雄关漫道系列高考数学一轮总复习 6.1不等关系与不等式课时作业 文(含解析)新人教版-新人教版高三全

课时作业32 不等关系与不等式
一、选择题
1．(2014·某某某某一模)设a ，b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a 3
＋b 3
＞0 C ．a 2
－b 2
＜0 D ．a ＋b ＜0
解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0， ∴a ＜b ＜0，∴a ＋b ＜0，故选D. 答案：D
2．(204·某某七校联考)已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2
B ．ab 2
＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2
D ．ab ＞ab 2
＞a 解析：∵－1＜b ＜0，∴b ＜b 2
＜1. 又∵a ＜0，∴ab ＞ab 2
＞a . 答案：D
3．(2014·某某某某摸底)若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立．．的是( ) A ．a 2
＞b 2
B.b
a
＜1
C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a 2
＜b 2
，b
a
＞1，lg(a －b )＝0，可排除A ，B ，C ，故选D. 答案：D
4．(2014·某某松江期末)已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( ) A ．log 2a ＞0 B ．2
a －b
＜12
C ．log 2a ＋log 2b ＜－2
D ．2a b ＋b a ＜1
2
解析：若0＜a ＜1，此时log 2a ＜0，A 错误；若a －b ＜0，此时2a －b
＜1，B 错误；由a b ＋
b a
＞2
a b ·b a ＝2,2a b ＋b a ＞22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1＞2ab ，即ab ＜1
4
，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＜log 21
4
＝－2.故选C.
答案：C
5．(2014·某某某某七中二诊)设a ＞0，b ＞0则以下不等式中不恒成立．．．．
的是( )
A ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ≥4 B．a 3＋b 3≥2ab 2
C ．a 2
＋b 2
＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b
解析：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·2
1a ·1
b
＝4，故A 恒成立；
∵a 3
＋b 3
－2ab 2
＝a 3
－ab 2
＋b 3
－ab 2
＝(a －b )(a 2
＋ab －b 2
)，无法确定正负，故B 不恒成立；
a 2＋
b 2＋2－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故C 恒成立；
当a ＜b ，则|a －b |≥a －b 恒成立；若a ≥b ， 则(|a －b |)2
－(a －b )2
＝2(ab －b )≥0， ∴|a －b |≥a －b 恒成立， 故D 恒成立．综上可知选B. 答案：B
6．(2014·某某日照校际联考)已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：
①若a ＞b ，则ac 2
＞bc 2
；②若ab ≠0，则a b ＋b
a
≥2；③若a ＞b ＞0，n ∈N *，则a n ＞b n
；④若log a b ＜0(a ＞0，a ≠1)，则a ，b 中至少有一个大于1.其中真命题的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
解析：当c ＝0时，ac 2
＝bc 2
＝0，所以①为假命题；当a 与b 异号时，a b ＜0，b a
＜0，所以②为假命题；③为真命题；若log a b ＜0(a ＞0，a ≠1)，则有可能a ＞1,0＜b ＜1或b ＞1,0＜a ＜1，即a ，b 中至少有一个大于1.④是真命题．综上真命题有2个，故选A.
答案：A 二、填空题
7．(2014·某某某某模拟)设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3
－1)，Q ＝log a (a 2
－1)，则P 与
Q 的大小关系是__________．
解析：∵P ＝log a (a 3
－1)，Q ＝log a (a 2
－1)，
a ＞0，∴a 3－1＞0，a 2－1＞0，∴a ＞1.
又∵(a 3
－1)－(a 2
－1)＝a 2
(a －1)＞0， ∴a 3
－1＞a 2
－1，
∴log a (a 3
－1)＞log a (a 2
－1)，即P ＞Q . 答案：P ＞Q
8．(2014·某某某某月考)若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞
by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞b
x
这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是__________．
解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，
∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立． 又∵ax ＝－6，by ＝－6， ∴ax ＝by ，因此③也不成立．
又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2
－2
＝－1，
∴a y ＝b
x
，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④
9．(2014·某某一模)现给出三个不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋b 2
＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b －32；③7＋
10＞3＋14.其中恒成立的不等式共有__________个．
解析：因为a 2
－2a ＋1＝(a －1)2
≥0，所以①不恒成立；对于②，a 2
＋b 2
－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2
＋(b ＋1)2
＋1＞0，所以②恒成立；对于③，因为(7＋10)2
－(3＋14)2
＝270－242＞0，且7＋10＞0，3＋14＞0，所以7＋10＞3＋14，即③恒成立．
答案：2 三、解答题
10．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2
－x ＋1与2x 2
＋x －1；
(2)当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a
.
解析：(1)∵3x 2
－x ＋1－2x 2
－x ＋1＝x 2
－2x ＋2＝(x －1)2
＋1＞0，∴3x 2
－x ＋1＞2x 2
＋x －1.
(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b . 当a ＞b ，即a －b ＞0，a
b
＞1时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b ＞1， ∴a a b b
＞a b b a
.
当a ＜b ，即a －b ＜0,0＜a b
＜1时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a －b ＞1， ∴a a b b
＞a b b a
.
∴当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b
＞a b b a
.
11．设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．
解析：方法一：作差比较 当a ＞1时，由0＜x ＜1知，
log a (1－x )＜0，log a (1＋x )＞0，∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2
)，
∵0＜1－x 2
＜1，∴log a (1－x 2
)＜0， 从而－log a (1－x 2
)＞0， 故|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 当0＜a ＜1时，同样可得 |log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 方法二：平方作差
|log a (1－x )|2
－|log a (1＋x )|2
＝[log a (1－x )]2
－[log a (1＋x )]2
＝log a (1－x 2
)·log a 1－x 1＋x
＝log a (1－x 2
)·log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x ＞0.
∴|log a (1－x )|2
＞|log a (1＋x )|2
， 故|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 方法三：作商比较 ∵
|log a 1－x ||log a 1＋x |＝|log a 1－x
log a 1＋x
|＝|log (1＋x )(1－x )|，
∵0＜x ＜1，∴log (1＋x )(1－x )＜0， 故
|log a 1－x |
|log a 1＋x |
＝－log (1＋x )(1－x )
＝log (1＋x )1
1－x
＝1＋log (1＋x )⎝ ⎛⎭
⎪
⎫11－x ·11＋x
＝1＋log (1＋x )
11－x
2. 由0＜x ＜1知，1＋x ＞1及
1
1－x
2＞1， ∴log (1＋x )11－x 2＞0，故
|log a 1－x
|
|log a 1＋x |
＞1， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
12．(2014·某某模拟)若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，求f (3)的X 围．
解析：设f (x )＝ax 2
＋c (a ≠0)，
⎩
⎪⎨⎪⎧
f 1＝a ＋c ，f 2＝4a ＋c
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝f 2－f 1
3，c ＝4f 1－f 2
3
，
f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋
4f 1－f 23＝
8f
2－5f
1
3
.
因为1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，
所以5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32,14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143
≤
8f 2－5f
13
≤9，
即14
3
≤f (3)≤9.。