云南省2021年中考数学试卷(含解析)

2021年云南省中考数学试卷解析版
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）1．（2021云南中考，1，4分）某地区2021年元旦的最高气温为9℃，最低气温为﹣2℃，那么该地区这天的最低气温比最高气温低（）
A．7℃B．﹣7℃C．11℃D．﹣11℃
【考点】有理数的减法.
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据题意，列出减法算式计算即可．
【答案】解：9﹣（﹣2）
＝9+2
＝11（℃），
故选C．
【点评】本题考查了有理数的减法的应用，解题的关键是：减去一个数等于加上这个数的相反数．
2．（2021云南中考，2，4分）如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】由对顶角相等可得，∠3＝∠1＝55°，又a∥b，由两直线平行，同位角相等可得，∠2＝∠3＝55°．
【答案】解：如图，
∵∠1＝55°，∠1和∠3是对顶角，
∴∠3＝∠1＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定理可快速解答．
3．（2021云南中考，3，4分）一个10边形的内角和等于（）
A．1800°B．1660°C．1440°D．1200°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．
【答案】解：根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于：
（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°，
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．（2021云南中考，4，4分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝3
5
，则AB的长是（）
A．500
3B．503
5
C．60 D．80
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．【答案】解：∵AC＝100，sin A＝3
5
，
∴BC＝60，
∴AB80，
故选D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．
5．（2021云南中考，5，4分）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）
A．a＜1 B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】由一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0，a≠0，继而可求得a的范围．
【答案】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
故选D．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．
6．（2021云南中考，6，4分）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）
A．n2a n+l B．n2a n﹣1C．n n a n+1D．（n+1）2a n
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【答案】解：∵第1个单项式a2＝12•a1+1，
第2个单项式4a 3＝22•a 2+1， 第3个单项式9a 4＝32•a 3+1， 第4个单项式16a 5＝42•a 4+1， ……
∴第n （n 为正整数）个单项式为n 2a n +1， 故选A ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．
7．（2021云南中考，7，4分）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若OA ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）
A ．2
π
B ．π
C ．
32
π D ．2π
【考点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心． 【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】连接OB 、BD ，由等边△ABC ，可得∠D ＝∠C ＝60°，且OB ＝OD ，故△BOD 是等边三角形，∠BOD ＝60°，又半径OA ＝3，根据弧长公式即可得劣弧BD 的长． 【答案】解：连接OB 、BD ，如图：
∵等边△ABC ， ∴∠C ＝60°，
∵弧AB ＝弧AB ， ∴∠D ＝∠C ＝60°， ∵OB ＝OD ，
∴△BOD 是等边三角形， ∴∠BOD ＝60°， ∵半径OA ＝3， ∴劣弧BD 的长为603
180
π⨯＝π， 故选B ．
【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用． 8．（2021云南中考，8，4分）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A 、B 、C 、D 四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
A ．单独生产
B 型帐篷的天数是单独生产
C 型帐篷天数的3倍
B ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产A 型帐篷天数的1.5倍
C ．单独生产A 型帐篷与单独生产
D 型帐篷的天数相等 D ．每天单独生产C 型帐篷的数量最多 【考点】扇形统计图；条形统计图． 【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项．
【答案】解：A 项，单独生产B 帐篷所需天数为
2000030%
1500
⨯＝4（天），单独生产C 帐篷所
⨯＝1（天），
需天数为2000015%
3000
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误；
⨯＝2（天），
B项，单独生产A帐篷所需天数为2000045%
4500
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项错误；
⨯＝2（天），
C项，单独生产D帐篷所需天数为2000010%
1000
∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确；
D项，单由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，此选项错误；
故选C．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（2021云南中考，9，3分）已知a，b都是实数．+（b﹣2）2＝0，则a﹣b＝．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，即可求解．
+（b﹣2）2＝00，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故填﹣3．
【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
10．（2021云南中考，10，3分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】先设y＝k
，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
x
，
【答案】解：设y＝k
x
得k＝﹣2，
把点（1，﹣2）代入函数y＝k
x
则反比例函数的解析式为y＝﹣2
，
x
．
故填y＝﹣2
x
【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
11．（2021云南中考，11，3分）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为．
【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；运算能力．
【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．
【答案】解：由三视图知几何体为圆柱，
且底面圆的半径是1，高是3，
∴这个几何体的体积为：π×12×3＝3π．
故填3π．
【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征
12．（2021云南中考，12，3分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ．若BF ＝6，则BE 的长是 ．
