张家界市2019年中考数学模拟试题

张家界市2019年中考数学模拟试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．的相反数是（）
A．2 B．﹣2 C．﹣D．
2．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×105
4．某篮球队12名的年龄如下表所示：
年龄（岁）18 19 20 21
人数5 4 2 1
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）
A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.5
5．下列运算正确的是（）
A．2x2÷x2=2x B．（﹣a2b）3=﹣6a6b3 C．3x2+2x2=5x4 D．（x﹣3）2=x2﹣9 6．如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y=于点Q，连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．保持不变D．无法确定
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=2，CD的长为（）
A．2B． 2 C．4D． 4
8．一次函数y1=kx+c与二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①k＜0；②a＞0；③c=0；④方程ax2+bc+c=0的两个根为0或4；⑤当y1≥y2时，x的取值范围是x≤0若x≥3．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．分解因式：3m2﹣27=．
10．使二次根式有意义的x的取值范围是．
11．计算：=．
12．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分别为红黄绿三种，指针的位置固定，转动盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向黄色的概率为．
13．如图，已知直线a∥b，∠1=50°，则∠2=°．
14．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，△ABC的面积为24，则△A′B′C′的面积为．
15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数值y＞0时，x的取值范围是．
16．观察下列等式：
第一个等式：a1==﹣
第二个等式：a2=
第三个等式：a3=
第四个等式：a4=
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==；
式子a1+a2+a3+…a2014=．
三、解答题（共2小题，每小题5分，满分10分）
17．解方程：=0．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
四、解答题（共2小题，每小题6分，满分12分）
19．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°．（1）画出旋转之后的△AB′C′；
求线段AB旋转过程中扫过的扇形的面积．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．（1）求证：∠ABE=∠EAD；
若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
五、解答题（共2小题，每小题7分，满分14分）
21．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
22．省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）m=%，这次共抽取名学生进行调查；并补全条形图；在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？
（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？
六、解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
23．2013年某企业按餐厨垃圾处理费30元/吨，建筑垃圾处理费20元/吨标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费6000元，从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8500元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑处理费各是多吨？
该企业计划2014年将上述两种垃圾处理量减少到210吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的2倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多元？
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
若AD=4，AE=4，求BC的长．
七、本大题共2个小题、每小题10分，共20分
25．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的
对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E 点的坐标．
26．点E、F、G分别在正方形ABCD边AB、AD、BC上．
（1）如图1，若△EFG是直角形，求证：△AEF∽△BGE；
如图2，若△EFG是等边三角形，且点E是AB的中点，求的值；
（3）如图3，若△EFG是等边三角形，且=2，AB=a，求的值．
张家界市2019年中考数学模拟试题
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．的相反数是（）
A．2 B．﹣2 C．﹣D．
考点：相反数．
分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
解答：解：的相反数是﹣．
故选C．
点评：本题考查相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．属于基础题型，比较简单．
2．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×105
考点：科学记数法—表示较大的数．
专题：常规题型．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将110000用科学记数法表示为：1.1×105．
故选：B．
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．某篮球队12名的年龄如下表所示：
年龄（岁）18 19 20 21
人数5 4 2 1
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）
A．18，19 B．19，19 C．18，19.5 D．19，19.5
考点：众数；中位数．
分析：众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
解答：解：18岁出现了5次，次数最多，因而众数是：18；
12个数，处于中间位置的都是19，因而中位数是：19．
故选A．
点评：本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．下列运算正确的是（）
A．2x2÷x2=2x B．（﹣a2b）3=﹣6a6b3 C．3x2+2x2=5x4 D．（x﹣3）2=x2﹣9
考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
分析：根据整式的除法、积的乘方、合并同类项、完全平分公式，即可解答．
解答：解：A、2x2÷x2=2，故错误；
B、正确；
C、3x2+2x2=5x2，故错误；
D、（x﹣3）2=x2﹣6x+9，故错误；
故选：B．
点评：本题考查了整式的除法、积的乘方、合并同类项、完全平分公式，解决本题的关键是熟记整式的除法、积的乘方、合并同类项、完全平分公式的法则．
6．如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y=于点Q，连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．保持不变D．无法确定
考点：反比例函数系数k的几何意义．
专题：计算题．
分析：根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△OPQ=|m|=m，由于m
为定值，则S△OPQ为定值．
解答：解：∵QP⊥x轴，
∴S△OPQ=|m|=m，
即Rt△QOP的面积不变．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=2，CD的长为（）
A．2B． 2 C．4D． 4
考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
分析：利用垂径定理得CE=DE，再利用用圆周角定理∠BOC=45°，易得OE=OC，利用勾股定理可得CE，得CD．
解答：解：∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=2，
