空间四连杆机构的等视角原理及应用资料

空间四连杆机构的等视角原理及应用资料
第一篇：空间四连杆机构的等视角原理及应用资料
空间四连杆机构的等视角原理及应用
莫灿林
陈延生
摘要
（本文通过对空间四连杆机构的等视角原理、相对运动转换及相对转动极线确定方法和研究，找到按给定连架杆两组、三组、四组对应位置的空间四连杆机构的几何设计方法。

）
1、空间四连杆机构的等视角原理：
图1所示，AB杆在V面上绕过点A且垂直于V面的轴线YA转动，DC杆在H面上绕过点D且垂直于H面的轴线ZD转动，AB1C1D、AB2C2D为空间四连杆机构ABCD运动的两个位置。

分别作线段B1B2、C1C2的中垂面M、N，它们的交线为L12。

根据空间两等长线段可绕一轴线旋转使它们重合的性质知，连杆BC的两位置B1C1、B2C2可绕直线L12作纯转动实现。

在此，可称直线L12为转动极线或极线。

现把图1换成图2的形式，极线L12垂直于平面P1B1B2、P2C1C2，连杆BC绕极线转过角φ12，则点B1、C1同时在极线L12的垂直面上绕L12转过角φ12，到达B2、C2，所以∠B1P1B2=∠C1P2C2=φ12。

点B11为中垂面M与平面P1B1B2上⌒B1B2的交点，点C11为中垂面N与平面P2C1C2上⌒C1C2的交点。

由于中垂面M、N分别过YA、ZD轴，所以∠B1P1B11=∠B11P1B2=φ∠C1P2C11=∠C11P2C2=φ
12/2，12/2。

因为 12/2，所以
∠B1P1B11=∠C1P2C11=φ
B1C1=B11C11，B1C1绕极线L12旋转
φ12/2可与B11C11重合。

设点B11、C11、B1、C1与极线L12
构成的平面分别为M1、N1、M2、N2，则二面角M1-L12-N1与二面角M2-L12-N2相等。

因点B11、C11分别在M、N上，故M1与M重合，N1与N重合。

因M、N分别过轴YA、ZD，故点A、D分别在M、N上。

由此可得到以下的结论：由极线和连杆销轴中心所构成平面的夹角，与由极线和固定杆销轴中心所构成平面的夹角相等，由极线分别与两连架杆的销轴中心所构成的两个二面角相等。

如果把平面M1、N1、M2、N2理解为视线，则可认为由极线L12去看不相邻的两个连架杆AB1和DC1（或AB2和DC2）时，视角均同向且等于连杆体转角的一半，即φ系，或者等半角关系。

12/2，这一等角关系称为等视角关
2、空间四连杆机构的相对运动转换及相对转动极线
2.1 相对运动转换及相对转动极线
图3所示，任给定空间四连杆机构ABCD两个运动位置的机构简图。

AB杆在V面上绕过点A且垂直于V面的轴线YA转动，转角为α12；DC杆在H面上绕过点D且垂直于H面的轴线ZD转动，转角为β12。

12角，使
把空间四边形AB2C2D看成刚体，绕ZD轴旋转-β
DC2与DC1重合。

此时把DC1看作固定构件，DAB1C1、DA0B21C21看作四连杆机构的两个位置。

分别作线段AA0、B1B21的中垂面Q1、Q2（图中未画出），则两中垂面的交线R12即为连杆AB由位置AB1转到位置A0B21的转动极线，R12称为相对转动极线。

因为空间一线段的两预定位置可以通过一次旋转达到，两组对应点中垂面的交线是其唯一的旋转轴，所以当直线AB1、A0B21的两组对应点（或一组对应点和两直线的对应方向）给定后，R12即为唯一的相对转动极线，而与参考长度AB1=AB2=A0B21无关。

由等视角原理可知，两平面AxR12、DxR12所形成的二面角与两平面B1xR12、C1xR12所形成的二面角相等。

因为AB2绕ZD轴转过-β
12角后即可达到位置
A0B21，故确定R12只与β12有关，而与DC杆的起始位置DC1无关。

图4所示，V面上的圆A其半径为AB1，AB1绕YA轴转过α12角后到达AB2位置；
12V面绕ZD轴转过-β
角后到达新位置V0面，AB2的新位置A0B21。

YA轴与ZD轴相交。

在前面已得知A0B21：转到与AB1重合，其旋转轴R12是唯一的。

因为点A在YA轴上，YA轴与ZD轴相交，V面绕ZD轴转过-β12后到达V0面，所以线段AA0的中垂面Q1过ZD轴，并为两平面V、V0形成二面角的平分面；又因为R12在Q1面上，所以线段A0B21绕R12转到与线段AB1重合时，圆A与圆A0重合，圆周A0上的点与圆周A上的存在着一一对应的关系（点B21对应B1）。

