高中物理 第五章 曲线运动 第7节 生活中的圆周运动教学案 新人教版必修2

第7节生活中的圆周运动
一、铁路的弯道┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。

2．铁路弯道的特点
(1)火车车轮的结构特点
火车的车轮有突出的轮缘，如图所示，且火车在轨道上运行时，有突出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹。

(2)转弯处外轨略高于内轨。

(3)铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道内侧。

(4)铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的圆心，它提供了火车做圆周运动的向心力。

[说明]
(1)如果在转弯处内外轨道一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯时的向心力，如图所示。

但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。

(2)修筑铁路时，在转弯处使外轨略高于内轨，并根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内、外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供。

这样，轨道与轮缘也就几乎没有挤压了。

二、拱形桥┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．向心力来源：汽车过拱形桥时做圆周运动，所需向心力由重力和桥面的支持力提供。

2．拱形桥上的受力特点
(1)通过凸形桥最高点(如图甲)时，汽车的向心加速度方向竖直向下，汽车处于失重状态。

(2)通过凹形桥最低点(如图乙)时，汽车的向心加速度方向竖直向上，汽车处于超重状态。

[说明]
为使汽车对桥压力不超出桥的最大承受力，汽车有最大行驶速度限制。

②[判一判]
1．汽车在水平路面上匀速行驶时，对地面的压力等于车的重力，加速行驶时大于车的
重力(×)
2．汽车在凸形桥上行驶时，速度较小时，对桥面的压力大于车重，速度较大时，对桥面的压力小于车重(×)
3．汽车过凹形桥时，对桥面的压力一定大于车重(√) 三、航天器中的失重现象┄┄┄┄┄┄┄┄③ 1．航天器在近地轨道的运动
(1)对航天器而言，重力充当向心力，满足的关系为mg ＝mv 2
R ，航天器的速度v ＝gR 。

(2)对航天员而言，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg －F N ＝mv 2
R。

由
此可得当v ＝gR 时，F N ＝0，航天员处于失重状态。

2．航天器内的任何物体都处于完全失重状态。

[说明]
航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受重力。

正因为受到重力作用才使航天器连同其中的航天员环绕地球转动。

③[判一判]
1．运行于太空的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全失重状态(√) 2．处于完全失重状态的物体不受重力作用(×) 3．处于完全失重状态的物体所受合力为零(×) 四、离心运动┄┄┄┄┄┄┄┄④
1．定义：物体沿切线飞出或做的逐渐远离圆心的运动。

2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。

3．离心运动的应用与防止 (1)离心运动的应用
洗衣机的脱水筒、制造水泥涵管、离心式水泵、离心式真空泵、离心分离器等都是根据离心运动工作的。

(2)离心运动的防止
①由于离心现象，车辆转弯时易出现交通事故，因此在弯道处，都要对车辆进行限速； ②高速旋转的砂轮或飞轮破裂，会因碎片飞出造成事故，所以对高速转动的物体要限定转速。

[说明]
物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是外力不能提供足够的向心力，所谓的“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在。

④[选一选]
物体做离心运动时，运动轨迹的形状为( ) A ．一定是直线 B ．一定是曲线
C ．可能是直线也可能是曲线
D ．可能是一个圆
解析：选C 离心运动是指合力突然变为零或合力不足以提供向心力时物体逐渐远离圆心的运动。

若合力突然变为零，物体沿切线方向做直线运动；若合力比向心力小，物体做曲线运动，但逐渐远离圆心，故A 、B 、D 错误，C 正确。

1.轨迹分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面。

火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。

2．向心力的来源分析 火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F ＝mg tan θ。

3．规定速度分析
设内外轨间的距离为L ，内外轨的高度差为h ，火车转弯的半径为R ，火车转弯的规定速度为v 0，α为轨道所在平面与水平面的夹角，由如图所示的力的合成得到向心力为
F 合＝mg tan α≈mg sin α＝mg h
L ，
由牛顿第二定律，得F 合＝m v 20
R ，
所以mg h L ＝m v 20
R
，
即火车转弯的规定速度v 0＝ Rgh
L。

