锐角三角比(沪教版)
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锐角三角比
一、核心知识点
1、锐角三角函数的概念
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边 BC 记为 a，叫做∠A 的对边，也叫
做∠B 的邻边，∠B 所对的边 AC 记为 b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角 C 所对的
边 AB 记为 c，叫做斜边．
B
c a
A
C
b
锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠A
3、如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC= ． （1）求边 AC 的长； （2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值．
7/8
4、如图 1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB，P 为立柱上的滑动调节点，伞体 的截面示意图为△PDE，F 为 PD 的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点 P 位 于初始位置 P0 时，点 D 与 C 重合（图 2）．根据生活经验，当太阳光线与 PE 垂直时，遮阳 效果最佳．
A
D
30°
45°
B
E
C
5/8
6、如图，ABCD 为正方形，E 为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕为
MN，若 tan AEN 1 , DC CE 10 .
3
（1）求△ANE 的面积；（2）求 sin∠ENB 的值.
A
D
M
N
B
E
C
第25题图
7、如图，直角坐标系中，点 AB 交 轴于点 D，∠AOB＝90°。
.
（二）选择题
1、在 RtABC 中，∠ C 900 ， AB 2 ， AC 1，则 sin B 的值是（ ）
（A） 1 ； 2
（B） 2 ； 2
（C） 3 ； 2
（D）2.
2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为 a，已知∠A 和边 a，求边 c，则下列关系
中正确的是 (
4、在 RtABC 中，∠ C 90 ， sin B 1 ，则 tan A 的值为……（ ） 3
（A） 3 ； 11
（B） 3 ； 3
（C） 2 2 ；
（D） 10 10 . 3
5、已知：
是△ABC 的三边，并且关于 的方程
有两个相等实根，则△ABC 形状是（ ）。 （A） 锐角三角形；（B）直角三角形；（C）钝角三角形；（D）不能确定。
的正弦，记作
sinA，即
sin
A
A的对边 斜边
a c
；
锐角
A
的邻边与斜边的比叫做∠A
的余弦，记作
cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
；
锐角
A
的对边与邻边的比叫做∠A
的正切，记作
tanA，即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
；
锐角
A
的邻边与对边的比叫做∠A
的余切，记作
cotA，即 cot
毯，地毯的长度是
米（ 3 =1.732，精确到 0.1 米）.
3、 为锐角，且关于 的方程
有两个相等的实数根，则 为
____________度。
4、在 Rt△ABC 中，两条直角边之比为 7∶24，则最小角的正弦值为____________。
5、矩形一边长为 5，两对角线夹角为 60°，则对角线长为
)
（A） c asin A ； （B） c a ； （C）a=btanA； （D） c a ．
sin A
cos A
3、在△ABC 中，若 cos A 2 ， tan B 3 ，则这个三角形一定是 （ ）
2
（A）锐角三角形; （B） 直角三角形; （C）钝角三角形; （C）等腰三角形.
1/8
(1)互余关系：
，
；
tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.
(2)平方关系：
；
(3)倒数关系：
或
；
(4)商的关系： tan A sin A , cot A cos A
cos A
sin A
4、常用解题方法和数学思想提示：数形结合、代数换元、整体思想（三角函数的计算
4/8
4、如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC，D 为垂足，sin ∠DBC=2，
7
（1）求 面积。
的值； （2）如果△ABC 周长 18，求△ABC
5、某风景区内有一古塔 AB，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是 30°时， 塔在建筑物的墙上留下了高 3 米的影子 CD；而当光线与地面的夹角是 45°时，塔尖 A 在地 面上的影子 E 与墙角 C 有 15 米的距离（B、E、C 在一条直线上），求塔 AB 的高度（结果保 留根号）．
需要多做习题强化记忆）
二、典型例题
1、在 Rt△ABC 中， ∠C = 90° ，若 a=3，b=4，则 c =
，
sinA =
， cosA =
， sinB =
， cosB =
．
2、求下列各式的值： (1) sin30°-2cos60°+cot45°；
B c
a
A
C
b
(2) tan 30° sin 30° ； cot 45° tan 60°
A
A的邻边 A的对边
b a
.
同理 sin
B
B的对边 斜边
b c
；ห้องสมุดไป่ตู้
cos
B
B的邻边 斜边
a c
；
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
；
cot
B
B的邻边 B的对边
a b
2、特殊角的三角函数值
锐角
cot
30°
45°
1
1
60°
3、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°．
在第 3 象限，点
（1）当 ，求
时，求经过 A，B 的一次函数解析式；（2）当 的值。
在第 4 象限，线段 时，设∠AOD＝
6/8
四、中考链接 1、如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
2、计算： 18 ( cot 45)2018 2 3 ( 3)0 (sin 30)1 ．
3/8
（三）解答题
1、计算： tan 45 cot 30 . cot 45 tan 60
2、如图，将正方形 ABCD 的边 BC 延长到点 E，使 CE=AC，AE 与 CD 相交于点 F. 求∠E 的余切值.
A
D
F
B
C
E
21 题图
3、如图，△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝4＋2√3，求边 AB、AC 长。
(3) (1
3)0
|
1
sin
30°
|
1 2
1
．
3、求锐角 ：
2/8
(1)
求锐角 ； (2)已知
求锐角 ．
三、同步练习
（一）填空题
1、在 RtABC 中，∠ C 90 ，∠ A =30°，AC=3,则 BC=
.
