重庆市綦江县2019-2020学年高二下学期期末2份数学质量检测试题

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一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若，，，则的大小关系为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图1是把二进制数
(2)
11111化为十制数的一个程序框图, 则判断框内应填入的条件是( )
A . 5
i> B . 5
i≤ C . 4
i> D . 4
i≤
3．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。

丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．对于实数a，b，则“20192019
log log
a b
=”是“20192019
a b
=”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知集合{|3}
M y y x
==-，{|6}
N x x
=<，则M N=( )
A．ϕB．(0,6)C．[0,6)D．[3,6)
6．已知()
f x是定义在R上的奇函数，且满足()(2)
f x f x
=-，当[]
0,1
x∈时，()41
x
f x=-，则在()
1,3上，()1
f x≤的解集是（）
A．
3
(1,]
2
B．
35
,
22
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．
3
[,3)
2
D．[2,3)
7．函数()()
sin0,
2
f x A x A
π
ωϕϕ
⎛⎫
=+><
⎪
⎝⎭
的图象如图所示，为了得到()
f x的图象，则只要将()cos2
g x x
=的图象（）
A．向左平移
6
π
个单位长度B．向右平移
6
π
个单位长度
否
1,1
s i
==12
s s
=+*1
i i=+
开始
是
C ．向左平移
12
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度 8．双曲线2
212
x y -=的渐近线方程是
A ．12
y x =±
B ．22
y x =±
C ．2y x =±
D ．2y x =±
9．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )
A ．397
B ．398
C ．399
D ．400
10．若22,
3
P π⎛⎫ ⎪⎝
⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,
,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
---- ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．已知1cos 3α=
，2π(π)α∈，
，则cos 2
α
等于( ) A 6
B ．6-
C 3
D ．312．已知具有线性相关关系的变量x 、y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =⋅⋅⋅，回归直线方程为
1
2y x a =
+，若()1286,2OA OA OA ++⋅⋅⋅+=，（O 为原点），则a =（ ） A ．14 B ．14- C ．18 D ．18-
二、填空题：本题共4小题
13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x （元） 4 5 6 7 8 9 销量y （件） 90
84
83
80
75
68
由表中数据，求得线性回归方程为4y x a =-+，则实数a =______.
14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．
15．若x R ∀∈，210mx mx ++>，则实数m 的取值范围为__________． 16．函数()()lgsin cos f x x =的定义域为_______________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，PA ⊥底面,,ABCD PA AB =点E 是PB 的中点．
(Ⅰ)证明：PC AE ⊥；
(Ⅱ)若1,3,AB AD ==且PA 与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值． 18．袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率： （1）三次颜色各不相同； （2）三次颜色不全相同； （3）三次取出的球无红色或黄色．
19．（6分）等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且
226b S =,238b S +=．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求
12111
n
S S S ++⋯+． 20．（6分）已知向量1
()(32)2
a cosx
b sinx cos x x R ==∈，，，，，设函数•f x a b =（） （1）求()f x 的最小正周期 （2）求函数()f x 的单调递减区间 （3）求()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值 21．（6分）已知函数()231f x x x =-++. （1）解不等式()9f x ≤；
（2）设()333h x x a x =-++，若对任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12h x f x =成立，求a 的取值范围.
22．（8分）已知函数22
()(2)ln (21)(1)f x x x x a x a x b =+-+-++
（1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求b-a 的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解. 【详解】 因为
，所以
.
故选：D 【点睛】
本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．C 【解析】略 3．C 【解析】 【分析】
通过假设法来进行判断。

【详解】
假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；
假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；
假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；
假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。