因此，当YA轴与ZD轴相交时，R12的唯一性只与角α
2有关，而与AB杆的起始位置AB1无关。

R12、YA、ZD三线共点。

如果V面与H面重合，空间四连杆机构则演变成平面四连杆机构。

2.2 相对转动极线的确定方法
在以后的问题中，均设V面垂直于H面，AB1对V面与H面交线的倾角γ。

对任意给定的空间四连杆RSSR机构ABCD两连架杆的相应转角为α
12、β12（转动方向图中所示），以及
AB杆的起始位置AB1，则机构的相对转动极线的确定方法如下所述，图解过程参阅图5所示。

（1）任取参考长度AB1=AB2;（2）把AB2绕过点D的铅垂轴ZD转过-β
12，得
A0B11;（3）分别做线段AA0、B1B21的中垂面Q1和Q2;（4）求作出两平面Q1、Q2的交线R12，则R12为所求的相对转动极线，且R12与ZD相交。

对需确定的机构，如果给定YA轴与ZD轴相交，则AB杆的起始位置AB1与确定R12无关，角γ可任意选择。

3、按给定连架杆若干组对应位置的机构设计
在以下的问题中，给出的连架杆若干组对应位置——相应的转角，因它们仅与机构的相对尺寸有关，故可任意选取合适的固定铰链A、D 的位置来进行机构设计。

3.1给定连架杆两组对应位置的机构设计
给定空间RSSR机构ABCD两连架杆的相应转角分别为α
12、β12，其转动方向如图所示，YA轴与ZD轴相交，设计该机构。

图6所示，设计此空间四连杆机构时，首先确定固定转轴YA、ZD 的位置，按需要确定连架杆AB的起始位置AB1。

如YA轴不与ZD轴相交，则按角γ给出AB1的位置；然后确定机构的相对转动极线R12，最后在—AB1的位置上任取一点作为铰链中心B，根据等视角原理，使由平面BxR12（J2）与平面CxR12（T2）形成的二面角J2-R12-T2等于由平面AxR12（M2）与平面DxR12（N2）形成的二面角M2-R12-N2，即可在平面T2上任取一合适点作为铰链中心C。

直线L为T2面与H面的交线，ZD轴在N2面上。

对给定的转角α
12、β12，如果转动方向相同，则必需使所得机构的连杆BC在H 面上的投影bc不与固定件AD在H面上的投影ab相交；反之则相交。

在选取铰链中心C时，应考虑点C与点B1、B2的相对位置，否则所确定的机构将得不到对应的转角关系。

正如点C在过点B的水平面下，则点B2、B1对水平投影面的上、下关系就能得到保持。

因为点C在T2面上任意选择都能满足等视角的关系，且随着铰链中心B的位置选择不同，可得到无数个T2的平面，所以在理论上铰链中心C有无穷个解。

但是，由于四连杆机构是在铰链强制约束下运动的，而运动连杆的区间是有限制的，所以在满足机构存在的条件下，要使两连架杆满足给定的转角对应关系，则铰链中心C的选择，其实用上的解较理论上的少。

机构设计的作图步骤如下所述，图解结果见图7所示。

（1）求作出机构的相对转动极线R12；
（2）进行两次投影变换，把R12变换或投影面垂直线；（3）在—AB1位置上任取一点作为铰链中心B；
（4）作二面角M2-R12-N2等于二面角J2-R12-T2;（5）把T2面上（V1/H2）投影系变换回原投影系；【2】
（6）在T2面上取适当的点作为铰链中心C，求作出连杆BC的实长，则机构得以确定。

3.2 给定连架杆三组对应位置的机构设计
给定空间RSSR机构ABCD 两连架杆的两组相应转角分别为
α
12、β
12、α
13、β13，其转动方向如图所示，YA轴与
ZD轴相交，设计该机构。