4．轨道压力分析
[典型例题]
例1.(2016·九江高一检测)汽车在倾斜的弯道上转弯，弯道的半径为R ，倾角为θ，则汽车完全不靠摩擦力转弯时的速率是多少？与此速率比较，以过大或过小的速率过弯道时人坐在车上的感觉如何？
[解析] 当汽车不靠摩擦力转弯时，汽车只受重力和支持力作用，重力和支持力的合力充当向心力，如图所示。

mg tan θ＝m v 2
R
解得v ＝gR tan θ 此时乘客也做圆周运动，受自身重力和座椅对他的支持力，两者的合力充当乘客做圆周运动的向心力。

若速率过大，向心力不再由重力和支持力的合力提供，还要受到座椅外侧对他的侧压力；若速率过小，向心力不再由重力和支持力的合力提供，还要受到座椅内侧对他的侧压力。

[答案] gR tan θ 速率过大时，座椅外侧对人有侧压力；速率过小时，座椅内侧对人有侧压力
[点评] 火车转弯问题的解题策略
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。

(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供。

(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这与火车的速度大小有关。

[即时巩固]
1．如果高速公路转弯处弯道圆弧半径为100 m ，汽车轮胎与路面间的最大静摩擦力是车重的0.23倍，若路面是水平的，则汽车不发生径向滑动所允许的最大速度v m 为多大？(g
取10 m/s 2
)
解析：汽车在水平路面上转弯时，地面与轮胎间的静摩擦力提供向心力，当汽车以最大速度转弯时
F fm ＝m v 2m
r
F fm ＝0.23mg
解得v m ≈15.2 m/s
答案：15.2 m/s
1.关于汽车过拱形桥问题，用图表概括如下
2.汽车在凸形桥的最高点处于失重状态，在凹形桥的最低点处于超重状态。

[典型例题]
例2.如图所示，一辆质量为500 kg 的汽车静止在一座半径为40 m 的圆弧形拱桥顶部
(g ＝10 m/s 2
)，求：
(1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大；
(2)如果汽车以10 m/s 的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大； (3)汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零。

[解析] (1)汽车静止在桥顶时，受重力mg 和拱桥的支持力F 的作用，由二力平衡可知F ＝mg ＝5 000 N
由牛顿第三定律可知，汽车对拱桥的压力 F ′＝F ＝5 000 N
(2)汽车以v ＝10 m/s 的速度过桥顶时，受重力mg 和拱桥的支持力F 1的作用，二力合力提供向心力，
即mg －F 1＝m v 2
R
解得F 1＝mg －m v 2
R
＝3 750 N
由牛顿第三定律可知，汽车对拱桥的压力 F ′1＝F 1＝3 750 N
(3)当汽车对桥面的压力为零时，重力提供向心力，
mg ＝m v ′2
R
解得v ′＝gR ＝20 m/s
[答案] (1)5 000 N (2)3 750 N (3)20 m/s [点评] 汽车过凸形桥时对桥面的压力F 压 当0≤v <Rg 时，0<F 压≤mg ； 当v ＝Rg 时，F 压＝0；
当v >Rg 时，汽车会脱离桥面，发生危险。

[即时巩固]
2．(2016·杭州高一检测)如图所示，汽车在炎热的夏天沿不平的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(假定汽车运动速率v a ＝v c ，v b ＝v d )( )
A ．a 点
B ．b 点
C ．c 点
D ．d 点
解析：选D 因为匀速圆周运动的向心力和向心加速度公式也适用于变速圆周运动，故
在a 、c 两点F 压＝G －m v 2r <G ，不容易发生爆胎；在b 、d 两点F 压＝G ＋m v 2
r
>G ，由题图知b 点
所在曲线半径大，即r b ＞r d ，又v b ＝v d ，故F 压b <F 压d ，所以在d 点车胎受到的压力最大，所
以d 点最容易发生爆胎。

1.离心运动的实质
离心运动实质是物体惯性的表现。

做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故。

从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来。

一旦作为向心力的合力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动。

2．合力与向心力的关系
(1)如图所示，若F 合＝mr ω2
或F 合＝mv 2
r
，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需
要”。

(2)若F 合>mr ω2
或F 合>mv 2
r
，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”。

(3)若F 合<mr ω2
或F 合<mv 2
r
，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体逐渐远离
圆心而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。