本题选C 。

【点睛】
本题考查了推理能力。

解决此类问题的基本方法就是假设法。

4．A 【解析】 【分析】
先判断20192019log log a b =和 20192019a b =成立的条件，然后根据充分性和必要性的定义可以选出正确答案. 【详解】
20192019log log a b =成立时，需要0a b =>；20192019a b =成立时，需要a b =，显然由20192019log log a b =能推出20192019a b =，但由20192019a b =不一定能推出
20192019log log a b =，故“20192019log log a b =”是“20192019a b =”的充分不必要条件，故本题选A.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件的判断，掌握对数的真数大于零这个知识点是解题的关键. 5．C 【解析】 【分析】
先求出集合M ，由此能求出M∩N ． 【详解】
{|{|0}M y y y y ===≥
则M
N =[0,6)
故选：C 【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．C 【解析】 【分析】
首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线1y =下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可. 【详解】
函数满足()()2f x f x =-，则函数关于直线1x =对称， 结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：
()1f x ≤的解集即函数位于直线1y =下方点的横坐标，
当[]0,1x ∈时，由411x -=可得12
x =
， 结合()()2f x f x =-可得函数()f x 与函数1y =交点的横坐标为32
x =， 据此可得：()1f x ≤的解集是3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
本题选择C 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】 【分析】
先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求ϕ与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果． 【详解】
由题意，函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象， 可得11,4
312
4
A T π
π
π
==
-
=
，即T π=，所以2ω=，
再根据五点法作图，可得212
2
π
π
ϕ⨯
+=
，求得3
π
ϕ=
，
故()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
． 函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位，可得sin[2()]sin(2)1232
y x x πππ
=+
+=+ cos2x =的图象，
则只要将()cos2g x x =的图象向右平移12
π
个单位长度可得()f x 的图象，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．B 【解析】 【分析】
由双曲线方程求得,a b ，由渐近线方程为b
y x a
=±求得结果. 【详解】
由双曲线方程得：a =
1b =
∴渐近线方程为：b y x x a =±=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】
根据图中数字排列规律可知，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，从而可推出第20行最后1个数的值，即可求解出答案．
由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ， 所以第20行，最后一项为1．故答案选D ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理的能力，归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，解题时，要多观察实验，对有限的资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想． 10．C 【解析】 【分析】
分别将各点化为直角坐标即可判断 【详解】
P （2，
23π）化直角坐标为222cos
1,2sin 33
x y ππ
==-==(- 同理8552,,2,
,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭化直角坐标分别为
((((
;;;Q R M N ---
则与点P 重合的点有3个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．B 【解析】 【分析】
根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，可知2π(π)α∈，
，则π
π22α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，
又由半角公式可得cos 2
3
α
===-
，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 12．D
【分析】
计算出样本中心点()
,x y 的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】 由题意可得6384x =
=，2184y ==，将点()
,x y 的坐标代入回归直线方程得131244
a ⨯+=， 解得18
a =-，故选D. 【点睛】
本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点()
,x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．106 【解析】 【分析】
求出样本中心坐标，代入回归方程即可求出a 值. 【详解】 解：()11345678962x =
+++++=，()1
908483+80+75+68=806
y =++， 将13802⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入回归方程得1380=42a -⨯+，
解得106a =. 故答案为：106. 【点睛】
本题考查回归方程问题，属于基础题. 14．
4
3
【解析】 【分析】 【详解】
∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又
直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）
2+y 2
=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d
，2d =≤即3k 2≤4k ，
∴0≤k≤
43，故可知参数k 的最大值为4
3
.
15．[0,4) 【解析】
当m=0时，符合题意．
当m≠0时,2
040m m m >⎧
⎨=-<⎩
，则0<m<4， 则0⩽m<4 答案为：[
)0,4.
点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上大于0的恒成立问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究： 一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； 三是，判别式，决定于x 轴的交点个数； 四是，区间端点值. 16．{x|x ∈（2kπ﹣2π，2kπ+2