【考点】三角形中位线定理；平行线分线段成比例． 【专题】三角形；运算能力．
【分析】由题意可知，DE 是△ABC 的中线，则DE ∥AB ，且DE ＝12
AB ，可得DE EF AB BF
=
＝1
2，代入BF 的长，可求出EF 的长，进而求出BE 的长． 【答案】解：如图，
在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点， ∴DE ∥AB ，且DE ＝1
2
AB ， ∴
DE EF AB BF
=
＝1
2， ∵BF ＝6， ∴EF ＝3．
∴BE ＝BF +EF ＝9． 故填9．
【点评】本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
13．（2021云南中考，13，3分）分解因式：x 3﹣4x ＝ ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解．
【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【答案】解：x 3﹣4x ， ＝x （x 2﹣4）， ＝x （x +2）（x ﹣2）． 故填x （x +2）（x ﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
14．（2021云南中考，14，3分）已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为．
【考点】角平分线的性质；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；应用意识．
【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是
等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝1
BC，若AC＝6，则DH D到
2
直线AB AB＝BC＝6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌
△HBD(AAS)，有AB＝BH，若AB＝AC＝6时，则此时点D到直线AB的距离为6；
若BC＝6，则此时点D到直线AB的距离为6﹣
【答案】解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝1
2
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝BH，
∴DH ＝1
2
BC ，
若AC ＝6，则BC ＝AC •cos45°＝
DH
D 到直线AB
； 若AB ＝BC ＝6，则DH ＝12
BC ＝3，即点D 到直线AB 的距离为3； ②当B 不是直角顶点时，过D 作DH ⊥BC 于H ，如图：
∵△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ， ∴△CDH 是等腰直角三角，AD ＝DH ＝CH ， 在△ABD 和△HBD 中，
ABD HBD A DBH BD BD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△HBD (AAS)， ∴AB ＝BH ，
若AB ＝AC ＝6时，BH ＝6，BC
＝
∴CH ＝BC ﹣BH ＝
6，
∴AD ＝
6，即此时点D 到直线AB 的距离为
6； 若BC ＝6，则AB ＝BC •cos45°＝
∴BH ＝
∴CH ＝6﹣
∴AD ＝6﹣
D 到直线AB 的距离为6﹣
综上所述，点D 到直线AB
或3或
6或6﹣
或3或
6或6﹣
【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形． 三、解答题（本大题共9小题，共70分） 15．（2021云南中考，15，6分）计算：（﹣3）2+
tan 452
︒+
1）0﹣2﹣1+2
3×（﹣6）．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；运算能力．
【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算． 【答案】解：原式＝9+1
2
+1﹣12
﹣4 ＝6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．
16．（2021云南中考，16，6分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点E ．求证：∠DAC ＝∠CBD ．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】证明△CDA ≌△DCB （SSS ），即可求解． 【答案】证明：在△DCA 和△DCB 中，
AD BC AC BD DC CD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴△CDA ≌△DCB （SSS ）， ∴∠DAC ＝∠CBD ．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当
的判定条件．
17．（2021云南中考，17，8分）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分100 83.59 95% 40% 100 52
分数段50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 5 7 18 30 40 结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有人．
【考点】总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）①根据样本的中位数，估计总体中位数所在的范围；
②样本中“优秀”人数占调查人数的40
，因此估计总体1565人的40%是“优秀”．
100
【答案】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．故填：方案三；
（2）①样本总数为：5+7+18+30+40＝100（人），
成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；
＝626（人），
②由题意得，1565×40
100
故填：①80≤x＜90；②626．
【点评】本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法．18．（2021云南中考，18，6分）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”
的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：
请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金，【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题；运算能力．
【分析】设每间B客房租金为x元，根据“用2000元租到A客房数量与用1600元租到B客房数量相同”列出方程并解答．
【答案】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为(x+40)元，根据题意可得：
20001600
40x x
=
+， 解得：x ＝160，
经检验：x ＝160是原分式方程的解，且符合实际， 160+40＝200元，
∴每间A 客房租金为200元，每间B 客房租金为160元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
19．（2021云南中考，19，7分）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x 1、x 2，1名男生，记为y 1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x 3，2名男生，分别记为y 2、y 3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；
（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；
（2）根据（1）中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ．
【答案】解：（1）树状图如下图所示：
由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；
（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，
故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ＝5
9
