苏教版数学高二- 选修1-2试题 3.3复数的几何意义

3.3 复数的几何意义
一、填空题
1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第________象限．
【解析】 z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
【答案】 三
2．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________.
【解析】 ∵z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2＝0，m ＋1≠0，∴m ＝2， ∴z ＝3i ，∴|z|＝02＋32＝3.
【答案】 3
3．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.
【解析】 依题意，a 2＋1＝4＋1，
∴a ＝±2.
【答案】 ±2
4．设z ＝3－4i ，则复数z －|z|＋(1－i)在复平面内对应点的坐标是________．
【解析】 ∵z ＝3－4i ，则|z|＝5，
∴z －|z|＋(1－i)＝3－4i －5＋(1－i)＝－1－5i.
因此，所求复数对应的点是(－1，－5)．
【答案】 (－1，－5)
5．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．
【解析】 由复数的几何意义，知
3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i ＝y －x ＋(2x －y)i.
根据复数相等的定义，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝y －x ，－2＝2x －y.解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝4. ∴x ＋y ＝5.
【答案】 5
6．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．
【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i
＝53＋4i 25＝35＋45
i ，∴z 的虚部为45
. 【答案】 45 7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC
→对应的复数为________．
【解析】 由OB →＝OA →＋AB →，知
OB →对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i ，
又∵BC →＝OC →－OB →，
∴BC →对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.
【答案】 4－4i
8．若复数z 满足|z|2－2|z|－3＝0，试确定复数z 对应的点Z(x ，y)的轨迹方程是________．
【解】 由|z|2－2|z|－3＝0，
得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.
∵|z|＋1＞0，
∴|z|－3＝0，则|z|＝3，故x 2＋y 2＝9.
【答案】 x 2＋y 2＝9
二、解答题
9．已知复数z 满足(z －2)i ＝a ＋i(a ∈R )．
(1)求复数z ；
(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限．
【解】 (1)由(z －2)i ＝a ＋i ，
得z －2＝a ＋i i
＝1－ai ， ∴z ＝3－ai.
(2)由(1)得z 2＝9－a 2－6ai ，
∵复数z 2对应的点在第一象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
9－a 2＞0，－6a ＞0，解得－3＜a ＜0. 故当a ∈(－3,0)时，z 2对应的点在第一象限．
10．(2013·南京高二检测)已知复数z 满足：|z|＝1＋3i －z ，求1＋i 23＋4i 2
2z 的值．
【解】 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R )，而|z|＝1＋3i －z ，
即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋bi ＝0，
则⎩⎨⎧ a 2＋b 2＋a －1＝0b －3＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝3， z ＝－4＋3i ，
∴
1＋i 23＋4i 22z ＝
2i －7＋24i 2－4＋3i ＝24＋7i 4－3i
＝3＋4i. 11．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数；
(2)判断△ABC 的形状．
【解】 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.
BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，
∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.
故△ABC 为直角三角形.。