π
），k ∈Z} 【解析】
分析：这里的cosx 以它的值充当角，要使sin （cosx ）＞0转化成2kπ＜cosx ＜2kπ+π，注意cosx 自身的范围．
详解：由sin （cosx ）＞0⇒2kπ＜cosx ＜2kπ+π（k ∈Z ）． 又∵﹣1≤cosx≤1， ∴0＜cosx≤1；
故所求定义域为{x|x ∈（2kπ﹣
2π，2kπ+2π
），k ∈Z}． 故答案为：{x|x ∈（2kπ﹣2π，2kπ+2
π
），k ∈Z}.
点睛：本题主要考查了函数的定义域及其求法及复合函数单调性的判断，求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． 【解析】 【分析】
（I ）根据已知条件得到BC PA ⊥，BC AB ⊥，由此证得BC ⊥平面PAB .从而证得AE BC ⊥,结合
AE PB ⊥，证得AE ⊥平面PBC ，进而证得AE PC ⊥.（II ）作出PA 与平面PCD 所成的角，通过线面
角的大小计算出有关的边长，作出二面角A PD C --的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥．
又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，
而AB AP A =，AB 平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．
因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．
又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．
因为PB BC B ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．
因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥．
（Ⅱ）解：如图所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ，
因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，
则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ．
过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ，
即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，
所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒．
在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是2AG PG FG ===． 在直角三角形ADF
中，3AD =，所以2DF =．
过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，
由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角，
在直角三角形APD 中，222PD PA AD =+=，133PA AD AH PD ⋅⨯===． 在直角三角形AGH 中，2
62sin 3
AG AHG AH ∠===， 所以二面角A PD C --的正弦值为6．
【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的应用，考查面面角的求法，属于中档题.
18．（1）
29；（2）89；（3）59； 【解析】
【分析】
按球颜色写出所有基本事件；
（1）计数三次颜色各不相同的事件数，计算概率；
（2）计数三次颜色全相同的事件数，从对立事件角度计算概率；
（3）计数三次取出的球无红色或黄色事件数，计算概率；
【详解】
按抽取的顺序，基本事件全集为：
｛（红红红），（红红黄），（红红蓝），（红黄红），（红黄黄），（红黄蓝），（红蓝红），（红蓝黄），（红蓝蓝），（黄红红），（黄红黄），（黄红蓝），（黄黄红），（黄黄黄），（黄黄蓝），（黄蓝红），（黄蓝黄），（黄蓝蓝），（蓝红红），（蓝红黄），（蓝红蓝），（蓝黄红），（蓝黄黄），（蓝黄蓝），（蓝蓝红），（蓝蓝黄），（蓝蓝蓝）｝，共27个．
（1）三次颜色各不相同的事件有（红黄蓝），（红蓝黄），（黄红蓝），（黄蓝红），（蓝红黄），（蓝黄红），共6个，概率为62279
P ==； （2）其中颜色全相同的有3个，因此所求概率为381279P =-
=； （3）三次取出的球红黄都有的事件有12个，因此三次取出的球无红色或黄色事件有15个，概率为155279
P ==． 无红色或黄色事件
【点睛】
本题考查古典概型概率，解题关键是写出所有基本事件的集合，然后按照要求计数即可，当然有时也可从对立事件的角度考虑．
19．（1）n a n =，12n n b -=；（2）21
n n + 【解析】
【分析】
（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式．
（2）由（1）可得()11212
n S n n n =++⋯+=+,即()121n s n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为
11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,代入化简即可． 【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞1，{}n b 的等比为q
则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,
依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439
d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去） 故1,2n n n a n b -==,
（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=
+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111n n n ⎛
⎫-
= ⎪++⎝⎭． 【点睛】
本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞1．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！
20．（1）π；（2）5++)36k k k Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，（；（3）最大值为1，最小值为12- 【解析】
【分析】
（1
1cos cos22
x x x -，再根据二倍角公式以及配角公式得sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，最后根据正弦函数性质求周期，（2）根据正弦函数单调性得3+22+2262k x k πππππ≤-≤，
解得结果，（3）先根据自变量范围得52,666x πππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦
，再根据正弦函数性质得最值. 【详解】
解：（1）由题意得()•f x a b = 1
cos cos2sin 226x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭ T π=最小正周期。