．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．
20．（2021云南中考，20，8分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，点O 是EF 与BD 的交点．若将△BED 沿直线BD 折叠，则点E 与点F 重合． （1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若ED ＝2AE ，AB •AD ＝
EF •BD 的值．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）证明△OBF ≌△ODE ，得到OF ＝OE 即可得出结论．
（2）由ED ＝2AE ，AB •AD ＝
BEDF 的面积，进而可得出EF ·BD 的值． 【答案】解：（1）证明：矩形ABCD 沿EF 折叠，使B ，D 重合， ∴OB ＝OD ，EF ⊥BD ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠ODE ＝∠OBF ， 在△OBF 和△ODE 中，
OBF ODE OB OD
BOF DOE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OBF ≌△ODE （ASA ）， ∴OE ＝OF ， ∵OB ＝OD ，
∴四边形BFDE 是平行四边形，
∵EF ⊥BD ，
∴四边形BFDE 是菱形．
（2）如图，∵AB •AD ＝
∴S △ABD ＝12AB •AD ＝32
∵ED ＝2AE ， ∴ED ＝23
AD ， ∴S △BDE :S △ABD ＝2：3，
∴S △BDE ＝
12
∴菱形BEDF 的面积＝1
2
EF •BD ＝2S △BDE
∴EF •BD ＝
【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．（2021云南中考，21，8分）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l 1，射线l 2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y 1（单位：元）和y 2（单位：元）与其当月鲜花销售量x （单位：千克）（x ≥0）的函数关系．
（1）分别求y 1、y 2与x 的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；
（2）利用（1）中求出的两函数的解析式，把x ＝70代入求解即可． 【答案】解：（1）设y 1＝k 1x ， 根据题意得40k 1＝120， 解得k 1＝30， ∴y 1＝30x （x ≥0）； 设y 2＝k 2x +b ， 根据题意，得2800
401200b k b =⎧
⎨
+=⎩，
解得2
800
10b k =⎧⎨
=⎩， ∴y 2＝10x +800（x ≥0）； （2）当x ＝70时， y 1＝30×70＝2100＞2000； y 2＝10×70+800＝1500＜2000；
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．
22．（2021云南中考，22，9分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上异于A 、B
的点，连
接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且∠DCA ＝∠ABC ，点E 在DC 的延长线上，且BE ⊥DC ．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若
OA OD
＝2
3，BE ＝3，求DA 的长．
【考点】圆周角定理；切线的判定与性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得出∠OCB ＝∠OBC ，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，证出∠DCO ＝90°，则可得出结论;
（2）设OA ＝OB ＝2x ，OD ＝3x ，证明△DCO ∽△DEB ，由相似三角形的性质得出3
5
OC OD BE DB ==，求出OC 的长，则可求出答案． 【答案】（1）证明:连接OC ，
∵OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝∠OBC ， ∵∠ABC ＝∠DCA ， ∴∠OCB ＝∠DCA ，
又∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACO +∠OCB ＝90°， ∴∠DCA +∠ACO ＝90°， 即∠DCO ＝90°， ∴DC ⊥OC ， ∵OC 是半径， ∴DC 是⊙O 的切线; （2）解：∵
OA OD
＝2
3，且OA ＝OB ， 设OA ＝OB ＝2x ，OD ＝3x ， ∴DB ＝OD +OB ＝5x ， ∴
3
5
OD DB =， 又∵BE ⊥DC ，DC ⊥OC ， ∴OC ∥BE ， ∴△DCO ∽△DEB ， ∴
3
5
OC OD BE DB ==， ∵BE ＝3， ∴OC ＝95
，
∴2x ＝95，
∴x ＝9
10
，
∴AD ＝OD ﹣OA ＝x ＝910
， 即AD 的长为
910
． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（2021云南中考，23，12分）已知抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 与
x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m ＝975395
21
601
r r r r r r r +-++-+-． （1）求b 、c 的值；
（2）求证：r 4﹣2r 2+1＝60r 2；
（3）以下结论：m ＜1，m ＝1，m ＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点． 【专题】数与式；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【分析】（1）当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小，可得对称轴为直线x ＝﹣4，且抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），列出方程组即可得答案；
（2）由r 是抛物线y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2与x 轴的交点的横坐标，可得r 2+8r +1＝0，r 2+1＝﹣8r ，两边平方得(r 2+1)2＝(﹣8r )2，r 4+2r 2+1＝64r 2，即可得结果r 4﹣2r 2+1＝60r 2；
（3）m ＞1正确，可用比差法证明，由（2）可得r 4﹣62r 2+1＝0，即r 7﹣62r 5+r 3＝0，而m
﹣1＝975395
21601
r r r r r r r +-++-+-﹣1＝95601r r r +-，再由r 2+8r +1＝0，判断r ＜0，r 9+60r 5﹣1＜0， 故95601
r
r r +-＞0，从而m ＞1． 【答案】（1）解：∵y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小，即对称轴为直线x ＝﹣4，
∴2
44
c b
=-⎧⎪⎨=-⎪⎩-，解得2
16c b =-⎧⎨=-⎩； （2）证明：由题意，抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2， ∵r 是抛物线y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2与x 轴的交点的横坐标， ∴2r 2+16r +2＝0， ∴r 2+8r +1＝0， ∴r 2+1＝﹣8r ∴(r 2+1)2＝(﹣8r )2， ∴r 4+2r 2+1＝64r 2， ∴r 4﹣2r 2+1＝60r 2；
（3）m ＞1正确，理由如下： 由（2）知：r 4﹣2r 2+1＝60r 2；
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∴r 4﹣62r 2+1＝0，
∴r 7﹣62r 5+r 3＝0，
而m ﹣1＝97539521601
r r r r r r r +-++-+-﹣1＝95601r r r +- 由（2）知：r 2+8r +1＝0，
∴8r ＝﹣r 2﹣1，
∵﹣r 2﹣1＜0，
∴8r ＜0，即r ＜0，
∴r 9+60r 5﹣1＜0， ∴95601
r r r +-＞0， 即m ﹣1＞0，
∴m ＞1．
【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x 轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r 和r 9+60r 5﹣1的符号．。