一阶直线双倒立摆建模与模型分析

图 2-2
Fx1 和 Fx 2 分别为左右两个摆杆对小车作用力
的水平分量. 根据牛顿第二定律建立系统的动力学方程：
F Fx1 Fx 2 M x
2.1.2 摆杆受力分析

（2-1）
由于左右两个摆杆的受力情况大致相同，以左 杆为例进行分析，受力情况如图 1-3
图 2-1 忽略空气阻力和摩擦力，可将一阶直线双倒立 摆系统抽象成小车和两个匀质刚性杆组成的系统。 还需要设立如下的参数定义：
（2-15） 其中，u 表示系统控制输入向量，x 表示系统 状态变量，y 表示系统的输出向量，A 表示系统的 状态矩阵，B 表示系统控制输入矩阵，C 表示系统 输出观测矩阵，D 表示系统输入输出矩阵。 则由方程组（2-14）可解得


模型的状态空间表达式。
3 一阶直线双倒立摆模型验证
3.1 模型封装 模块封装是复杂系统建模和仿真时常用的方 法之一。采用模块封装能使系统的结构更加清晰、 简洁，提高模型的通用性。它可以存入到自己的模 块库中，使用时就可以和 Simulink 中其他的标准 模块一样，只需在弹出的对话框中输入具体的参数 值即可，而不需考虑它是如何实现的。由于内部结 构被封装起来了，这样可以避免一些误操作，使用 起来更方便。 以小车的外力 F 作为输入信号，位移 x、两个 摆杆的摆角
机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途， 如机器人行走过程中的平衡控制、钻井平台的稳定 控制、火箭发射中的垂直度控制、太空探测器着陆 控制和测量仪器展开稳定控制等。因此倒立摆提供 了一个从控制理论通往实践的桥梁，学习对倒立摆 的控制对我们理解控制理论有很好的启发作用。 本论文中重点研究的关键问题是一阶直线双 倒立摆系统的建模和模型验证。建模是为了对系统 进行简化，方便模型的仿真，仿真验证是为了更好 地对模型进行分析。在建模中，首先需要对倒立摆 系统的受力进行分析，主要是运用力学知识推到出 系统状态空间表达式的模型 ,这就建立了系统的数 学模型。其次，为了方便对系统的研究还需要对系 统模型进行线性化处理和封装，这就完成了从数学 模型到仿真模型的转化。最后，再利用 MATLAB 中 仿真环境对系统的精确模型和线性化后的模型进
东南大学本科生科技论文
一阶直线双倒立摆11112 号 邮箱：305172pddm@）
摘要：倒立摆系统是一个经典的“快速、多变量、非线性、自不稳定系统”，研究倒立摆的精确控制对于学生理解自动控制 有很好的启发作用， 同时在工业上也有很高的工程价值。 本文对一阶直线双倒立摆系统模型进行了建模、 线性化处理、 封装、 和仿真验证，并对仿真运行的结果进行分析。利用牛顿力学知识建立了精确的数学模型并进行了线性化的处理，得到了系统 相应的状态空间表达式。 再利用 MATLAB 中 SIMULINK 仿真环境对系统的精确模型和线性化后的模型进行了对比分析的仿真验 证。仿真结果表明实现了系统的稳定性控制，说明了模型的有效性。 证。仿真结果表明实现了系统的稳定性控制，说明了 关键词：双倒立摆； 建模； 封装； 线性化； 仿真

dv y1 dt
L1 1 sin 1 L1 cos 1 1

2
（2-6）
g sin 2
左杆所受竖直方向合力为
F1 m1 g Fy1 m1 ( L1 1 sin 1 L1 cos 1 1 )
（2-7） 左杆的转动惯量为