(4)若F 合＝0，则物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。

[典型例题]
例3.下列关于离心现象的说法中正确的是( ) A ．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动 [解析] 向心力是根据效果命名的，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力，是它所受的某个力或几个力的合力提供的，因此，并不是物体受向心力和离心力的作用。

物体之所以
产生离心现象是由于F 合＝F n ＜m ω2
r ，A 错误；物体做匀速圆周运动时，若它所受的一切力
都突然消失，根据牛顿第一定律，它从这时起沿切线做匀速直线运动，C正确，B、D错误。

[答案] C
[点评] 关于离心运动的两个注意点
(1)离心运动并不是受到离心力的作用产生的运动。

(2)离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动。

[即时巩固]
3．关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合力的数值发生变化，就将做离心运动D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然消失或变小时将做离心运动
解析：选D 物体做什么运动取决于物体所受合力与物体所需向心力的关系，只有当提供的向心力小于所需要的向心力时，物体才做离心运动，所以做离心运动的物体并没有受到所谓的离心力的作用，离心力没有施力物体，所以离心力不存在。

综上所述，D正确。

1.模型构建
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动到轨道的最高点的受力情况可以分为两类：一类是无支撑(如球与绳连接，小球在外轨道内运动等)，称为“轻绳模型”。

一类是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。

2．模型条件
(1)物体在竖直平面内做圆周运动。

(2)“轻绳模型”在最高点无支撑。

(3)“轻杆模型”在最高点有支撑。

3．模型特点
该类问题的高中阶段我们只研究最高点和最低点的两种情况，在最高点常出现临界问
[典型例题]
例4.(2016·绵阳高一检测)长为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A
端连着一个质量为m＝2 kg 的小球。

求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(取g＝10 m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。

[解析] (1)当杆的转速为2.0 r/s时，角速度
ω＝2πn＝4π rad/s
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2(0.5×42×π2－10) N≈138 N
即杆对球提供了138 N的拉力。

由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。

(2)杆的转速为0.5 r/s时，
ω′＝2πn＝π rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2(0.5×π2－10) N≈－10 N
力F为负值表示杆对小球的力为支持力，方向竖直向上，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。

[答案] (1)138 N，方向竖直向上
(2)10 N，方向竖直向下
[点评] “二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动问题
[即时巩固]
4．若将例4题中的轻杆换成细绳，将会怎样？
解析：设细绳作用下，小球能经过最高点的最小转速为n，则
mg＝mLω2＝mL(2π·n)2
所以n＝
g
L
2π
＝
20
2×3.14
r/s≈0.7 r/s
当转速为2.0 r/s时，小球在最高点的受力及运动情况与在轻杆的作用下相同，即小球对细绳的拉力大小为138 N，方向竖直向上。

当转速为0.5 r/s时，小球不能在竖直平面内做圆周运动。

答案：见解析
1．[多选](2016·吉林高一检测)在水平铁路轨道转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了( )
A ．减小火车轮缘对外轨的挤压
B ．减小火车轮缘对内轨的挤压
C ．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力
D ．限制火车向外脱轨
解析：选ABC 火车轨道建成外高内低，火车转弯时，轨道的支持力与火车的重力两者的合力指向弧形轨道的圆心。

若合力大于火车转弯所需的向心力(火车速度较小时)，则火车轮缘挤压内侧铁轨；若合力等于所需向心力(火车速度刚好等于规定速度时)，则火车轮缘不挤压铁轨；若合力小于所需向心力(火车速度较大时)，则火车轮缘挤压外侧铁轨。

所以这种设计主要是为了减少火车轮缘对铁轨的挤压破坏，故A 、B 、C 正确。

2．[多选]下列哪些现象是为了防止物体产生离心运动( ) A ．汽车转弯时要限制速度
B ．转速很高的砂轮半径不能做得太大
C ．在修筑铁路时，转弯处内轨要低于外轨
D ．离心水泵工作时
解析：选ABC 汽车转弯靠静摩擦力提供向心力，由F n ＝m v 2
R
，当v 过大时，静摩擦力不
足以提供向心力，产生离心运动带来危害，所以要防止，A 正确；B 、C 与A 分析方法相同，而离心水泵工作时是离心运动的应用。

