山东省莱芜市2015年中考数学真题试题(含答案)

中考衣食住用行
衣：中考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！
住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

莱芜市2015年初中学业水平测试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得3分，共36分。

）
1.31
-
的倒数是
A ．3-
B ．31
-
C ．31
D ．3
2.下列计算结果正确的是
A ．923)(a a =-
B ．632a a a =⋅
C ．22)21(21-=--
D ．1)2160(cos 0=-ο
3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A ．
B ．
C ．4.2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为 A ．3.1×106元 B ．3.11×104元 C ．3.1×104元
D ．3.10×105元 5.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是
A ．0>ab
B ．0>-b a
C ．0>+b a
D ．0||||>-b a
6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是
A. B. C. D.
7.已知反比例函数
x y 2
-
=，下列结论不正确的是
A ．图象必经过点(-1,2)
B ．y 随x 的增大而增大
C ．图象在第二、四象限内
D ．若x ＞1，则y ＞-2
8.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15
B A （第5题图）
（第6题图）
9.二次函数
c bx ax y ++=2
的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10.已知⎩⎨
⎧==12
y x 是二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为 A ．4 B ．2 C ． 2 D ． ±2
11.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是
A ．2
B ． 3
C ．1
D ．1
2
12.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）
随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下
列结论不正确的是 A ．甲先到达终点
B ．前30分钟，甲在乙的前面
C ．第48分钟时，两人第一次相遇
D ．这次比赛的全程是28千米
第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4
分，共20分）
13.分解因式：=-+-x x x 2
3
2 ．
14.有一组数据如下：2，3，a ，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ． 15.某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元． 16.在平面直角坐标系中，以点)3,4(A 、)0,0(B 、)0,8(C 为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△111C B A （点111C B A 、、分别为点C B A 、、的对应点），然后以点1C 为中心将△111C B A 顺时针旋转︒90，得到△122C B A （点22B A 、分别是点11B A 、的对应点），则点2A 的坐标是 .
17.已知：
3212323=⨯⨯=
C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，15432134564
6=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算=
6
10C ．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
（第12题图）
乙 甲
18.（本题满分6分）
先化简，再求值：
24)2122(+-÷
+-
-x x
x x ，其中34 +-=x .
19.（本题满分8分） 2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播.
小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是
他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A ：不了解，B ：一般了解，C ：了解较多，D ：熟悉）.请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生；
（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？
20.（本题满分9分） 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进
行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，
仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈）
21.（本题满分9分）
在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D.
得分 评卷人
得分
评卷人
得分 评卷人
得分 评卷人
人数 5
10 15 20 25
（第19题图） A
10% B 30% D C B A
C
（第20题图）
（1）求线段AD 的长度；
（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.
22.（本题满分10分） 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620
本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书
角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1
）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
23.（本题满分10分） 在中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边
形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE.
（1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD ，四边形EGFH 的形状是 ；
B （第21题图）
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.
24.（本题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
c bx ax y ++=2
交x 轴于)0
,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧EF 的长；
（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.
（第24题图）
H
G F E O D C B A 图① H G F E O D C B A 图② A B C D O E F G H 图③ A B C D O E F G H 图④ （第23题图）