机械设计的作图步骤如下所述，图解结果见图8所示。

（1）求作出机构的相对转动极线R12、R13；（2）进行投影变换，分别把R12、R13变换成投影面垂直线。

（3）在—AB1位置上任取一点作为铰链中心B，设平面AxR13、BxR13、CxR13、DxR13分别为M3、J3、T3、N3；
（4）分别作二面角M2-R12-N2等于二面角J2-R12-T2，二面角M3-R13-N3等于二面角J3-R13-T3;（5）把平面T2、T3变换回原投影系，并作出它们的交线L1，因YA与ZD轴相交，故R12、R13、YA、ZD、L1五线共点；（6）在L1上取适当的点作为铰链中心C。

参考文献
1、张世民编《平面连杆机构设计》，北京：高等教育出版社，1985：51-57。

2、费罗洛夫CA（苏）著，北京工业学院制图教研室译《画法几何学》，北京：高等教育出版社，1983：83-85。

Principle of Egual View Angles of
Spatial
Four-bar linkage and It’s Application
Mo Canlin
（Mechanical Engin.Dept.）
Chen Yansheng
（Spare-time school for staff of Quzhou）
Abstract On the basis of equal view angle principle relative motion transfer , and relative rotation pole-line determination , introduces a geometric design method of spatial four-bar linkage mechanism under a giren corresponding location of two , three, or four sets of linkages.Key words: Spatial mechanism;Linkage;Relative motion;
Equal view angle.
第二篇：空间连杆机构
空间连杆机构
空间连杆机构由若干刚性构件通过低副(转动副﹑移动副)联接﹐而各构件上各点的运动平面相互不平行的机构﹐又称空间低副机构中文名
空间连杆机构外文名
spatial linkage 又名
空间低副机构低副
转动副、移动副组成单自由度空间闭链机构应用领域
农业机械、轻工机械、纺织机械
1简介
spatial linkage 由若干刚性构件通过低副（转动副、移动副）联接，而各构件上各点的运动平面相互不平行的机构，又称空间低副机构。

在空间连杆机构中，与机架相连的构件常相对固定的轴线转动、移动，或作又转又移的运动，也可绕某定点作复杂转动；其余不与机架相连的连杆则一般作复杂的空间运动。

利用空间连杆机构可将一轴的转动转变为任意轴的转动或任意方向的移动，也可将某方向的移动
转变为任意轴的转动，还可实现刚体的某种空间移位或使连杆上某点轨迹近似于某空间曲线。

与平面连杆机构相比，空间连杆机构常有结构紧凑、运动多样、工作灵活可靠等特点，但设计困难，制造较复杂。

空间连杆机构常应用于农业机械、轻工机械、纺织机械、交通运输机械、机床、工业机器人、假肢和飞机起落架中。

组成
空间连杆机构常指单自由度空间闭链机构,但是随着工业机器人和假肢技术的发展,多自由度空间开链机构也有不少用途。

单自由度单环平面连杆机构只含4个转动副,而单自由度单环空间连杆机构所含转动副应为7个,此即空间七杆机构。

空间连杆机构中采用多自由度的运动副如球面副或圆柱副时，所含构件数即可减少而形成简单稳定的空间四杆机构或三杆机构。

为了表明空间连杆机构的组成类型,常用R、P、C、S、H分别表示转动副、移动副、圆柱副、球面副、螺旋副。

一般空间连杆机构从与机架相连的运动副开始，依次用其中的一些符号来表示。

常用空间四杆机构的组成类型有RSSR、RRSS、RSSP和RSCS 机构这些机构因含有两个球面副,结构比较简单，但绕两球心连线自由转动的局部自由度影响高速性能。

所有转动副轴线汇交一点的球面四杆机构,也是一种应用较广的空间连杆机构，如万向联轴节机构。

此外，还有某些特殊空间连杆机构，如贝内特机构，其运动副轴线夹角和构件尺度要求满足某些特殊关系。

3运动分析和综合
空间连杆机构的分析综合均较平面连杆机构复杂困难，这在很大程度上影响空间连杆机构的推广应用。

研究空间连杆机构的方法有以画法几何为基础的图解法和运用向量、对偶数、矩阵和张量等数学工具的解析法。

图解法有一定的局限性，应用较多的是便于电子计算机运算的解析法。

空间连杆机构分析中重要而又困难的问题是位移分析。

对多于4杆的空间连杆机构，由输入求输出位移时因中间运动变量不易避开或消去，一般要用数值迭代法联解多个非线性方程式或求解高次代数方程式。

对最难进行位移分析的空间7R机构，由输入求输出位移的代数方程式高达32次。

4基本问题
对空间连杆机构进行运动综合的基本问题是：①当主动件运动规律一定时，要求连架从动件能按若干对应位置或近似按某函数关系运动；②要求连杆能按若干空间位置姿态运动而实现空间刚体的导引；
③要求连杆上某点能近似沿给定空间曲线运动。

