江苏小宿迁市剑桥国际学校高三上学期期中——数学数学

江苏小宿迁市剑桥国际学校
2015届高三上学期期中考试
数 学 试 题
（满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．命题“”的否定是 ▲ ．
2．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ▲ ．
3．已知的终边在第一象限，则“”是“”的 ▲ 条件．
4．已知向量ab ，且ab ，则实数 ▲ ．
5．在等差数列中,若,则 ▲ .
6．已知函数，若函数的零点所在的区间为，则 ▲ ．
7．曲线在点处的切线方程为 ▲ ．
8．已知向量a ，b 的夹角为，且a ， 2ab ，则b ▲ ．
9．函数，，
在R 上的部分图像如图所示，则 ▲ ．
10．设，且．
则的值为 ▲ ．
11．已知△为等腰直角三角形，，点为边的三等分点，则
▲ ．
12．已知函数2221 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩
，，，是偶函数，直线与函数的图像自左向右依次交于四个不同点．若，则实数的值为 ▲ ．
13．已知，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 ▲ ．
14．已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为 ▲ ．
二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．)
15．（本小题满分14分）
已知集合{}|,|[(1)][(4)]0A x y B x x a x a ⎧⎪
===-+-+<⎨⎪⎩． （1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63
f x x x x ππ=+-++． （1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）函数的图像可由的图像如何变换得来，请详细说明．
17．(本小题满分14分)
如图，在平面四边形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．
(请自行在答题纸上作图)
18．(本小题满分16分)
如图所示，有一块半径长为1米的
半圆形钢板，现要从
中截取一个内接等腰
梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的
面积为平方米． (1)按下列要求写出函数关系式：
①设 (米)，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式．
(2)求梯形部件ABCD 面积的最大值．
(请自行在答题纸上作图)
19．(本小题满分16分)
已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求出所有的正整数m ，使得1212m
m m m m m a a a a a a ++++++=．
20．(本小题满分16分) 已知函数d cx bx x x f +++=233
1)(，设曲线在与x 轴交点处的切线为，为的导函数，满足． （1）求；
（2）设，m ＞0，求函数在[0，m ]上的最大值；
（3）设，若对于一切，不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围．
高三数学参考答案
一、填空题
1．． 2．{2，4}． 3．既不充分也不必要条件． 4．－4．
5．． 6．1． 7．． 8．． 9．．
10．． 11．． 12．． 13．． 14．．
二、解答题
15．解：(]()1,0,1,4A B a a =-=++……………………………………………4分
（1），……………………………………………………………9分
（2）．……………………………………………………………14分
16．解：（1）()2sin(2)16f x x π=++，；………………………5分
（2）增区间为[,]()36
k k k Z ππππ-+∈， 减区间为2[,]()63
k k k Z ππππ++∈……………………………10分 （3）变换步骤：（答案不唯一）
1
2−−−−−−−−−→所有点的横坐标缩短到原来的π−−−−−−−−−→所有点向左平移个单位长度122−−−−−−−−−−→所有点的纵坐标伸长到原来的倍 ……………………………14分
17． 解：（1）在中，则余弦定理， 得AD
AC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 2
22． 由题设知，7
72724
17cos =-+=∠CAD ．………………………………………4分
（2）设，则，
因为，， 所以
7
21)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，………………………6分 14
213)147(1cos 1sin 22=-
-=∠-=∠BAD BAD ．………………………8分 于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α 2
3721)147(77214213=⋅--⋅=
．………………………………11分 在中，由正弦定理，，故3621
237sin sin =⋅=∠⋅=CBA AC BC α．……14分 18．解：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C 作于
E ，
(1)①∵，∴，
∴11()(2222
y AB CD CE x =+⋅=+
(1)x x =+<< …………………4分
②∵，∴cos ,sin OE CE θθ==， ∴11()(22cos )sin (1cos )sin 22
y AB CD CE θθθθ=+⋅=+=+， ………8分 (说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分)
(2)(方法1)∴y ==
令，
则32322
'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，………10分
令，， (舍)． ………………12分
∴当时，，∴函数在(0，)上单调递增，
当时，，∴函数在(，1)上单调递减，………………14分
所以当时，有最大值，………………………16分
答：梯形部件面积的最大值为平方米．
(方法2) ∴'[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'y θθθθθθ=+=+⋅ 22cos cos sin θθθ=+-，……………………10分
令，得，即， (舍)， ……………………12分
∴当时，，∴函数在上单调递增，
当时，，∴函数在上单调递减 ，………………14分
所以当时，………………………………………………16分
答：梯形部件ABCD 面积的最大值为平方米．
19．解：(1) 设数列前6项的公差为，则， (为整数)
又，，成等比数列，所以，
即，得…………………………………………………4 分
当时，，………………………………………………………6 分
所以，，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当时，．故……………………………8分
(2)由(1)知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当时等式成立，即3216(3)(2)(1)---=-=-⨯-⨯-；
当时等式成立，即1010(1)01-++==-⨯⨯；……………………………10分
当时等式不成立；………………………………………………………12分 当m ≥5 时，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯，
若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=，则，所以……14分
，，从而方程无解
所以1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠ ．故所求或．………………16分
20．（1），
∵，∴函数的图象关于直线x =1对称,b = -1，……………2分
∵曲线在与x 轴交点处的切线为，∴切点为（3，0），
∴，解得c =1，d =-3，则331)(23-+-=
x x x x f …………………5分 （2）∵22)1(12)(-=+-='x bx x x f ，
∴⎩⎨⎧<-≥-=-=1
1|1|)(22x x x x x x x x x g …………………7分 当0＜m ≤时，2)(m ax )(m m m g x g -== 当＜m ≤时，4
1)21(max )(==g x g ， 当m ＞时，m m m g x g -==2)(m ax )(， 综上⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+>-+≤<≤<-=)221()22121(41)210(max )(22m m m m m m m x g ……………………………………………10分 （3），||ln 2)1(t x t x h -=-+，|12|ln 2)22(+=+x x h ,
当时，|2x +1|=2x +1，所以不等式等价于恒成立，
解得，且x ≠t ，……………………………………13分
2
由，得，，所以，
又x≠t，∵，∴所求的实数t的的取值范围是．…………………16分。