∴x2+x2=4，
解得：x=，
即：CE=2，
∴CD=2，
故选A．
点评：本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，利用方程思想和勾股定理是解答此题的关键．
8．一次函数y1=kx+c与二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①k＜0；②a＞0；③c=0；④方程ax2+bc+c=0的两个根为0或4；⑤当y1≥y2时，x的取值范围是x≤0若x≥3．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：根据一次函数的性质判断①；根据抛物线的开口方向判断②；根据直线过原点判断③；根据抛物线与x轴的交点判断④；根据图象信息判断⑤．
解答：解：∵直线y1=kx+c的y随x的增大而增大，∴k＞0，①错误；
抛物线开口向下，a＜0，②错误；
直线y1=kx+c过原点，∴，c=0，③正确；
抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）（4，0），∴程ax2+bc+c=0的两个根为0或4，④正确；
由图象可知，当x≤0或x≥3时，y1≥y2，⑤正确，
故选：C．
点评：本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握一次函数的性质和二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．分解因式：3m2﹣27=3（m+3）（m﹣3）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：因式分解．
分析：应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：3m2﹣27，
=3（m2﹣9），
=3（m2﹣32），
=3（m+3）（m﹣3）．
故答案为：3（m+3）（m﹣3）．
点评：本题考查了提公因式法和平方差公式分解因式，需要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
10．使二次根式有意义的x的取值范围是x≥﹣3．
考点：二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
解答：解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
点评：用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
11．计算：=．
考点：分式的加减法．
专题：计算题．
分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答：解：原式=﹣
=
=．
故答案为：．
点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分别为红黄绿三种，指针的位置固定，转动盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两
个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向黄色的概率为．
考点：概率公式．
分析：由一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，黄色的有2个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，黄色的有2个扇形，
∴指针指向黄色的概率为：．
故答案为：．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．如图，已知直线a∥b，∠1=50°，则∠2=50°．
考点：平行线的性质．
专题：探究型．
分析：直接根据平行线的性质进行解答即可．
解答：解：∵直线a∥b，∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°．
故答案为：50．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．14．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，△ABC的面积为24，则△A′B′C′的面积为96．考点：相似三角形的性质．
分析：根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可以直接求出结果．
解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴=，
即=，
解得：△A′B′C′的面积=96．
故答案为96．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数值y＞0时，x的取值范围是x ＜﹣1或x＞3．
考点：二次函数与不等式（组）．
分析：根据观察函数图象，可得函数图象位于x轴上方的部分，可得答案．
解答：解：由函数图象位于x轴上方的部分，得
x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
点评：本题考查了二次函数与不等式组，利用了函数与不等式的关系：函数图象位于x 轴上方部分自变量的取值范围．
16．观察下列等式：
第一个等式：a1==﹣
第二个等式：a2=
第三个等式：a3=
第四个等式：a4=
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==
；
式子a1+a2+a3+…a2014=．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：（1）首先根据前四个等式的特征，可得第n个等式的分子是n+2，分母是n（n+1）•2n+1；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是n•2n，第二个数的分母是（n+1）•2n+1，据此解答即可．
根据题意，把前2014个等式左右两边分别相加，求出a1+a2+a3+…a2014的值是多少即可．解答：解：（1）根据分析，可得
用含n的代数式表示第n个等式：a n==；
a1+a2+a3+…a2014
=﹣+﹣+﹣+…+﹣
=
故答案为：；；．
点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出第n个等式的分子、分母的特征，并能用含n的代数式表示第n个等式．
三、解答题（共2小题，每小题5分，满分10分）
17．解方程：=0．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：5x+3x﹣6=0，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分．进一步在数轴上表示出来即可．
解答：解：解不等式①得x＞﹣12，
解不等式②得x≥6，
所以不等式组的解集是x≥6．
在数轴上表示为：
点评：此题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
四、解答题（共2小题，每小题6分，满分12分）
19．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°．（1）画出旋转之后的△AB′C′；
求线段AB旋转过程中扫过的扇形的面积．
考点：作图-旋转变换；扇形面积的计算．
分析：（1）利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用勾股定理得出AB的长，再利用扇形面积公式求出即可．
解答：解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；
∵AB==，
∴线段AB旋转过程中扫过的扇形的面积为：=．
点评：此题主要考查了旋转变换以及扇形面积公式应用，得出对应点位置是解题关键．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．（1）求证：∠ABE=∠EAD；
若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；
根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=∠EAD；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB，
∴∠ABD=∠ABE﹣∠DBE=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB，
∴AB=AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的关系是解题的关键．
五、解答题（共2小题，每小题7分，满分14分）
21．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
考点：列表法与树状图法．
专题：计算题；分类讨论．
分析：（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；
列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．
解答：解：（1）三种等可能的情况数，
则恰好选中绳子AA1的概率是；
列表如下：
AB AC BC
A1B1×√√
A1C1√×√
B1C1√√×
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，