由于这些问题和平面连杆机构的综合问题相仿，所以平面的巴默斯特尔理论可解析地推广于空间刚体的导引问题和其他运动综合问题。

此外尚有利用机构封闭性等同条件建立设计方程式和采用优化技术等综合方法。

第三篇：连杆机构的应用
连杆机构在生产实际中的应用
连杆的最新应用包括以下三个方面 1.工艺方面——裂解工艺
连杆是发动机上的关键零件，在高频率疲劳载荷下作，对强度有较高的要求。

连杆属于较难锻造与加工的一种零件，对其制造方法及技术，国内外都给予了极大的关注，连杆裂解（也称连杆胀断、撑断）加工新工艺是20世纪90年代初发展起来的一种连杆加工新技术，该种新工艺与装备从根本上改变了传统的连杆加工方法，是对传统连杆加工的一次重大变革。

连杆裂解技术的原理是根据材料断裂理论，首先将整体锻造的连杆毛坯大头孔人为加工，形成初始断裂源，然后用特定方法控制裂痕扩展，达到连杆本体与连杆盖分离的目的。

其裂解加工过程见下图
刘赛
学号：20140702020
(a)初始断裂源
(b)裂解
(c)杆、盖分离
(a)在连杆锻造毛坯大头孔内，预先加工出裂解槽，形成初始断裂源；
(b)在裂解专业设备上首先对连杆大头内孔侧面施加径向力，使裂纹由内孔向外不断扩展直至完全裂解；
(c)连杆盖从连杆本体上分离出来。

利用断裂面犬牙交错的特征，
在裂解专业设备上，再将裂解分离后的连杆盖与本体精确复位，最后在断裂面完全啮合的条件下，完成上螺栓工序及其它后续与传统工艺相同的切削加工工序。

裂解加工工艺流程：
粗磨连杆两侧面→精镗大小头孔、半精镗小头孔→钻、攻螺栓孔→钻油道孔洗→拉削裂解槽、裂解、装配、压衬套、精整衬套、倒角→精磨两侧面→半精镗、精镗大小头孔→铰珩连杆大小头孔→清洗→终检。

裂解工艺的经济性
裂解工艺改变了连杆加工的关键生产工序，以整体加工代替分体加工，省去分离面的拉削与磨削等工艺，降低螺栓孔的加工精度要求，从而显著地提高生产效率，降低生产成本，增加经济效益。

据于永仁《连杆裂解工艺》文献介绍，裂解加工技术的应用，可减
少机械加工工序60%，节省机床设备投资25%，减少刀具费用35%，节省能源40%，还可减少占地面积、减少废品率等，其经济效益十分显著。

此外连杆裂解技术还可使连杆承载能力、抗剪能力、杆、盖的定位精度、装配质量大幅度提高，对提高发动机整体生产技术水平具有重要作用。

2.汽车方面——瓦特连杆
瓦特连杆是由英国传奇发明家兼工程师詹姆斯-瓦特所发明的。

别克英朗，奔驰A级，B级车均采用这种结构，用于扭力梁悬架上，以此来减少后轮侧向力对车轮前束的影响。

也减少了在转弯时侧向力产生的离心，使两侧车轮受力始终与路面保持最适宜的接触，达到最佳的附着力。

一方面提高了车辆的驾乘舒适性，也加强了车辆循迹性。

一套三链杆组成的中央控制臂被安置在一个铝制方形封盖后方，当控制臂被从左边推动，它就向右边拉动，反之亦然。

这样的话，车子的动力就在左右轮中得到了很好的平衡。

当汽车在转向的时候，离心力会作用在车轮上。

瓦特连杆的作用就是平衡两边车轮上的这些离心力，将这些力反转到另一边。

这样，两边车轮就能始终与路面保持最适宜的接触，而汽车在转向时也就能变得更加灵活。

配备了欧宝专利技术的瓦特连杆之后，从实际的操控效果来看，完全不亚于配备普
通独立悬挂的后轴车型。

扭力杆保证了汽车在转向时，垂直作用力能够被平均地分配作用到两个后轮。

这是通过轮轴的轻微扭曲(扭矩)来完成的，其自身的特性让这个过程成为了可能。

3.材料方面
连杆不仅在工业上得到很多最新应用，在其材料方面也有。

20世纪末，国内的企业根据各自不同的需求，先后开发了不同牌号的钒系、锰铬系及在此基础上衍生的锰钒氮系连杆用非调质钢典
型的有38MnVS、40MnV、48MnV等，但由于其强度
级别小于900MPa，故在一定程度上已经满足不了发动机的高强化和高爆发压力的要求。

