人教版数学高中必修一《用二分法求方程的近似解》教案

3.1.2用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.
知识点一二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考所有的函数都可以用二分法求零点吗？
答用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值. 知识点二用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
题型一二分法概念的理解
例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()
答案 A
解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.
反思与感悟判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.
跟踪训练1下列函数中，能用二分法求零点的为()
答案 B
解析函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.
题型二用二分法求方程的近似解
例2(1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________.
解析由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，
所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.
(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).
解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，
f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
反思与感悟利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.
跟踪训练2用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
解令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，
f(2)＝22＋2－4＞0.
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.
忽视给定区间造成失误
例3函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
错解由f(x)＝2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C.
正解前同错解得x1＝－3，x2＝1.
因为－3∉[－1,2]，1∈[－1,2]，
所以f(x)在[－1,2]上只有一个零点，故选B.
纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键.
忽视二次项系数为零致误
例4 已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1，若f (x )的图象与x 轴只有一个交点，求m 值. 错解 ∵f (x )的图象与x 轴只有一个交点，
∴Δ＝0，即16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.
∴当m ＝1
3时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.
正解 当m －1＝0，即m ＝1时，f (x )＝－4x ＋1， 满足函数图象与x 轴只有一个交点.
当m －1≠0，即m ≠1时，函数图象与x 轴只有一个交点等价于方程2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝1
3.
所以当m ＝1或m ＝1
3
时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.
纠错心得 当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形.
跟踪训练3 已知方程mx 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)
解析 设f (x )＝mx 2－x －1，因为方程mx 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解， 所以当m ＝0时，方程－x －1＝0在(0,1)内无解， 当m ≠0时，由f (0)f (1)<0，即－(m －1－1)<0，解得m >2.
1.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( )
答案 B
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数f(x)一定存在零点的区间是()
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3，＋∞)
答案 B
3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()
A.[－2,1]
B.[－1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
答案 A
解析∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.
4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为()
A.(1.25,1.5)
B.(1,1.25)
C.(1.5,2)
D.不能确定
答案 A
解析由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).
5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.
答案(2,2.5)
解析f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5).
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
一、选择题
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()
A.x1
B.x2
C.x3
D.x4
答案 C
解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.
而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.
2.用二分法求函数零点的近似值适合于()
A.变号零点
B.不变号零点
C.都适合
D.都不适合
答案 A
3.下列关于二分法的叙述，正确的是()
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D.只有求函数零点时才用二分法
答案 B
解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错.求方程的近似解也可以用二分法，故D错.
4.为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(f(x)的值精确到0.01)如下表如示：
A.(0.6,1.0)
B.(1.4,1.8)
C.(1.8,2.2)
D.(2.6,3.0)
答案 C
解析 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.25)＜0， ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选C.
5.设方程2x ＋2x ＝10的根为β，则β属于( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C
解析 设f (x )＝2x ＋2x －10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点.f (0)＝－9，f (1)＝－6，
f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0. ∴β∈(2,3).
6.函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x 3＋x 2－A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 答案 C
解析 ∵f (1.437 5)＝0.162，f (1.406 25)＝－0.054， ∴f (1.437 5)·f (1.406 25)＜0，
即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内. 又∵方程的解精确到0.1， ∴可取方程近似解为1.4. 二、填空题
7.在用二分法求方程f (x )＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1). 答案 0.75
解析 0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.
8.用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝3
2，则下一
个含根的区间是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫
32，2
解析 令f (x )＝ln x －2＋x ， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，
f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12
<0， ∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2.
9.用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01. 答案 7
解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01， ∵区间(2,3)的长度为1， ∴1
2
n <0.01，即2n >100. 注意到26＝64<100,27＝128>100. 故要经过7次二分后精确度能达到0.01.
10.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________. 答案 (0,0.5)，f (0.25)
解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由f (0)＜0，f (0.5)＞0，知x 0∈(0,0.5).
再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0更准确的位置. 三、解答题
11.用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1). 解 f (1)＝－1<0，f (1.5)＝278－32－1＝7
8>0，
f (1.25)＝12564－54－1<2－54－1＝－1
4<0，
故零点在(1.25,1.5)内，此时0.25>0.1； f (1.375)>0，所以零点在区间(1.25,1.375)内， 此时0.125>0.1；
又f (1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时0.062 5<0.1， 故f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点是x ＝1.312 5. 12.求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1). 解 令f (x )＝ln x ＋x －3，求函数f (x )＝0在(2,3)内的零点.
∵f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
∵2.25－2.187 5
∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.
13.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).
解设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.
经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1,2]内存在零点，
即方程2x＋3x－7＝0在[1,2]内有解.
取[1,2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，
又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在[1,1.5]内有解.
如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：
由表可以看出，区间 1.4，
所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点.。