的关系．
27.【答案】解：（1）由题意得：PM=4，
∵K是PM的中点，
∴MK=2，
∵点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，
6），
∴MN∥y轴，
∴K（4，8）；
（2）如图1所示，延长DA交y轴于F，
则OF⊥AE，F（0，8-t），
∴OF=8-t，
∴S△OAE=12OF•AE=12（8-t）×2=8-t；
（3）存在，有两种情况：，
①如图2，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，
则B（2，6-t），D（6，0），
∴OG=2，GH=4，BG=6-t，DH=8-t，OH=6，
S△OBD=S△OBG+S四边形DBGH+S△ODH，
=12OG•BG+12（BG+DH）•GH-12OH•DH，
=12×2(6−t)+12×4（6-t+8-t）-12×6（8-t），
=10
-2t，
∵S△OBD=S△OAE，
∴10-2t=8-t，
t=2；②如图3，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x
轴于H，
则B（2，6-t），D（6，8-t），
∴OG=2，GH=4，BG=6-t，DH=8-t，OH=6，
S△OBD=S△ODH-S四边形DBGH-S△OBG，
=12OH•DH-12（BG+DH）•GH-12OG•BG，
=12×6(8−t)-12×4（6-t+8-t）-12×2（6-t），
=2t-10，
∵S△OBD=S△OAE，
∴2t-10=8-t，
t=6；
综上，t的值是2秒或6秒．
【解析】
（1）根据M和N的坐标和平移的性质可知：MN∥y轴∥PQ，根据K是PM的中点可得K的坐标；
（2）根据三角形面积公式可得三角形OAE的面积S；
（3）存在两种情况：
①如图2，当点B在OD上方时
②如图3，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论．
本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。