可积性与原函数存在性的关系

∫
n
n
) ≤ ∑w i ( g ) ∃ x i < Ε ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 综上, 对上述 Ε> 0 和分法 T 有∑w i ( f ′ , 因此 f ′
i= 1 i= 1
[参 考 文 献]
[ 1 ] 华东师范大学数学系 . 数学分析[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [ 2 ] 王俊青 . 数学分析中的反例[M ]. 北京: 电子科技大学出版社, 1996. [ 3 ] 马振民 . 数学分析的方法与技巧选讲[M ]. 甘肃: 兰州大学出版社, 1999.
尽管定积分的定义并未与定积分发生关系, 但牛顿 - 莱布尼茨 (N ew ton - L eibn iz) 公式 ( 简称N L 公式) 在二者之间建立了计算上的桥梁, 当然, N - L 公式的意义远不止在计算上, 在以后的内容里起着
不可忽视的作用, 正因为 N - L 公式比较重要, 同时又将原函数与定积分联系起来, 所以致使许多同学产 生错觉, 认为只要原函数存在则函数就可积, 或若函数可积, 则其原函数就存在, 其实这二者的关系远非这 样简单, 下面就简要的给出二者关系。 现行分析课本中, 可积函数分为三类: 一、 在 [ a , b ] 上连续的函数 f ( x ) 可积; 二、 在 [ a , b ] 上有有限个 间断点的有界函数 f ( x ) 可积; 三、 在 [ a , b ] 上单调的函数 f ( x ) 可积。 第一类可积函数存在原函数, 对于第 二类和第三类可积函数, 原函数的存在情况比较复杂, 下面通过具体的例子作以说明。 例 1 设 f (x ) =
n
在 [ a , t0 - Φ] 和 [ t0 + Φ , b ] 的分法 T 1 和 T 2 , 使 ( T 1 ) ∑w j ∃ x j <
j= 1
w , (T 2 ) 3
M
∑w
k= 1
r j= 1
k
∃x k <
w , T 1 和 T 2 的全部 3
n
分点, 包 括 端 点 在 内, 构 成 区 间 [ a , b ] 的 分 法 T , 对 此 分 法 T , 有 ∑w i ∃ x ≤ ( T 1 ) ∑w i ∃ x j +
b ] 上可积, 但不存在原函数; 另外, 当间断点为其他类型时, 其原函数存在性要视具体情况而定。
Ξ ΞΞ
收稿日期: 2002- 11- 21 作者简介: 闫彦宗 (1969- ) , 男, 甘肃张家川人, 庆阳师专数学系讲师, 主要从事基础数学的教学与研究。
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w = 0, f ( x ) 为常值函数, 可积, t0 ∈ [ a , b) 时, 取 Φ= m in{
b) , 且长度不超过
6w
Ε t0 - a 6 - t0 , , }, 区间 [ t0 - Φ , t0 + Φ ] < (a , 2 2
3w
Ε
, 在区间 [ a , t0 - Φ] 和 [ t0 + Φ ,Φ ] 上 f ( x ) 有界且仅有有限个间断点, 因此可积, 分别存
原函数。 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上存在原函数, 也不能判定 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 例如 f ( x ) =
2x sin 1
x x sin
2
1
x
2
x ≠ 0
, 此函数在闭区 [ -
(x ) = 1, 1 ] 上每一点 x 处都可导, 并有: f ′
x →0 x →0
( 0) = f ( 0) = 1 与 F ′ ( x ) = 0, 所以 F ( x ) 不是 f ( x ) 的原函数, 即 因而 C 1 = C 2 = C , 即 F ( x ) = C , 但 F ′
f (x ) 在[ -
1, 1 ] 上没有原函数。 由此得如下结论:
结论: 1 若在 [ a , b ] 上有有限个间断点的有界函数 f ( x ) , 其间断点为第一类间断点时, f ( x ) 在 [ a ,
[ x i- 1 , x i ] 内既有有理点, 也有无理点, 因而 w i= 1 , 1 x 是有理数
∑
i= 1
n
n
w i △x i =
∑∃ x
i= 1
i
= 1
lim 即‖ w i ∃ x i = 1 ≠ 0, 因而 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 不可积, 而 f ( x ) 其实就是狄利克莱函数, 此函数不存在 T ‖→∑ 0
On Rela tion s Between ln tegrab il ity and Ex istence of Pr i m itive Function
YAN yan 2zong, CH EN H a i2hong, YU E X iao 2hong
j= 1 M
(T 2 )
∑w
k= 1
k
∃x k + w
3w
Ε
<
3
Ε
+
3
Ε
+
3
Ε
= Ε
因此 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 当 t0 = a 或 t0 = b 时, 只要且区间 [ a , a + Φ] 或 [ b - Φ , b ] 代替上述区间 [ t0 - Φ , t0 + Φ ], 证明相同。 当 f ( x ) 在 [ a , b ] 上间断点的聚点多于一个时, 把 [ a , b ] 分成有限个子区间, 使在每个子区中只有一个 聚点, 证明类似。
i= 1
n
‖T ‖→0
于是
∫ f (x ) d x =
- 1
1
0;
其次, 再考虑 f ( x ) 的原函数存在性, 若 f ( x ) 在 [ - 1, 1 ] 上有原函数 F ( x ) 存在, 则: 当 x ∈ [ - 1, 0) 时 F ( x ) = C 1; 当 x ∈ ( 0, 1 ] 时, F ( x ) = C 2; 由 f ( x ) 有界, 则 F ( x ) 连续, 即应有lim -F ( x ) = lim + F (x ) ,
( 庆阳师专 数学系, 甘肃 庆阳 745000)
摘 要: 本文结合实例, 从几个不同的方面, 给出了函数可积性与原函数存在性的关系, 并得到了几个有用的 结论。 关键词: 原函数; 可积; 存在性; 关系 中图分类号: O 173 文献标识码: A 文章编号: 1007- 4260 (2003) 02- 0096- 03