莱芜市2015年初中学业水平测试 数 学 试 题 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
B
C
D
D
B
C
D
B
A
D
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 2
)1(--x x ； 14. 2； 15. 220； 16.)7,11( ； 17.210 三、解答题（本大题共7个小题，共64分） 18.（本小题满分6分）
解：原式=
24212)2)(2(+-÷
+-+-x x
x x x ………………………1分 =
x x x x -+⨯+-42
2162 ………………………2分 =)
42
(2)4)(4(-+-⨯+-+x x x x x ………………………4分
=4--x ………………………5分 当34+-=x 时， 原式=
4)34(-+--=434--=3-． ………………………6分
19.（本小题满分8分） 解：（1）5÷10％=50（人） ………………………2分 （2）见右图 ………………………4分 （3）360°×5020=144° ………………………6分
（4）
51502015550=
---=
P ． ………………………8分
20.（本小题满分9分） 解：过A 作AD ⊥CB ，垂足为点D ． ………………………1分 在Rt △ADC 中，∵CD=36，∠CAD=60°．
∴AD=3
12336
60tan ==︒CD ≈20.76． ……5分 在Rt △ADB 中，∵AD ≈20.76，∠BAD=37°．
∴BD=ο
37tan ⨯AD ≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． ………8分
人数
5 10 15 20
25
B A
C D
答：气球应至少再上升15.6米． …………………………9分 21.（本小题满分9分）
解：（1）在Rt △ACB 中，∵AC=3cm ，BC=4cm ，∠ACB=90°，∴AB=5cm ． ……1分 连结CD ，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°． ∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ．
∴AC AD
AB AC =
，∴
592==AB AC AD ． …………………………4分 （2）当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切．
………………
5分
证明：连结
OD ，∵DE
是Rt
△ADC 的中线．
∴ED=EC ，∴∠EDC=∠ECD ． ∵OC=OD ，∴∠ODC =∠OCD ．7分 ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．
∴ED 与⊙O 相切． …………………………9分 22.（本小题满分10分）
解：（1）设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30-x ）个． ………………1分
由题意得⎩
⎨
⎧≤-+≤-+162030605019003030
80）（）（x x x x …………………………3分
解这个不等式组得18≤x ≤20．
由于x 只能取整数，∴x 的取值是18，19，20． …………………………5分 当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．……7分
（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，
最低费用是860×18+570×12=22320（元）． …………………………10分 方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）； ②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）； ③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）
故方案一费用最低，最低费用是22320元． …………………………10分 23.（本小题满分10分）
解：（1）四边形EGFH 是平行四边形． …………………………1分 的对角线AC 、BD 交于点O ． ∴点O 是的对称中心． ∴EO=FO ，GO=HO ．
∴四边形EGFH 是平行四边形． …………………………4分 （2）菱形． …………………………5分 （3）菱形． …………………………6分 （4）四边形EGFH 是正方形． …………………………7分 ∵AC=BD ，∴是矩形． 又∵AC ⊥BD ， ∴是菱形．∴是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC ．∵EF ⊥GH ，∴∠GOF=90°．
∴∠BOG=∠COF ．∴△BOG ≌△COF ．∴OG=OF ，∴GH=EF ． …………9分
B
由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，又∵EF ⊥GH ，EF=GH.
∴四边形EGFH 是正方形． ……………10分 24. （本小题满分12分）
解：（1）∵抛物线
c bx ax y ++=2
经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪
⎨⎧=-==3233463
c b a .
∴抛物线的解析式为：
32334
632+-=
x x y . …………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是4=x .把x=4代入y=2x 得y=8，∴点D 的坐标为（4,8）． ∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分
连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ．
在Rt △MFD 中，FD=8，MD=4．∴cos ∠MDF=21
．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分
∴劣弧EF 的长为：π
=⨯π⨯316
8180
120． …………………………7分 （3）设直线AC 的解析式为y=kx+b. ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .
∴⎩⎨
⎧==+3202b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323
b k .∴直线AC 的解析式为：
323+-=x y
设点
)0)(32334
63,
(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N ，则点N 坐标为
)323,(+-m m .∵GN PN S S GNA PNA ::=∆∆.
∴①若PN ︰GN=1︰2，则PG ︰GN=3︰2，PG=23
GN. 即32334632+-m m =）
（32323+-m .
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时，
3
2
3
3
4
6
3
2+
-m
m
=
3
2
15
.
∴此时点P的坐标为
)3
2
15
,3
(-
. …………………………10分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即
3
2
3
3
4
6
3
2+
-m
m
=）
（3
2
3
3+
-m.
解得：
12
1
-
=
m，2
2
=
m（舍去）.当12
1
-
=
m时，
3
2
3
3
4
6
3
2+
-m
m
=3
42.
∴此时点P的坐标为
)3
42
,
12
(-.
综上所述，当点P坐标为
)3
2
15
,3
(-
或
)3
42
,
12
(-时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2
两部分．…………………12分。