()3(2+22+2262
k x k f x π
π
πππ≤-≤），令得的单调递减区间为 5++)36k k k Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，（ ()31sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭（）由（）知 50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ ()10,1-22f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
综合正弦函数性质可得：在区间上的最大值为，最小值为。

【点睛】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 21．（1）711,33x ⎡∈-
⎤⎢⎥⎣⎦；（2）111,,22⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
【解析】
【分析】 （1）令()2319g x x x =-++-，通过零点分段法可得()g x 解析式，进而将不等式变为()0g x ≤，在每一段上分别构造不等式即可求得结果；
（2）将问题转化为()h x 的值域是()f x 值域的子集的问题；利用零点分段法可确定()f x 解析式，进而得到()f x 值域；利用绝对值三角不等式可求得()h x 的最小值，由此可构造不等式求得结果.
【详解】
（1）令()3311,2323195,1237,1x x g x x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪=-++-=---≤≤⎨⎪--<-⎪⎪⎩
， 由()0g x ≤得：得311032x x -≤⎧⎪⎨>⎪⎩或50312x x --≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩
或3701x x --≤⎧⎨<-⎩，解得：71133x -≤≤. 即不等式()9f x ≤的解集为711,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12h x f x =成立，则()h x 的值域是()f x 值域的子集.
()332,232314,1232,1x x f x x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪-+<-⎪⎪⎩
，()f x ∴值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ()3333333h x x a x x a x a =-++≥---=+，
532a ∴+≥，解得：12a ≥-或112a ≤-，即a 的取值范围为111,,22⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、与绝对值不等式有关的恒成立和能成立问题的求解，涉及到零点分段法和绝对值三角不等式的应用；关键是能够将恒、能成立问题转化为两函数的值域之间的关系，进而通过最值确定不等式.
22． (1)f （x ）的单调增区间为（e ，+∞），减区间为（1，e ）;(2)
3ln 24
+. 【解析】
分析：（Ⅰ）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅱ）由题意得()()()()'41ln ,0f x x x a x =+->，可得函数
()f x 单调增区间为(),a e +∞，减区间为()0,a e ，即()0f x ≥恒成立，2a a b e e ≥+，即2a a b a e e a -≥+-，构造函数()()()()()2211ln ,0,'t t g t t t t t g t t
-+=+->=，利用导数研究函数的单调性可得()min 13ln 224
g t g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，即可得b a -的最小值.
详解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞1）．
f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=1，得x=e．
x∈（1，e）时，f′（x）＜1，∈（e，+∞）时，f′（x）＞1．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞1）．
令f′（x）=1，得x=e a．x∈（1，e a）时，f′（x）＜1，∈（e a ，+∞）时，f′（x）＞1．函数f（x）的单调增区间为（e a，+∞），减区间为（1，e a）
∴f（x）min=f（e a）=﹣e2a﹣e a+b，
∵f（x）≥1恒成立，∴f（e a）=﹣e2a﹣e a+b≥1，则b≥e2a+e a．∴b﹣a≥e2a+e a﹣a
令e a=t，（t＞1），∴e2a+e a﹣a=t2+t﹣lnt，设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞1），g′（t）=()() 211
t t
t
-+
．
当t∈（1，1
2
）时，g′（t）＜1，当
1
,
2
t
⎛⎫
∈+∞
⎪
⎝⎭
时，g′（t）＞1．
∴g（t）在（1，1
2
）上递减，在（
1
2
，+∞）递增．
∴g（t）min=g（1
2）=
3
ln2
4
+．f（x）≥1恒成立，b﹣a的最小值为
3
ln2
4
+．
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )
A ．2829
B ．2729
C ．1114
D ．1314
2．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
3．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 4．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =
A ．{}123,4，，
B ．{}123，，
C ．{}234，，
D ．{}13
4，， 5．函数
()
212()log 295f x x x =+-的单调递增区间为（ ） A ．1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B ．(,5)-∞-
C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．(0,)+∞
6．若“{},3x a ∈”是“不等式22530x x --≥成立”的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦
B ．()3,+∞
C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
D ．()1,32⎛⎤
-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦， 7．已知i 为虚数单位，复数z 满足11i z i +=
-，则复z =（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i - 8．曲线2y x
=与直线1y x =-及直线1x =所围成的封闭图形的面积为( ) A ．34 B ．52 C ．42ln 2- D ．12ln 22
- 9．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于原点对称,但不关于直线y x =对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y x =对称，关于直线-y x =对称
10．已知随机变量8X ξ+=，若()~10,0.6X B ，则()E ξ，()D ξ分别为（ ）
A ．6和2.4
B ．6和5.6
C ．2和2.4
D ．2和5.6 11．复数1i 3i z -=+的模为( )
A ．5
B ．15
C ．10
D ．110
12．已知随机变量X 满足()15E X -=，()15D X -=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()5E X =-，()5D X =
B ．()4E X =-，()4D X =-
C ．()5E X =-，()5
D X =-
D ．()4
E X =-，()5D X =
二、填空题：本题共4小题
13．若存在两个正实数x ，y 使等式()()22ln ln 0x m y ex y x +--=成立，（其中 2.71828...e =）则实数m 的取值范围是________. 14．函数()()()log 2,0212,0
a x x f x a x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______. 15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和
等于30的概率是_______.
16．己知复数z 和2(1)z +均是纯虚数，则z 的模为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()e (e)x f x a x ax =+--，(0)a ≤．
（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）证明：当0a <时，函数()f x 在区间0,1内存在唯一零点．
18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-.
（1）求1234,,,a a a a ;
（2）猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．
19．（6分）已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：220t ≤≤，t ∈N .经测算，
电车载客量()p t 与发车时间间隔t 满足：24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩
，其中t ∈N . （1）求(5)p ，并说明(5)p 的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为6()150060p t Q t
-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.
20．（6分）现在很多人喜欢自助游,2017年孝感杨店桃花节，美丽的桃花风景和人文景观迎来众多宾客.某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在孝感桃花节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：
赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 男性
30 女性
10 合计 100
（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整，并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？ （2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节大量游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
附: ()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
21．（6分）f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0。