3．[多选]宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中处于完全失重状态，下列说法正确的是( )
A ．宇航员仍受重力的作用
B ．宇航员受力平衡
C ．宇航员所受重力等于所需的向心力
D ．宇航员不受重力的作用
解析：选AC 做匀速圆周运动的空间站中的宇航员，所受重力全部提供其做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，并非不受重力作用，A 、C 正确，B 、D 错误。

4．[多选](2016·泰安高一检测)如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gL
D ．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 解析：选CD 由于不知道小球在圆周最高点时的速率，故无法确定绳子的拉力大小，A 、
B 错误；若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率满足mg ＝m v 2
L
，推导
可得v ＝gL ，C 正确；小球过最低点时，向心力方向向上，故绳子的拉力一定大于小球重力，D 正确。

5．某铁路转弯处的圆弧半径是300 m ，两铁轨之间的距离是1.435 m ，若规定火车通过这个弯道的速度为72 km/h ，则内外铁轨的高度差应该是多大才能使火车转弯时内外轨均不受轮缘的挤压？
解析：火车在转弯时所需的向心力应由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供，如图所示。

图中h 为内外铁轨的高度差，d 为铁轨之间的距离。

由向心力公式和几何关系可知
F ＝mg tan α＝m v 2
R ，
解得tan α＝v 2
gR。

由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可以近似地认为tan α≈sin α＝h d
代入上式，得h d ＝v 2
gR
所以内外轨的高度差
h ＝v 2d Rg ＝202×1.435300×9.8
m≈0.195 m。

答案：0.195 m
[基础练]
一、选择题
1．(2016·怀化高一检测)如图所示，光滑的水平面上，小球m 在拉力F 作用下做匀速圆周运动，若小球到达P 点时F 突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A ．F 突然消失，小球将沿轨迹Pa 做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：选A 若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F 突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。

2．(2016·济南月考)“快乐向前冲”节目中有这样一个项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可视为质点)，下列说法正确的是( )
A．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg
B．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg
C．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力
D．选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动
解析：选B 由于选手摆动到最低点时，绳子拉力和选手自身重力的合力提供选手做圆周运动的向心力，有F T－mg＝F n，F T＝mg＋F n>mg，B正确，A错误；C中两力为作用力和反作用力，大小相等，C错误；选手到最低点过程中，加速度大小和方向都变化，D错误。

3．一轻杆下端固定一质量为M的小球，上端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时，刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
解析：选B 杆在最高点对小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球在最高点的
速度可以为零。

当最高点杆对小球的作用力为零时，重力提供向心力，由mg＝mv20
R
可知，临
界速度v0＝gR。

随着最低点的瞬时速度从v0不断增大，小球对杆的作用力先是方向向下减小到零，然后方向向上逐渐增大，故B正确。

4．[多选](2016·金华高一检测)如图所示，洗衣机的甩干筒在转动时有一衣服附在筒壁上，则此时( )
A．衣服受重力、筒壁的弹力和摩擦力
B．衣服随筒壁做圆周运动的向心力是摩擦力
C．筒壁的弹力随筒的转速的增大而增大
D ．筒壁对衣服的摩擦力随转速的增大而增大
解析：选AC 衣服受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用，A 正确；衣服随筒壁在水平
面内做圆周运动，筒壁的弹力提供向心力，B 错误；因F N ＝m ω2
r ，所以筒壁的弹力随筒的转速的增大而增大，C 正确；衣服在竖直方向的合力等于零，所以筒壁对衣服的摩擦力始终等于重力，不随转速变化，D 错误。

5．[多选]如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是( )
A ．竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B ．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C ．在竖直方向汽车可能只受重力
D ．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
解析：选BCD 一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg －F N ＝m v 2
r ，故支持力F N ＝mg
－m v 2
r
，即支持力小于重力，A 错误，B 、D 正确；当汽车的速度v ＝gr 时，汽车所受支持力
为零，C 正确。

二、非选择题
6．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，路面与水平面间的夹角为θ，且tan θ＝0.2；而拐弯路段的圆弧半径R ＝200 m 。