在这种情况下，国外
（主要是德国）率先研制了以C70S6BY为代表的高碳非调质钢，其强度好、材料纯度高，更重要的是可适应连杆孔分离面涨断工艺的需要；而法国也相应研制了SPLITASCO系列高碳钢，其成分与C70S6相比只是为了提高可加工性能，对P、S等微量元素的含量做了进一步调整。

为了进一步提高材料的疲劳强度，欧洲公司在C70S6基础上进一步增加C元素、V元素的含量，并添加了相应含量的Mo，开发了70MnSV4与80MnS5等牌号的微合金钢，经测试其疲劳强度比C70S6提高了10%～15%，但是由于合金元素的加入使连杆的加工性能受到一定的影响，目前上述两种材料只是在欧洲的几家产量较大的公司应用。

为了节省毛坯制造环节中的能耗，提高材料利用率以及简化机械加工中的制造工序，国外还采用粉末烧结锻造工艺生产汽车发动机连杆；用钛合金制造汽车发动机连杆，可大幅度地减轻连杆的质量；颗粒增强铝基复合材料因采用价格低廉的陶瓷颗粒作增强相，是金属基复合材料中价格唯一被汽车行业所接受的类别。

目前，采用压力浸渗工艺生产的50%SiCp增强铝基复合材料已达到弹性模量为2×105N/mm2、弯曲强度为800N/mm2、弯曲疲劳强度为200N/mm2的性能指标，极具应用前景。

未来连杆的发展趋势
综合连杆的应用，连杆在汽车方面是连杆未来发展最主流的势头。

连杆是汽车发动机中的重要零件。

连杆最大的应用市场在于汽车工业。

中国是全球汽车生产和消费大国。

我国汽车产量快速增长，占世界汽车总产量的比重也在快速提升，我国汽车工业在世
界的地位正快速加强。

汽车工业的快速发展，零部件国产化逐步提升，也给我国汽车零部件产业带来巨大的市场空间与发展机会。

《2010-2013年新经济形势下连杆产业运行及投资战略深度研究报告》、《2010-2013年中国连杆市场分析投资价值研究报告》、《2011-2015年中国发动机连杆行业发展趋势与投资商机研究报告》等报告都详细分析了近几年国内连杆行业市场的产销状况和重点企业的发展运营状况，并对未来三年连杆行业的市场供需状况、竞争格局进行了预测分析。

可见未来几年内连杆在汽车上的应用会得到质的飞跃。

我们尽情期待！
参考文献
[1] 崔建英《连杆几何参数测量方法综述》2008 [2] 黄河《平面连杆机构通用分析程序的研究与开发》2008 [3] 程峰.李强.梁晓娟.李西秦《ABAQUS在发动机连杆分析中的应用》2008 [4] 华裕良《虚拟凸轮连杆组合机构的运动分析与动态仿真》2009 [5] 王远.朱会田.谷叶水《基于有限元法的发动机连杆疲劳强度分析研究》2010 [6] 郑黎明.杨慎华.寇淑清.邓春萍《裂解连杆螺栓装配机床的动力学仿真及试验》2010
第四篇：四连杆机构运动分析
游梁式抽油机是以游梁支点和曲柄轴中心的连线做固定杆，以曲柄，连杆和游梁后臂为三个活动杆所构成的四连结构。

1.1四连杆机构运动分析：
图1
复数矢量法：
为了对机构进行运动分析，先建立坐标系，并将各构件表示为杆矢量。

结构封闭矢量方程式的复数矢量形式：
l1eiϕ1+l2eiϕ2=l3eiϕ3+l(1)应用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ将(1)的实部、虚部分离，得 l1cosϕ1+l2cosϕ2=l4+l3cosϕ3⎫⎬
(2)l1sinϕ1+l2sinϕ2=l3sinϕ3⎭由此方程组可求得两个未知方位角
ϕ2,ϕ3。