(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x ＋3)－f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
<2； (4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。

22．（8分）如图，四边形SABC 中，AB SC ，AB BC ⊥，22SC AB BC ==，D 为边SC 的中点，现将SAD 沿AD 折起到达PAD 的位置（折起后点S 记为P ）．
（1）求证：AD PC
⊥；
（2）若M为PD中点，当
2
3
PDC
π
∠=时，求二面角A MB C
--的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
由题可知为古典概型，总的可能结果有4
8
C种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率.
【详解】
根据题意，选4名同学总的可能结果有4
88765
70 4321
C
⨯⨯⨯
==
⨯⨯⨯
种.
选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：
（1）一男三女，有13
53=51=5
C C⨯种，
（2）两男两女，有22
53
5432
==30 22
C C ⨯⨯
⨯种.
（3）三男一女，有31
53
543
=3=30 32
C C ⨯⨯
⨯
⨯
种.
共5+30+30=65种结果.
由古典概型概率计算公式，
6513
7014 P==.
故选D.
【点睛】
本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键. 2．A
【解析】
由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A. 3．A 【解析】 【分析】
根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项。

【详解】
不到蓬莱⇒不成仙，∴成仙⇒到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。

故选：A 【点睛】
充分、必要条件有三种判断方法：
1、定义法：直接判断“若p 则q ”和“若q 则p ”的真假。

2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。

3、若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =,则A 是B 的充要条件。

4．A 【解析】 由题意{1,2,3,4}A
B =，故选A.
点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 5．B 【解析】 【分析】
先求出(
)
2
12
()log 295f x x x =+-的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.
【详解】
令2
2950x x +->,得f (x )的定义域为1(,5),2⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
,根据复合函数的单调性规律,即求函数
2
295t x x =+-在1(,5),2⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪⎝⎭
上的减区间,根据二次函数的图象可知(,5)-∞-为函数2295t x x =+-的减区间.
故选：B 【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型. 6．D 【解析】
由题设22530a a --≥，解之得：3a ≥或1
2
a ≤-，又集合中元素是互异性可得3a ≠，应选答案D 。