若要使车轮与路面之间的侧向摩擦力等于零，车
速v 应为多少？(g ＝10 m/s 2
)
解析：汽车在高速路上拐弯的向心力 F n ＝mg tan θ
而F n ＝m v 2
R
所以mg tan θ＝m v 2
R
v ＝gR tan θ＝10×200×0.2 m/s
＝20 m/s 答案：20 m/s
[提能练]
一、选择题
1．[多选]在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把滑铁索过江简化成如图所示的模型，铁索的两个固定点A 、B 在同一水平面内，A 、B 间的距离为L ＝80 m ，绳索的最低点与AB 间的垂直距离为H ＝8 m ，若把绳索看作是圆弧，已知一质量m ＝52 kg 的人借
助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(取g ＝10 m/s 2
)，那么( )
A ．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B ．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C ．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D ．在滑到最低点时人处于失重状态
解析：选BC 从最高点滑到最低点的过程中速度在增大，所以不可能是匀速圆周运动，A 错误；如题图由几何关系：⎝ ⎛⎭
⎪⎫L 22
＋(R －H )2＝R 2
，解得R ＝104 m ，B 正确；滑到最低点时，
由牛顿第二定律：F N －G ＝m v 2
R
，可得F N ＝570 N ，由牛顿第三定律，人对绳索的压力为570 N ，
C 正确；在最低点，人对绳索的压力大于重力，处于超重状态，
D 错误。

2．在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一质量为m 的重物，重物重心到转轴的距离为r ，如图所示。

为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过( )
A.
M ＋m
mr
g B. M ＋m
mr g C.
M －m
mr
g D. Mg mr
解析：选B 当重物转动到最高点时，对电动机向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值F T ＝Mg 。

对重物来说，随飞轮一起做圆周运动所需的向心力是由重力和飞轮对重物的拉力F ′T 的合力提供的，F ′T 和F T 是一对作用力和反作用力。

由牛顿第二定律得F ′T ＋mg ＝m ω2
r ，代入数值得ω＝
M ＋m
mr
g ，B 正确。

3．质量为m 的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示。

已知小球以速度v 通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v
2通
过圆管的最高点时( )
A ．小球对圆管内、外壁均无压力
B ．小球对圆管外壁的压力等于mg 2
C ．小球对圆管内壁的压力等于mg
2
D ．小球对圆管内壁的压力等于mg
解析：选C 设小球做圆周运动的半径为r ，小球以速度v 通过最高点时，由牛顿第二
定律得2mg ＝m v 2r ①；小球以速度v
2
通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力F N ，有mg ＋F N
＝m
v 2
r
②；由①②得F N ＝－mg
2
，该式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律
知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为mg
2
，C 正确。

4．[多选](2016·淄博高一检测)如图所示，A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，最大静摩擦因数均为μ，已知A 的质量为2m ，B 、C 的质量均为m ，A 、B 离轴距离均为R ，C 距离轴为2R ，则当圆台逐渐加速旋转时( )
A ．C 物体的向心加速度最大
B ．B 物体的摩擦力最小
C ．当圆台转速增加时，C 比A 先滑动
D ．当圆台转速增加时，B 比A 先滑动
解析：选ABC 由a n ＝ω2r 知A 正确；由F n ＝m ω2
r 及m A ＞m B 、r C ＞r B 知B 正确；由μmg ＝m ω2
r 知，C 正确，D 错误。

5．[多选]中国首位“太空教师”王亚平在“天宫一号”太空舱内做了如下两个实验：实验1，将一个细线悬挂的小球由静止释放，小球呈悬浮状。

实验2，拉紧细线给小球一个垂直于线的速度，小球以悬点为圆心做匀速圆周运动。

设线长为L ，小球的质量为m ，小球做圆周运动的速度为v 。

已知地球对小球的引力约是地面重力mg 的0.9倍，则在两次实验中，细线对球拉力的大小是( )
A ．实验1中拉力为0
B ．实验1中拉力为0.9mg
C ．实验2中拉力为0.9mg ＋m v 2
L
D ．实验2中拉力为m v 2
L
解析：选AD 实验1中，小球处于完全失重状态，拉力为0，A 正确，B 错误；实验2
中小球受到的拉力提供向心力，大小为m v 2
L
，C 错误，D 正确。

二、非选择题
6．(2016·南阳月考)如图所示，质量m ＝2.0×104
kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹
形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m 。

如果桥面承受的压力不得超过3.0×105
N(g
取10 m/s 2
)，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？。