解得
tan(ϕ3/2)=(B±A2+B2-C2)/(A-C)
(4)当要求解ϕ3时，应将ϕ2消去可得
222l2=l3+l4+l12-2l3l4cosϕ3-2l1l3cos(ϕ3-ϕ1)-2l1l4cosϕ
1(3)ϕ2=arctanB+l3sinϕ
3(5)A+l3cosϕ3A=l4-l1cosϕ1其中：B=-l1sinϕ12A2+B2+l32-l2C=2l3
(4)式中负号对应的四连杆机构的图形如图2所示，在求得ϕ3之后，可利用(5)求得ϕ2。

图2 由于初始状态ϕ1有个初始角度，定义为ϕ10，因此，我们可以得到关于ϕ1=ϕ10+ωt，ω是曲柄的角速度。

而通过图形3分析，我们得到OA的角度θ=ϕ3-因此悬点E的位移公式为s=|OA|⨯θ，速度v=dvd2sd2θa==2=|OA|2。

dtdtdtπ2-ϕ10。

dsdθ=|OA|，加速度dtdt
图3 已知附录4给出四连杆各段尺寸，前臂AO=4315mm，后臂BO=2495mm，连杆BD=3675mm，曲柄半径O’D=R=950mm，根据已知条件我们推出|OO'|+|O'D|>|OB|+|BD|违背了抽油系统的四连结构基本原则。

为了合理解释光杆悬点的运动规律，我们对四连结构进行简化，可采用简谐运动、曲柄滑块结构进行研究。

1.2 简化为简谐运动时的悬点运动规律
一般我们认为曲柄半径|O’D|比连杆长度|BD|和游梁后臂|OA|小很多，以至于它与|BD|、|OA|的比值可以忽略。

此时，游梁和连杆的连接点B的运动可以看为简谐运动，即认为B点的运动规律和D点做圆周运动时在垂直中心线上的投影的运动规律相同。

则B点经过时间t 时的位移sB为
sB=r(1-cosφ)=r(1-cosωt)其中φ是曲柄转角；
ω曲柄角速度； t时间。

因此，悬点A的位移sA=|OA||OA|'sB=|OD|(1-cosωt)|OB||OB| A
点的速度为
υA=A点的加速度为
dsA|OA|'=|OD|ωsinωt dt|OB|aA=dυA|OA|'=|OD|ω2cosωt dt|OB|
图4
图5
图6
1.3 简化为曲柄滑块结构的选点运动规律
由于简谐运动只能在不太精确的近似计算和分析中应用，而在实际中抽油机的曲柄/杆长值不能忽略不计，特别是冲程长度较大时，忽略会引起很大误差。

把B点绕游梁支点的弧线运动看做直线运动，则四杆运动可被简化为图所示的曲柄滑块运动。

φ=0时，游梁与连杆的连接点B在B’点，为距曲柄轴心最远的位置，相应于悬点A的下死点。

φ=180时，游梁与连杆的连接点B在B’’点，为距曲柄轴心最远的位置，相应于悬点A的上死点。

因此，我们有|O'B'|=|BD|+|OD'|，|O'B''|=|BD|-|OD'|，B点的最大位移sB=2|O'D|。

B点在任意时刻的位移sB为
sB=|BB'|≈|O'B'|-|O'B|=1+|O'D|-|O'B|
在∆O'DB中有：
'|O'B|=|OC|+|BC|=|O'D|cosφ+|BD|cosϕ
则
sB=|BD|+|O'D|-|O'D|cosφ-|BD|cosϕ=|OD|[1-cosφ+'1λ(1-cosϕ)] |O'D|式中λ=。

|BD|通过转化分析，我们得到B点的位移：
sB=|O'D|(1-cosφ+λ2sin2φ)
则sA为
sA=sB|OA|λ|OA|=|O'D|(1-cosφ+sin2φ)|OB|2|OB|速度υA为
υA=dsAλ|OA|=ω|O'D|(sinφ+sin2φ)dt2|OB|加速度aA为
aA=
dυA|OA| =ω2|O'D|(cosφ+λcos2φ)dt|OB|
2∂2u(x,t)∂u(x,t)2∂u(x,t)=a-c 22∂t∂x∂ta是波动速度英尺/秒；
c是阻尼系数，1/秒； t是时间，单位是秒；
x是在无限制杆离光杆之间的距离，单位是英尺；
u(x,t)抽油杆离平衡位置的位移。

c=παγ2L
γ无因次阻尼；
L=x1+x2+...xm杆的总长度(英尺)。

4.42⨯10-2L(PRhp-Hhp)T2 γ=2(A1x1+A2x2+...+Amxm)SPRhp 光杆马力；
Hhp液压泵马力； T抽运周期；
A1,A2,...,An每个杆的面积； x1,x2,...,xm杆的区间长度；
S杆的负载。