7．C 【解析】 【分析】
利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式． 【详解】 解：复数11i z i
+=-(1)(1)2(1)(1)2i i i
i i i ++===-+， 故选：C ． 【点睛】
本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，属于基础题． 8．D 【解析】
联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为()()()1,0,1,2,2,1，结合图形可得封闭图形的面积为2
12112ln22S x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝
⎭⎰，应选答案D ． 9．D 【解析】 【分析】
构造二元函数()2
2
,21f x y x xy y =-+-，分别考虑(),f x y 与(),f x y -、(),f x y -、(),f x y --、
(),f y x 、(),f y x --的关系，即可判断出相应的对称情况.
【详解】
A ．()()2
2
,21,f x y x xy y f x y -=++-≠，所以不关于x 轴对称；
B ．()()2
2
,21,f x y x xy y f x y --=-+-=，()()2
2
,21,f y x y xy x f x y =-+-=，
所以关于原点对称，也关于直线y x =对称；
C ．()()2
2
,21,f x y x xy y f x y -=++-≠，所以不关于y 轴对称；
D ．()()2
2
,21,f y x y xy x f x y --=-+-=，所以关于直线y x =-对称，同时也关于直线y x =对称.
故选：D . 【点睛】
本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于x 轴对称，则将曲线中的y 换成y -，此时曲线的方程不变；若曲线关于y 轴对称，则将曲线中的x 换成x -，此时曲线的方程不变；若曲线关于y x =对称，则将曲线中的x 换成y 、y 换成x ，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的x 换成x -、y 换成y -，此时曲线的方程不变. 10．C 【解析】 【分析】
利用二项分布的数学期望和方差公式求出()E X 和()D X ，然后利用期望和方差的性质可求出()E ξ和
()D ξ的值.
【详解】
()~10,0.6X B ，()100.66E X ∴=⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=.
8X ξ+=，8X ξ∴=-，由期望和方差的性质可得()()()882E E X E X ξ=-=-=，
()()()8 2.4D D X D X ξ=-==.
故选：C. 【点睛】
本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 11．A 【解析】
分析：首先根据复数模的公式以及复数的除法运算公式，将复数z 化简，然后利用复数模的公式计算求得复数z 的模.
详解：因13i z i
-==
==+，所以105
z ===，
故选A.
点睛：该题考查的是有关复数代数形式的除法运算以及复数模的计算公式，在求解的过程中，需要保证公式的正确性，属于简单题目. 12．D 【解析】
分析：利用期望与方差的性质与公式求解即可.
详解：
随机变量X 满足()()15,15E X D X -=-=，
所以()1E X -=2
15,15EX DX -=⨯=， 解得4,5EX DX =-=，故选D.
点睛：已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差和标准差，可直接用X
的均值、方差的性质求解.若随机变量X 的均值EX 、方差DX Y aX b =+的均值
aEX b +、方差2a DX 、标准差二、填空题：本题共4小题 13．()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
()()22ln ln x m ex y y x =
--，
()()2ln ln 11ln 22ex y y x y y e m x x x --⎛⎫==-⋅⋅ ⎪⎝
⎭ ，设0y
t x => ，设()ln 2t g t e t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，那么()1111ln ln 2222t e g t t e t t t ⎛
⎫=-+-⋅=-+- ⎪⎝
'⎭ ，
()2212022e t e g t t t t
'+=-'=-
-<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当t e =时， ()0g e '=，当()0,t e ∈时， ()0g t '> ，函数单调递增，当(),t e ∈+∞ ， ()0g t '< ，函数单调递减，所以()g t 在t e =时，取得最大值， ()2e g e =
，即12e m ≤ ，解得： 0m < 或2m e ≥ ，写出区间为()2,0,e ⎡⎫
-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ ，故填： ()2,0,e
⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
14． 【解析】 【分析】
在0x >和0x ≤分别保证对数型函数和一次函数单调递增；根据函数在R 上单调递增，确定分段处函数值的大小关系；综合所有要求可得结果. 【详解】
当0x >时，若原函数为单调递增函数，则1a >；
当0x ≤时，若原函数为单调递增函数，则210a ->，解得：12
a >
； ()f x
为R 上的单调递增函数，2log 2a ∴≤，解得：1a <≤
综上所述：a 的取值范围为(
.。