2
由上述双倒立摆数学模型的微分方程可知该 系统是明显的非线性系统。为便于分析和计算，需 要将系统 在工作点(


L1 ，L2 ——两个摆杆质心到转轴点的距离,
1 ， 2 ——两个摆杆与竖直方向的夹角,
J1 ，J 2 ——两个摆杆的转动惯量。
2.1.1 对小车受力分析 对小车进行受力分析，受力情况如图 1-2。
vx1 x L1 1 cos 1
B 点在 x 轴方向的加速度为
（2-2）
Modeling and Simulation of a two-inverted Pendulum System
Deng Pan Jun Peng Luo
ABSTRACT: The inverted pendulum system is characterized as a fast multi-variable nonlinear essentially unsteady system. The research on precise control of the inverted pendulum can not only help students understand automatic control, but also be of great practical engineering value for control problems of complicated industrial object. This dissertation is mainly about the how the model of the two-inverted pendulum is established by linearizing, packaged, verified and simulated. Then the results of running are analyzed and some related conclusions are found. The precise mathematical model of the two-inverted pendulum is established by using the knowledge of Newtonian mechanics, and the system is dealt with by linearization, getting the system state space expression of the corresponding. Then the precise and linearized system model is simulated by SIMULINK in MATLAB program. The conditions that the linearized first-order two-inverted pendulum can be controlled are found through a lot of simulated tests. KEY WORDS： two-inverted pendulum; dynamic model; package; linearization; simulation
1 引言
倒立摆是一个经典的“复杂的、非线性、多变 量、快速的、自然不稳定系统”。它的控制问题就 是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有 大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的 位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制 等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本 身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量的非线性 系统。倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制 理论很有效的实验设备。通过倒立摆这样一个典型 的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理 多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从 中找出最优秀的控制方法。由于控制理论的广泛应 用，由此系统研究产生的控制方法在军工、航天、
F ( M m1 m2 ) x m1 L1 (1 cos 1 sin 1 1 )
2
左边摆杆杆所受水平方向合力为
Fx1 m1 ( x L1 1 cos 1 L1 sin 1 1 ) （2-4）
类似的，可得 B 点相对于地面的速度在 y 轴方 向的分量为
（2-13）中，则进行线性化处理后的微分方程组为
F ( M m1 m2 ) x m1 L1 1 m2 L2 2 g1 4 L1 1 x 3 4 L2 2 x 3
（2-14）



F2 m2 g Fy 2 m2 ( L2 2 sin 2 L2 cos 2 2 )
（2-9）
(
cos 2 1
sin 2 2
同理，对于右杆，可得方程组 右杆所受水平方向合力为 将上述条件代入一阶双倒立摆的微分方程组
2
Fx 2 m2 ( x L2 2 cos 2 L2 sin 2 2 )
（2-10） 右杆所受竖直方向合力为
2
xF
3m1 g1 4 4 M m1 m2 4 M m1 m2 3m2 g 2 4 M m1 m2
1
、
2 作为输出响应，采用 MATLAB 中
1 1

3 g (4 M 4m1 m2 ) 9m2 g 2 4 L1 (4 M m1 m2 ) 4 L1 (4 M m1 m2 )
1
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行了对比分析的仿真验证。 本文将运用机理建模的方法，仿照根据教材中 单倒立摆系统的动力学方程，得到一阶直线双倒立 摆系统的动力学模型。再应用必要条件法，采用 MATLAB 进行仿真验证， 看它是否具备正确模型所应 该具备的性质。
2 一阶直线双倒立摆建模
2.1 一阶直线双倒立摆模型的建立 一阶直线双倒立摆的建模原理与教材中单倒 立摆的建模原理类似，只是在单倒立摆系统的小车 上多加了一个摆杆，可以利用叠加原理，在单倒立 摆的基础上建立起一阶双倒立摆的数学模型。一阶 直线双倒立摆系统如下图 1-1 所示。
2
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2 dvx1 x L1 1 cos 1 L1 sin 1 1 dt
整理方程 （2-1）、 （2-4） 、（2-7） 、（2-9）、 （2-3） （2-10）、（2-11）、（2-12）中，消去中间变量， 整理成只含有和 F 以及 1 、 1 、 x 及其导数的形 式，即得到其基本模型： 2.1 双倒立摆系统数学模型的线性化
的 Simulink 工具箱以及模块封装技术对双倒立摆 系统的模型进行封装。一阶直线双倒立摆系统的模 型进行封装处理后的模块如图 3-1 所示。



2
v y1 L1 1 sin 1
B 点在 y 轴方向的加速度为
（2-5）
m2 L2 ( 2 cos 2 sin 2 2 )

2
（2-13）
g sin 1 4 L1 1 x cos 1 3 4 L2 2 x cos 2 3
（2-11） 右杆绕质心的转动方程为
g 2
1 Fy 2 L2 sin 2 Fx 2 L2 cos 2 m2 L2 2 2 3 （2-12）
由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空 间方程可写成如下形式：
3
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x Ax Bu y Cx Du
1 J1 m1 L12 3
由此可得左杆绕质心 B 的转动方程为
| 1 | 10 , | 2 | 10 )进行线性化
（2-8）
处理。各参数计算可作如下近似处理：
(
d1 2 ) 0 dt
d2 2 ) 0 dt
cos 1 1
sin 1 1
1 Fy1 L1 sin 1 Fx1 L1 cos 1 m1 L12 1 3
M ——小车的质量， F ——加在小车上的外力, x ——小车的位置 ,
m1 \，m2
——两个摆杆的质量,
图 2-3
F 和分别为小车对摆杆作用力的水平分量和
竖直分量 左杆的质心 B 点相对于 A 点转动，相对线速度 的大小为 L1 1 , A 点本身随小车以速度 x 运动， B 点相对于地面的速度在 x 轴方向的分量为