D(ωt)=L(ωt)-Wr=σ02+∑σncosnωt+τnsinnωt
n=1∞和
U(ωt)=υ02+∑vncosnωt+δnsinnωt
n-1∞ω是角速度；
D(ωt)动态光杆负载函数； L(ωt)总负载函数；
Wr流动的杆重；
U(ωt)光杆的位移函数。

ω2πD(ωt)cosnωtdt,n=0,1,2,...,nπ⎰0
ω2πD(ωt)sinnωtdt,n=0,1,2,...,n1τn=⎰0π1σn=把θ=ωt得
1σn=ω2πD(θ)cosnθdt,n=0,1,2,...,n ⎰0πθ=2πp,p=0,1,2,...,K KD2πp=DD K对于一个数学例子，θ是个离散变量
采用简单的标记
我们可以用梯形公式写出
⎡⎧⎫⎤⎡2nπ⋅0⎤⎡2nπ⋅1⎤⎡2nπ⋅1⎤⎡2nπ⋅2⎤Dcos+DcosDcos+Dcos112⎢⎪0⎪⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥KKKK⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎪++...⎪⎥1⎢⎪⎪2π⎥22σ≈⎨⎬⎥1nπ⎢⎪K⎡2nπ⋅(K-1)⎤⎡2 nπ⋅K⎤⎪Dcos+Dcos⎢⎥K-1K⎢⎥⎢⎥⎪⎪KK⎣⎦⎣⎦⎢+⎥⎪⎪⎢2⎭⎥⎣⎩⎦
因此，我们可以得出
1σn≈DKcos(2nπ)2⎡D0cos0⎡2nπ⎤⎤⎡2nπ⋅2⎤。