则P==．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）m=26%，这次共抽取50名学生进行调查；并补全条形图；
在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？
（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）用1减去其他各种情况所占的百分比即可求m的值，用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数；
从扇形统计图或条形统计图中直接可以得到结果；
（3）用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可．
解答：解：（1）1﹣14%﹣20%﹣40%=26%；
20÷40%=50；条形图如图所示；
由图可知，采用乘公交车上学的人数最多；
答：采用乘公交车上学的人数最多．
（3）该校骑自行车上学的人数约为：1500×20%=300（名）．
答：该校骑自行车上学的学生有300名．
点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．
六、解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
23．2013年某企业按餐厨垃圾处理费30元/吨，建筑垃圾处理费20元/吨标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费6000元，从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8500元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑处理费各是多吨？
该企业计划2014年将上述两种垃圾处理量减少到210吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的2倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多元？
考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
分析：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费的单价×吨数+建筑垃圾处理费单价×建筑垃圾吨数=总费用，列出方程组解决问题．
设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共z 元，先求出x的范围，由于z的值随x的增大而增大，所以当x=70时，z值最小，代入求解．
解答：解：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得
，
解得．
答：该企业2013年处理的餐厨垃圾100吨，建筑垃圾150吨；
设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共z 元，根据题意得，
，
解得x≥70．
z=100x+30y=100x+30=70x+6300，
由于z的值随x的增大而增大，所以当x=70时，z值最小，
最小值=70×70+6300=11200（元）．
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11200元．
点评：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键；
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
若AD=4，AE=4，求BC的长．
考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析：（1）先证明BD为△DBE外接圆的直径，连接OE，再证出∠OEB=∠CBE，由∠CBE+∠CEB=90°，得出∠OEB+∠CEB=90°，即AC⊥OE，即可得出结论；
设OD=OE=OB=x，则OA=x+4，根据勾股定理得出方程，求出半径，得出AB=8，再证明△AOE∽△ABC，得出比例式，即可求出BC的长．
解答：解：（1）直线AC与△DBE的外接圆相切；理由如下：
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴BD为△DBE外接圆的直径，
取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE，如图所示：
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠OEB+∠CEB=90°，
即AC⊥OE，
∴直线AC与△DBE的外接圆相切；
设OD=OE=OB=x，则OA=x+4，
∵AC⊥OE，
∴∠AEO=90°，
根据勾股定理得：OE2+AE2=OA2，
即x2+（4）2=（x+4）2，
解得：x=2，
∴OD=OB=2，
∴AB=AD+OD+OB=8，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
即，
∴BC=．
点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，特别是中，需要根据勾股定理列出方程和证明三角形相似才能得出结果．
七、本大题共2个小题、每小题10分，共20分
25．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的
对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E 点的坐标．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题；压轴题．
分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
作CM⊥x对称轴于M，
∴MP1=MD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤a≤4）．
=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
∵S
四边形CDBF
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤a≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S
=，
四边形CDBF的面积最大
∴E．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
26．点E、F、G分别在正方形ABCD边AB、AD、BC上．
（1）如图1，若△EFG是直角形，求证：△AEF∽△BGE；
如图2，若△EFG是等边三角形，且点E是AB的中点，求的值；
（3）如图3，若△EFG是等边三角形，且=2，AB=a，求的值．
考点：相似形综合题．
分析：（1）由△EFG是直角三角形，得到∠FEG=90°，于是得到∠AEF+∠BEG=90°，由于∠BEG+∠BGE=90°，得出∠AEF=∠BGE，在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，于是得到结论；
由△EFG是等边三角形，点E是AB的中点，∠A=∠B=90°，得到R t△AEF≌R t△BEG，求出∠AEF=∠BEG=60°，∠BGE=30°，得到EG=2BE=AB，即可得到结论；
（3）如图3，作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，得到∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，于是得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，推出△ABK
是等边三角形，作KM⊥AB，则M为AB的中点，EB=a，MB=a，求出EM=a，MK=asin60°=a，根据勾股定理得到EK==a，推出EG==，求出BG==，问题可得．
解答：（1）证明：∵△EFG是直角三角形，
∴∠FEG=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠AEF=∠BGE，
∵在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE；
解：∵△EFG是等边三角形，
∴EF=EG=FG，
∵点E是AB的中点，∠A=∠B=90°，
在R t△AEF与R t△BEG中，
，
∴R t△AEF≌R t△BEG，
∴∠AEF=∠BEG=60°，
∴∠BGE=30°，
∴EG=2BE=AB，
∴BG=EG=AB=BC，
∴；
（3）解：如图3，作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，
∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，
∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，
∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°，
∴△ABK是等边三角形，
作KM⊥AB，则M为AB的中点，EB=a，MB=a，
∴EM=a，MK=asin60°=a，
∴EK==a，
∴EG==，
∴BG==，
∴．
点评：本题考查了直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。