八年级数学人教版(上册)第2课时直角三角形的两个锐角互余
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3.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则
∠1＋∠2＝( C )
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
第3题图
4.如图，CE，BF 是△ABC 的两条高.若∠A＝70°，∠BCE＝ 30°，则∠EBF＝ 20°，∠FBC＝ 40°.
(1)∠ACB＝ 90°.
(2)如图 2，如果 AE 是△ABC 的角平分线，AE 与 CD 相交于点 F，那么∠CFE 与∠CEF 相等吗？请说明理由.
解：∠CFE＝∠CEF， 理由：∵AE 平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE.
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°－(∠CDA＋∠BAE)， ∠CEA＝180°－(∠BCA＋∠CAE)，
易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解 8.如图，已知∠AOD＝30°，点 C 是射线 OD 上的一个动点.在 点 C 的运动过程中，△AOC 恰好是直角三角形，则此时∠A 所有可 能的度数为 60°或90° .
9.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；
③∠A＝90°－∠B；④3∠A＝2∠B＝∠C，其中能确定△ABC 是直
∴∠CEF＝∠DFA． ∵∠DFA＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF.
13.直线 EF，GH 之间有一个 Rt△ABC，其中∠BAC＝90°， ∠ABC＝α.
(1)如图 1，点 A 在直线 EF 上，B，C 在直线 GH 上.若∠α＝60°， ∠FAC＝30°.试说明：EF∥GH.
解：∵∠EAB＝180°－∠BAC－∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC ＝30°，∴∠EAB＝60°.
又∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝∠ABC． ∴EF∥GH.
(2)将△ABC 如图 2 放置，直线 EF∥GH，点 C，B 分别在直线
EF，GH 上，且 BC 平分∠ABH.求∠ECA 的度数.(用含 α 的式子
表示) 解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝α.∴∠ACB＝90°－α. ∵BC 平分∠ABH，∴∠ABC＝∠HBC＝α. ∵EF∥GH，∴∠ECB＝∠HBC＝α. ∴∠ECA＝∠ECB－∠ACB＝α－
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的两个锐角互余
知识点 1 直角三角形的两个锐角互余
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于 50°，则另一个锐角
的度数是( B )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2.如图，AB∥DE，FG⊥BC 于点 F，∠CDE＝40°，则∠FGB ＝( B )
三角形吗？为什么？ 解：△ABC 是直角三角形.理由如下： ∵ED⊥AB， ∴∠ADE＝90°，△ADE 是直角三角形. ∴∠1＋∠A＝90°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠A＝90°. ∴△ABC 是直角三角形.
7.(教材 P17 习题 T10 变式)如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，
解：∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE＝12∠BAC＝35°. ∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝35°＋10°＝45°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴△ABD 为直角三角形. ∴∠B＝90°－∠BAD＝90°－45°＝45°.
12.已知：如图 1，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，∠A＝ ∠DCB．
角三角形的条件有( C )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，将三角形纸片 ABC 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处.若∠A＝24°，则∠EDC ＝ 69 °.
11.如图，在△ABC 中，AE 是角平分线，AD 是高，∠BAC＝70°， ∠EAD＝10°，求∠B 的度数.
(90°－α)＝2α－90°.
(3)在(2)的前提下，直线 CD 平分∠FCA 交直线 GH 于点 D，如 图 3.在 α 取不同数值时，∠BCD 的大小是否发生变化？若不变，求 其值；若变化，请求出变化的范围.
解：不发生变化. 理由：过点 A 作 AM∥GH， ∵EF∥GH，∴AM∥EF∥GH.
CD 于点 E，F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P，试
说明：△EPF 为直角三角形.
解：∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠DFE＝180°. ∵EP 为∠BEF 的平分线，FP 为∠EFD 的平分线， ∴ ∴∠ ∠PPEEFF＝ ＋12∠∠PBFEEF＝，12(∠∠PBFEEF＝＋12∠∠DDFFEE).＝90°. ∴△EPF 为直角三角形.
第4题图
知识点 2 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC 为( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都不对
6.(教材 P14 练习 T2 变式)如图，点 E 是△ABC 中 AC 边上的一
点，过点 E 作 ED⊥AB，垂足为 D．若∠1＝∠2，则△ABC 是直角
∴∠FCA＋∠CAM＝180°，∠MAB＋∠ABH＝180°，∠CBH ＝∠ECB．
∵∠CAM＋∠MAB＝∠BAC＝90°， ∴∠FCA＋∠ABH＝270°. ∵BC 平分∠ABH，CD 平分∠FCA， ∴∠FCD＋∠CBH＝135°. 又∵∠CBH＝∠ECB，∴∠FCD＋∠ECB＝135°. ∴∠BCD＝180°－(∠FCD＋∠ECB)＝45°.