+Dcos+Dcos+...+12⎢⎥⎢⎥⎢⎥K⎣22⎣K⎦⎦⎣K⎦对于周期函数，由于cos0=cos2nπ，则我们得到D0=Dk，即
2K2nπ⋅pσ≈Dcos,n=0,1,...,n ∑1npKp=1K同样得到其他傅里叶展开系数
2K2nπpτ≈Dsin,n=1,2,...,n
∑1npKp=1K2K12nπpυ≈Usin,n=0,1,...,n
∑1npK1p=1K12K12nπpδ≈Usin,n=1,2,...,n ∑p1nK1p=1K1通过分离变量法求解，得到特征根的形式
λn=-αn+iβn
其中
2nω⎡c⎤αn=1+1+⎢⎥ a2⎣nω⎦和
2nω⎡c⎤βn=-1+1+⎢⎥
a2⎣nω⎦通过变化分析，我们得到
∞∞⎡⎤D(ωt)=EA⎢ξη+∑(knαn+μnβn)cosnωt+∑(knβn-μnαn)sinnωt ⎥
n=1n=1⎣⎦因此，我们有充分的利用定义新的常数
σn=EA(knαn+μnβn),n=0,1,2,...τn=EA(knβn-μnαn),n=1,2,...σ0=2 EAξη
通过上述方程我们得到
kn=σnαn+τnβn,n=1,2,3,...2EA(αn+βn2)μn=通过上面一系列的推导，我们得到
σnβn-τnαn,n=1,2,3,...2EA(αn+βn2)∞u(x,t)=σ02EA⨯υ02+∑(On( x)cosnωt+Pn(x)sinnωt)
n=1其中
On(x)=(kncoshβnx+δnsinhβnx)sinαnx+(υncoshβnx+μnsinhβnx )cosαnx
Pn(x)=(knsinhβnx+δncoshβnx)sinαnx-(υnsinhβnx+μncoshβnx)sinαnx
根据胡可定理，力F(x,t)可以被计算为
F(x,t)=EA因此，我们得到
∂u(x,t)∂x∞⎡σ0⎤'F(x,t)=EA⎢+∑(On(x)cosnωt+Pn'(x)sinnωt)⎥
⎣2EAn=1⎦其中
⎡τ⎤'On(x)=⎢nsinhβnx+(δnβn-υnαn)coshβnx⎥sinαnx+⎣EA⎦
σ⎡n⎤coshβx+(υβ+δα)sinhβxnnnnnn⎥cosαnx⎢EA⎣⎦和
⎡τ⎤Pn'(x)=⎢ncoshβnx+(δnβn-υnαn)sinhβnx⎥cosαnx+⎣EA⎦
⎡σn⎤sinhβx+(υβ+δα)coshβxnnnnnn⎥sinαnx⎢EA⎣⎦工程量的递归计算
j+10v=jσ0xjEAj+jυ0
j+1nj+1v=jOn(xj)
δn=jPn(xj)j+1j+1j+1σ0=jσ0'σn=EAjjOn(xj)
σn=EAjjPn'(xj)
j+1j+1kn=σnαn+j+1τnβn2EAj+1(αn+βn2)j+1σnβn+j+1τnαnμ=j+ 1n2EAj+1(αn+βn2)
j+1On(xj+1)=(j+1kncoshβnxj+1+j+1δnsinhβnxj+1)sinαnxj+1+(j +1μnsinhβnxj+1+j+1υncoshβnxj+1)cosαnxj+1j+1Pn(xj+1)=(j+1knsi nhβnxj+1+j+1δncoshβnxj+1)cosαnxj+1-(j+1μncoshβnxj+1+j+1υnsi nhβnxj+1)sinαnxj+1
⎡j+1τn⎤sinhβnxj+1+(j+1δnβn-j+1υnαn)coshβnxj+1⎥sinαnxj+1+j +1O(xj+1)=⎢EA⎢⎥⎣j+1⎦'n⎡j+1σn⎤
⎢coshβnxj+1+(j+1υnβn+j+1δnαn)sinhβnxj+1⎥cosαnxj+1⎢EAj+1⎥⎣⎦'j+ 1n⎡j+1τn⎤P(xj+1)=⎢coshβnxj+1+(j+1δnβn-j+1υnαn)sinhβnxj+1⎥cos αnxj+1+EA⎢⎥⎣j+1⎦
⎡σ⎤
⎢j+1nsinhβnxj+1+(j+1υnβn+j+1δnαn)coshβnxj+1⎥sinαnxj+1⎢⎥⎣EAj+ 1⎦此处，j=1,2,...,m-1,n=1,2,...,n。

因此，泵的位移和负载用下列公式计算
u(xm,t)=mσ02EAmxm+mυ02+∑(mOn(xm)cosnωt+mPn(xm)si nnωt)
n=1nn⎡mσ0⎤'F(xm,t)=EAm⎢+∑(mOn(xm)cosnωt+mPn'(xm)sin nωt)⎥
⎣2EAmn=1⎦上冲程悬点静载荷
由于游动阀关闭，悬点静载荷主要包括柱塞上、下流体压力及抽油杆柱重力。

1)抽油杆柱在空气中的重力：
Wr=ArgLpρr
式中：
Wr抽油杆柱在空气中的重力，KN； Ar抽油杆截面积，m2；
ρr抽油杆密度，t/m3；
g重力加速度；
Lp抽油杆柱长度 2)泵排出压力
p0=pt+LPρLg
式中：
pt井口压力，kpa
ρL液体密度
3)吸入压力
上冲程时的沉没压力导致井内液体流入泵中，此时液流所具有的压力即吸入压力，此压力作用在柱塞底部，产生的载荷方向向上：pt=ps-∆pr
式中：
ps沉没压力，kpa；
∆pr流体通过泵入口设备产生的压力降，m。

将以上三个力综合可得出上冲程的静载荷：
Wup=Wr+p0(Ap-Ar)-ptA =Wr+W+(pt-pc)Ap-ptAr''L
由于上冲程时井口回压与套压造成的悬点载荷方向相反，故可近似为相互抵消，因此上冲悬点载荷可简化为下式
Wup=Wr'+WL'
下冲程悬点载荷
下冲程时，游动阀打开使得柱塞上下的液体连通，抽油杆柱受到向上的浮力作用。

因此，下冲程时抽油杆柱在液体中的重力等于自身重力减去浮力。

而液柱荷载通过固定阀作用在油管上，不作用在悬点。