高一数学人教版A版必修二课件：2.1.1 平面
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解析答案
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3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A∉α，a⊂α__C__. (2)α∩β＝a，P∉α且P∉β__D__. (3)a⊄α，a∩α＝A_A___. (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O_B__.
答案
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4.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是__1_或__3___.
文字语言表达
图形语言表达
符号语言表达
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A∉l
点A在平面α内
A∈α
答案
点A在平面α外 直线l在平面α内 直线l在平面α外 平面α，β相交于l
A∉α l⊂α l⊄α α∩β＝l
答案
知识点三 平面的基本性质
思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有 两个公共点呢？ 答案 前者不在，后者在. 思考2 观察右图，你能得出什么结论？ 答案 不共线的三点可以确定一个平面. 思考3 观察正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面 BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？ 答案 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.
面α使A，B，C∈α
如果两个不重 合的平面有一 个公共点，那 公理3 么它们有且只 有一条过该点 的公共直线
①判定两平面 P∈α且
相交的依据 P∈β⇒α∩β＝l，
②判定点在直 且P∈l
线上
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
返回
答案
知识点二 点、直线、平面之间的关系
思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面 的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？ 答案 点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示， 直线和平面的位置关系，可用数学符号 “⊂”或“⊄”表示.
答案
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
答案
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平 面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P， 则点P与直线DE的位置关系是_P_∈__直__线__D_E__. 解析 因为P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE.
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解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系
可记为( B ) A.M∈a，a∈α
B.M∈a，a⊂α
C.M⊂a，a⊂α
D.M⊂a，a∈α
解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平
解析答案
1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据； 规律与方法
公理2——判定点共面、线共面的依据； 公理3——判定点共线、线共点的依据. 2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个 平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上. 3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或 线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然 后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证 明、记忆与运用. 4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其 他”直线往往归结为平面与平面的交线.
答案
2.平面的画法 常常把水平的平面画成一个平__行__四__边__形__，并且其 锐角画成_4_5_°_，且横边长等于邻边长的__2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感， 被遮挡部分用_虚__线__画出来.
3.平面的表示方法 (1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. (2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. (3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
答案
公理 文字语言
图形语言
符号语言
作用
如果一条直线上 的两点在一个平 公理1 面内，那么这条 直线在此平面内
①确定直线在平面 A∈l，B∈l，且
内的依据 A∈α，B∈α⇒l⊂α
②判定点在平面内
过不在一条直线 公理2 上的三点，有且
只有一个平面
A，B，C三点不共 ①确定平面的依据
线⇒存在唯一的平 ②判定点线共面
面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.
解析答案
类型二 平面性质的应用 例2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内.
解析答案
跟踪训练2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c和l共面. 证明 如图， ∵a∥b，∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β. ∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B， 由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面， ∴平面α与平面β重合， ∴a，b，c和l共面.
解析答案
例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如 图所示. 求证：P、Q、R三点共线.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点， F为AA1的中点.求证：CE、D1F、DA三线交于一点.
解析答案
返回
达标检测
1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( A )
第二章 § 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
学习目标
1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系； 2.掌握有关平面的三个公理； 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 平面
思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 答案 没有. 平行四边形. 1.平面的概念 (1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念. (2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、 黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象.
A.C∈α
Байду номын сангаас
B.C∉α
C.AB⊄α
D.AB∩α＝C
解析 因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.
又因为C∈直线AB，所以C∈α.
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解析答案
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2.下列说法正确的是( D ) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 解析 A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面； B中，这一点在直线上不能确定一个平面； 空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错.
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3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A∉α，a⊂α__C__. (2)α∩β＝a，P∉α且P∉β__D__. (3)a⊄α，a∩α＝A_A___. (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O_B__.
答案
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4.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是__1_或__3___.
文字语言表达
图形语言表达
符号语言表达
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A∉l
点A在平面α内
A∈α
答案
点A在平面α外 直线l在平面α内 直线l在平面α外 平面α，β相交于l
A∉α l⊂α l⊄α α∩β＝l
答案
知识点三 平面的基本性质
思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有 两个公共点呢？ 答案 前者不在，后者在. 思考2 观察右图，你能得出什么结论？ 答案 不共线的三点可以确定一个平面. 思考3 观察正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面 BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？ 答案 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.
面α使A，B，C∈α
如果两个不重 合的平面有一 个公共点，那 公理3 么它们有且只 有一条过该点 的公共直线
①判定两平面 P∈α且
相交的依据 P∈β⇒α∩β＝l，
②判定点在直 且P∈l
线上
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
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答案
知识点二 点、直线、平面之间的关系
思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面 的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？ 答案 点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示， 直线和平面的位置关系，可用数学符号 “⊂”或“⊄”表示.
答案
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
答案
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平 面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P， 则点P与直线DE的位置关系是_P_∈__直__线__D_E__. 解析 因为P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE.
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解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系
可记为( B ) A.M∈a，a∈α
B.M∈a，a⊂α
C.M⊂a，a⊂α
D.M⊂a，a∈α
解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平
解析答案
1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据； 规律与方法
公理2——判定点共面、线共面的依据； 公理3——判定点共线、线共点的依据. 2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个 平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上. 3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或 线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然 后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证 明、记忆与运用. 4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其 他”直线往往归结为平面与平面的交线.
答案
2.平面的画法 常常把水平的平面画成一个平__行__四__边__形__，并且其 锐角画成_4_5_°_，且横边长等于邻边长的__2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感， 被遮挡部分用_虚__线__画出来.
3.平面的表示方法 (1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. (2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. (3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
答案
公理 文字语言
图形语言
符号语言
作用
如果一条直线上 的两点在一个平 公理1 面内，那么这条 直线在此平面内
①确定直线在平面 A∈l，B∈l，且
内的依据 A∈α，B∈α⇒l⊂α
②判定点在平面内
过不在一条直线 公理2 上的三点，有且
只有一个平面
A，B，C三点不共 ①确定平面的依据
线⇒存在唯一的平 ②判定点线共面
面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.
解析答案
类型二 平面性质的应用 例2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内.
解析答案
跟踪训练2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c和l共面. 证明 如图， ∵a∥b，∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β. ∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B， 由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面， ∴平面α与平面β重合， ∴a，b，c和l共面.
解析答案
例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如 图所示. 求证：P、Q、R三点共线.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点， F为AA1的中点.求证：CE、D1F、DA三线交于一点.
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1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( A )
第二章 § 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
学习目标
1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系； 2.掌握有关平面的三个公理； 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 平面
思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 答案 没有. 平行四边形. 1.平面的概念 (1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念. (2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、 黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象.
A.C∈α
Байду номын сангаас
B.C∉α
C.AB⊄α
D.AB∩α＝C
解析 因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.
又因为C∈直线AB，所以C∈α.
1 23 45
解析答案
1 23 45
2.下列说法正确的是( D ) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 解析 A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面； B中，这一点在直线上不能确定一个平面； 空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错.