初中数学《角平分线》课件-ppt【北师大版】1

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过角平分线上一点向两边作垂线段
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
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∴OP平分∠AOB.
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1.判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上． 2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
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3. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等， 则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
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4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分 ∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE 的周长是_6_c_m__
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角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在 OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
DA
1
2
C
E
∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ).
例题讲解
例2 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
A
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
E
DE＝DF，求DE的长.
F
证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DEB＝DF，D C
∴AD平分∠BAC (角平分线的性质）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
E
F
B
D
C
DE=DF，
BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC.
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获取新知
Hale Waihona Puke 知识点二：角平分线的判定想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
思路总结：本定理是 对三角形全等思路的 优化
∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
O
3.定理应用所具备的条件：
A D
P
E
P到OA的距离 C 角平分线上的点
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这 个角的平分线上.
这个命题是真的吗？ 如果是假的，怎么 修改能成为真的呢？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
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P到OB的距离 B
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上； (3)垂直距离.
4.定理的作用：证明线段相等.
例题讲解
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，
且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
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6. 如图,在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长.
解:∵在△ABC中,
AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF.
第一章 三角形的证明
4 第1课时 角平分线的性质与判定
情景导入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.
你有什么办法？
对折
A
C
O
B
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
获取新知 知识点一：角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样 得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.
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课堂小结
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段的长度相等
角平分线
判定 定理
在一个角的内部，到角两边距离 相等的点在这个角的平分线上
∵△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,
∴ 1 ×5DE+ 1 ×4DF=9,
2
2
∴DE=DF=2(cm),即DE的长是2 cm.
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7. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝
1 2
AD＝
1
2×10＝5
(直角三角形30°角的性质).
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随堂演练
1. 如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，
垂足分别为D，E，且PD＝PE．
DA
求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
1
2
C
E
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
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5. 如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线 相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是_②___ ①AF平分BC ②AF平分∠BAC ③AF⊥BC ④以上结论都正确
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足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是( D )
A.2
B.3
C. 3
D.4
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2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足 分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( D )
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． 3.应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
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PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且
PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∵PF=PG,DF=EG, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), ∴PD=PE. ∵P是OC上点 ,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴OC是∠AOB的平分线.