3.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则
∠1＋∠2＝( C )
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
第3题图
4.如图，CE，BF 是△ABC 的两条高.若∠A＝70°，∠BCE＝ 30°，则∠EBF＝ 20°，∠FBC＝ 40°.
(1)∠ACB＝ 90°.
(2)如图 2，如果 AE 是△ABC 的角平分线，AE 与 CD 相交于点 F，那么∠CFE 与∠CEF 相等吗？请说明理由.
解：∠CFE＝∠CEF， 理由：∵AE 平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE.
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°－(∠CDA＋∠BAE)， ∠CEA＝180°－(∠BCA＋∠CAE)，
易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解 8.如图，已知∠AOD＝30°，点 C 是射线 OD 上的一个动点.在 点 C 的运动过程中，△AOC 恰好是直角三角形，则此时∠A 所有可 能的度数为 60°或90° .
9.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；
③∠A＝90°－∠B；④3∠A＝2∠B＝∠C，其中能确定△ABC 是直
∴∠CEF＝∠DFA． ∵∠DFA＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF.
13.直线 EF，GH 之间有一个 Rt△ABC，其中∠BAC＝90°， ∠ABC＝α.
(1)如图 1，点 A 在直线 EF 上，B，C 在直线 GH 上.若∠α＝60°， ∠FAC＝30°.试说明：EF∥GH.
解：∵∠EAB＝180°－∠BAC－∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC ＝30°，∴∠EAB＝60°.
又∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝∠ABC． ∴EF∥GH.
(2)将△ABC 如图 2 放置，直线 EF∥GH，点 C，B 分别在直线
EF，GH 上，且 BC 平分∠ABH.求∠ECA 的度数.(用含 α 的式子
表示) 解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝α.∴∠ACB＝90°－α. ∵BC 平分∠ABH，∴∠ABC＝∠HBC＝α. ∵EF∥GH，∴∠ECB＝∠HBC＝α. ∴∠ECA＝∠ECB－∠ACB＝α－
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的两个锐角互余
知识点 1 直角三角形的两个锐角互余
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于 50°，则另一个锐角
的度数是( B )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2.如图，AB∥DE，FG⊥BC 于点 F，∠CDE＝40°，则∠FGB ＝( B )
三角形吗？为什么？ 解：△ABC 是直角三角形.理由如下： ∵ED⊥AB， ∴∠ADE＝90°，△ADE 是直角三角形. ∴∠1＋∠A＝90°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠A＝90°. ∴△ABC 是直角三角形.
7.(教材 P17 习题 T10 变式)如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，
解：∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE＝12∠BAC＝35°. ∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝35°＋10°＝45°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴△ABD 为直角三角形. ∴∠B＝90°－∠BAD＝90°－45°＝45°.
12.已知：如图 1，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，∠A＝ ∠DCB．
角三角形的条件有( C )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，将三角形纸片 ABC 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处.若∠A＝24°，则∠EDC ＝ 69 °.
11.如图，在△ABC 中，AE 是角平分线，AD 是高，∠BAC＝70°， ∠EAD＝10°，求∠B 的度数.
(90°－α)＝2α－90°.
(3)在(2)的前提下，直线 CD 平分∠FCA 交直线 GH 于点 D，如 图 3.在 α 取不同数值时，∠BCD 的大小是否发生变化？若不变，求 其值；若变化，请求出变化的范围.
解：不发生变化. 理由：过点 A 作 AM∥GH， ∵EF∥GH，∴AM∥EF∥GH.
CD 于点 E，F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P，试
说明：△EPF 为直角三角形.
解：∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠DFE＝180°. ∵EP 为∠BEF 的平分线，FP 为∠EFD 的平分线， ∴ ∴∠ ∠PPEEFF＝ ＋12∠∠PBFEEF＝，12(∠∠PBFEEF＝＋12∠∠DDFFEE).＝90°. ∴△EPF 为直角三角形.
第4题图
知识点 2 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC 为( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都不对
6.(教材 P14 练习 T2 变式)如图，点 E 是△ABC 中 AC 边上的一
点，过点 E 作 ED⊥AB，垂足为 D．若∠1＝∠2，则△ABC 是直角
∴∠FCA＋∠CAM＝180°，∠MAB＋∠ABH＝180°，∠CBH ＝∠ECB．
∵∠CAM＋∠MAB＝∠BAC＝90°， ∴∠FCA＋∠ABH＝270°. ∵BC 平分∠ABH，CD 平分∠FCA， ∴∠FCD＋∠CBH＝135°. 又∵∠CBH＝∠ECB，∴∠FCD＋∠ECB＝135°. ∴∠BCD＝180°－(∠FCD＋∠ECB)＝45°.