10074260200302009603尽管定积分的定义并未与定积分发生关系但牛顿莱布尼茨newtonleibniz公式简称nl公式在二者之间建立了计算上的桥梁当然nl公式的意义远不止在计算上在以后的内容里起着不可忽视的作用正因为nl公式比较重要同时又将原函数与定积分联系起来所以致使许多同学产生错觉认为只要原函数存在则函数就可积或若函数可积则其原函数就存在其实这二者的关系远非这样简单下面就简要的给出二者关系
结论 3 闭区间上的单调函数可积, 若此类函数连续, 则存在原函数; 若不连续则不存在原函数。 这是因为区间上的单调且连续函数显然不但可积, 也存在原函数, 但当此函数不连续时, 那么由结论: 单调函数的间断点必为第一类间断点知不存在原函数。 上面所讨论的是 f ( x ) 可积时原函数的情况, 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上不可积时, f ( x ) 必然不存在原函数。 例 3 设 f ( x ) = 考查 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 是否可积, 是否有原函数。 0 x 是无理数 解: f ( x ) 显然有界, 但在 [ 0, 1 ] 不可积, 只须考查其积分和式是否有极限, 对 [ 0, 1 ] 取任意分割, 在
1 1
x
例 2 f ( x ) =
x
-
[
] x ∈ ( 0, 1 ]
其中 [ x ] 表示 x 的整数部分, 证明 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 可积。
0 x = 0 1 1 证明: 0 ≤ f ( x ) < 1, f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 有界, f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上的全体间断点 0, 1, , , …, 仅有一个聚 2 3 ( ) 点, 由上述结论, f x 在 [ 0, 1 ] 上可积。
积函数 g ( x ) , 使得 f ( x ) = f ( a ) +
∫g ( t) d t
a
( x ) , 就有 f ( x ) = = f ( a ) + 证明: 取 g ( x ) = f ′
n
∫g ( t) d t, 对 Π Ε>
a n i= 1
x
0, 由 g ( x ) 在 [ a , b ] 上可积, 存在
) ∃x i < Ε 分法 T , 使∑w i ( g ) ∃ x i < Ε , 现证对此分法 T , 也有∑w i ( f ′ 。
i= 1
∃f ) △x i ≤ w i ( g ) ,∃ x ∈ [ a , b ], 为 此 证 明 对 1 ≤ i ≤ n , 成 立 w i (f ′ = ∃x f (x + ∃ x ) - f (x ) 1 x + ∃x = g ( t) d t , ∃x ∃x x
0 x = 0
2
+
2
x
co s
1
x
2
x ≠ 0
0 x = 0 ( x ) 显然在 [ - 1, 1 ] 上存在原函数, 但 f ′ ( x ) 在 [ - 1, 1 ] 上无界, 故不可积, 若要使得在 [ a , b ] 上存 f ′
在原函数的 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积, 则必须满足下列结论:

第2期
闫彦宗, 陈海鸿, 岳晓红: 可积性与原函数存在性的关系
・97・
在第二类可积函数中, 若函数的间断点不是有限的, 这时候其可积性有如下结论: 结论 2 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上有界, 且其间断点仅有有限个聚点, 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 证明: 先设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的间断点只有一个聚点 t0 , 设w = sup f ( x ) - inf f ( x ) , 可设w > 0, 否则 [ a, b ] [ a, b ]
∫
inf g ( x ) , M i ( g ) = sup g ( x ) , 易见对 Π x , x + △x ∈ [ x i- 1 , x i ], 无论 + ∃ x > 0 设 m i (g ) = x ∈ [ x i- 1 , x i ] x ∈ [ x i- 1 , x i ] 1 x + △x ∃f (x ) 或 ∃ x < 0, 总有m i ( g ) ≤ g ( t) d t ≤M i ( g ) , 因此有m i ( g ) ≤ ≤m i ( g ) 。 令 ∃ x → 0, 注意到 f ′ ∃x x ∃x ( x ) ≤M i ( g ) , x ∈ [ x i- 1 , x i ], 所以 w i ( f ′ ) ≤M i ( g ) - m i ( g ) = w i ( g ) 。 存在, 得到 m i ( g ) ≤ f ′
2003年5月
安庆师范学院学报 ( 自然科学版)
J ourna l of Anq ing Te a che rs C o lle ge (Na tura l S c ie nce )
M a y. 2 0 0 3
第 9 卷第 2 期
Ξ Ξ Ξ
. 9 NO. 2 Vol
可积性与原函数存在性的关系
闫彦宗, 陈海鸿, 岳晓红
, 考查 f ( x ) 是否在 [ - 1, 1 ] 上可积, 是否有原函数。 1 x = 0 解: f ( x ) 在 [ - 1, 1 ] 上不连续, 有一个第一类间断点 x = 0, 但 f ( x ) 在 [ - 1, 1 ] 上有界, 并且其积分 0 x ≠ 0
和 S n = 2 f (Φ m S n = 0, i ) △x i = △x y , 其中 △x y 满足 x y - 1 < 0 < x y , ‖T ‖ → 0 时 △x y → 0, 即有 li
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x
安庆师范学院学报 ( 自然科学版)
2003 年
( x ) 在区间 [ a , b ] 上可积的充分必分条件是: 存在可 结论 4: 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可导, 则导函数 f ′