2、一个楼梯的面与地面所成的坡角是 30，两层楼之间的层高 3 米，若在楼梯上铺地
一、核心知识点
1、锐角三角函数的概念
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边 BC 记为 a，叫做∠A 的对边，也叫
做∠B 的邻边，∠B 所对的边 AC 记为 b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角 C 所对的
边 AB 记为 c，叫做斜边．
B
c a
A
C
b
锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠A
3、如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC= ． （1）求边 AC 的长； （2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值．
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4、如图 1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB，P 为立柱上的滑动调节点，伞体 的截面示意图为△PDE，F 为 PD 的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点 P 位 于初始位置 P0 时，点 D 与 C 重合（图 2）．根据生活经验，当太阳光线与 PE 垂直时，遮阳 效果最佳．
A
D
30°
45°
B
E
C
5/8
6、如图，ABCD 为正方形，E 为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕为
MN，若 tan AEN 1 , DC CE 10 .
3
（1）求△ANE 的面积；（2）求 sin∠ENB 的值.
A
D
M
N
B
E
C
第25题图
7、如图，直角坐标系中，点 AB 交 轴于点 D，∠AOB＝90°。
.
（二）选择题
1、在 RtABC 中，∠ C 900 ， AB 2 ， AC 1，则 sin B 的值是（ ）
（A） 1 ； 2
（B） 2 ； 2
（C） 3 ； 2
（D）2.
2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为 a，已知∠A 和边 a，求边 c，则下列关系
中正确的是 (
4、在 RtABC 中，∠ C 90 ， sin B 1 ，则 tan A 的值为……（ ） 3
（A） 3 ； 11
（B） 3 ； 3
（C） 2 2 ；
（D） 10 10 . 3
5、已知：
是△ABC 的三边，并且关于 的方程
有两个相等实根，则△ABC 形状是（ ）。 （A） 锐角三角形；（B）直角三角形；（C）钝角三角形；（D）不能确定。
的正弦，记作
sinA，即
sin
A
A的对边 斜边
a c
；
锐角
A
的邻边与斜边的比叫做∠A
的余弦，记作
cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
；
锐角
A
的对边与邻边的比叫做∠A
的正切，记作
tanA，即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
；
锐角
A
的邻边与对边的比叫做∠A
的余切，记作
cotA，即 cot
毯，地毯的长度是
米（ 3 =1.732，精确到 0.1 米）.
3、 为锐角，且关于 的方程
有两个相等的实数根，则 为
____________度。
4、在 Rt△ABC 中，两条直角边之比为 7∶24，则最小角的正弦值为____________。
5、矩形一边长为 5，两对角线夹角为 60°，则对角线长为
)
（A） c asin A ； （B） c a ； （C）a=btanA； （D） c a ．
sin A
cos A
3、在△ABC 中，若 cos A 2 ， tan B 3 ，则这个三角形一定是 （ ）
2
（A）锐角三角形; （B） 直角三角形; （C）钝角三角形; （C）等腰三角形.
1/8
(1)互余关系：
，
；
tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.
(2)平方关系：
；
(3)倒数关系：
或
；
(4)商的关系： tan A sin A , cot A cos A
cos A
sin A
4、常用解题方法和数学思想提示：数形结合、代数换元、整体思想（三角函数的计算
4/8
4、如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC，D 为垂足，sin ∠DBC=2，
7
（1）求 面积。
的值； （2）如果△ABC 周长 18，求△ABC
5、某风景区内有一古塔 AB，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是 30°时， 塔在建筑物的墙上留下了高 3 米的影子 CD；而当光线与地面的夹角是 45°时，塔尖 A 在地 面上的影子 E 与墙角 C 有 15 米的距离（B、E、C 在一条直线上），求塔 AB 的高度（结果保 留根号）．
需要多做习题强化记忆）
二、典型例题
1、在 Rt△ABC 中， ∠C = 90° ，若 a=3，b=4，则 c =
，
sinA =
， cosA =
， sinB =
， cosB =
．
2、求下列各式的值： (1) sin30°-2cos60°+cot45°；
B c
a
A
C
b
(2) tan 30° sin 30° ； cot 45° tan 60°
A
A的邻边 A的对边
b a
.
同理 sin
B
B的对边 斜边
b c
；ห้องสมุดไป่ตู้
cos
B
B的邻边 斜边
a c
；
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
；
cot
B
B的邻边 B的对边
a b
2、特殊角的三角函数值
锐角
cot
30°
45°
1
1
60°
3、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°．
在第 3 象限，点
（1）当 ，求
时，求经过 A，B 的一次函数解析式；（2）当 的值。
在第 4 象限，线段 时，设∠AOD＝
6/8
四、中考链接 1、如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
2、计算： 18 ( cot 45)2018 2 3 ( 3)0 (sin 30)1 ．
3/8
（三）解答题
1、计算： tan 45 cot 30 . cot 45 tan 60
2、如图，将正方形 ABCD 的边 BC 延长到点 E，使 CE=AC，AE 与 CD 相交于点 F. 求∠E 的余切值.
A
D
F
B
C
E
21 题图
3、如图，△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝4＋2√3，求边 AB、AC 长。
(3) (1
3)0
|
1
sin
30°
|
1 2
1
．
3、求锐角 ：
2/8
(1)
求锐角 ； (2)已知
求锐角 ．
三、同步练习
（一）填空题
1、在 RtABC 中，∠ C 90 ，∠ A =30°，AC=3,则 BC=
.
2、一个楼梯的面与地面所成的坡角是 30，两层楼之间的层高 3 米，若在楼梯上铺地