张量分析在连续介质力学流体力学应用 I

1 矢量与张量
1.1 概述
在数学和物理学中，我们常常会遇到一些几何量和物理量，它们都与坐标系的选取无关。

其中有一些比较简单的量，如平面图形的面积，一有限物体的体积和温度等，这些量仅用它们的量值（加上相应的单位）就能够描述，例如可以用立方米来表示体积，某时刻的温度可用摄氏温标的度数来表示。

这种用量值就能表征的量，通常称为标量。

当然，我们还会碰到比标量复杂一些的量，如位移、力、速度和加速度等，它们不能单用数值来描述，因为这些量不仅有量值，而且有方向，如一个气象预报员预报某天的风速的，他不仅应当说明风的速率（风速的量值），而且应当说明风吹的方向，这样才能完整地加以描述。

这种必须用量值和方向来表征的量，称为矢量。

在三维空间中，可
以用标明方向的线段（即有向线段）来表示这些物理量。

习惯上常常用，如“a ，b ，u ，v
”等表示矢量。

在处理具体问题时，我们常常需要选定坐标系，这样就会带来很多方便。

在三维欧氏空间中，通常采用正交笛卡尔坐标系oxyz 。

这样，矢量就可以写成三个分矢量之和，如
k a j a i a a z y x
++=
(1.1.1)
随着科学技术的不断发展，我们遇到了比矢量更为复杂的几何量和物理量，对它们的描述就不能只用量值和方向，而必须应用更多的概念。

如固体一点由于内力而产生的应力，我们必须确定力和力所作用的面，另外、还有弹件体中任一体积元的形变以及转动惯量等，这样的量只能用所谓张量的数学实体来描述。

以后我们还将看到，前面所述的标量和矢量实际上都是张量的特例。

1.2 矢量及其运算
1.2.1 矢量
两个矢量具有相同的模和方向，则称这两个矢量相等。

即一个矢量做平行于其自身的移动则这个矢量不变。

按照平行四边形法则定义矢量和，同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量，如图所示。

定义两个矢量F 与v
的点积为
()
v F v F v F ,cos =⋅
(1.2.1)
在三维空间的笛卡尔坐标系xyz 中也可以写成
z z y y x x v F v F v F v F ++=⋅
(1.2.2)
两个矢量u 和v 的叉积（也称矢积）是垂直于u 、v 构成的平面的另一个矢量w。

定义
z
y
x
z y x
v v v u u u k j i
v u w =⨯= (1.2.3)
定义三个矢量u 、v 、w
的混合积是
[]()()z
z
z
y y y x x x z y
x
z y x
z y x
w v u w v u w v u w w w v v v u u u w v u w v u w v u ==⨯⋅=⋅⨯= (1.2.3)
另外，可以证明混合积的物理意义是以u 、v 、w
为三个棱边所围成的平行六面体的体积。

1.3 斜角直线坐标系
为了便于定量求解某个物理问题，人们常需要选择不同的坐标系描述物理量及其遵循的客观规律。

除了大家都熟悉的笛卡尔坐标系外，还可以选择非正交的或非直线坐标系。

1.3.1 平面内的斜角直线坐标系
图1-6表示平面内直线坐标系21x x （其中x 右上角的数字代表上标，而不是幂次，以区别不同的坐标。

幂次用括号给出，如()2
1x a i ，1x 和2x 互不正交，夹角为ϕ（πϕ<），若选沿1x 与2x 的参考矢
量1g 与2g （它们可以不是单位矢量），则任意矢量P 可以用它对1g 与2g 分解的分矢量11g P 与22g P 之和来表示。

即
αααααg P g P g P g P P ==+=∑=21
2211
(1.3.1)
当选定参考矢量1g 与2g
后，自然可以确定任意矢量P 的分量1P 与2P 。

若引入沿1x 与2x 的单位矢量1i 和2i
，则有
0cos ,112212211≠=⋅=⋅=⋅=⋅ϕi i i i i i i i
(1.3.2)
222111,
i g g i g g ==
(1.3.3)
与笛卡尔坐标系不同．因1g 与2g 不是单位矢量且不正交．故矢量P 在αg
（2,1=α）上的投影不等于它的分量
()()
ϕcos 22111222111122111g P g P i i g P i g P i g P g P i P
+=⋅+=⋅+=⋅
(1.3.3)
同理，
22112cos g P g P i P +=⋅ϕ
(1.3.4)
矢量P
的分量1P 和2P 需通过式(1.3.3)和(1.3.4)联立求解得到，显然这样做是很不方便的。

为此，我们引入一对与()2,1=ααg
对偶的参考矢量()2,1=ααg ，满足
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅=⋅0
1
12212211g g g g g g g g
(1.3.5)
上式表明1g 与2g ，2g 与1g 分别互相正交，由图1-6可以看出，1g 与1g ，2g 与2g
的夹角都是
锐角，为ϕπ-2（当ϕ是锐角）或2π
ϕ-（当ϕ是钝角）
，故
ϕ
ααsin 1g g
=
(1.3.6)
称参考矢量()2,1=ααg
为协变基矢量，称与其对偶的参考矢量()2,1=ββg 为逆变基矢量。

它们之间满
足的关系式可以写成对偶条件：
()2,1,==⋅βαδβ
α
βαg g
(1.3.7)
式中，βαδ称为Kronecker 符号，其值为
⎩⎨
⎧≠==β
αβαδβα当当,
0,1 (1.3.8)
因此有，()ααββαP g g P g P =⋅=⋅
，统一写成
ααg P P ⋅=
(1.3.9)
同样，矢量P 还可以对逆变基矢量()2,1=ββg
分解为
ββg P P =
(1.3.10)
βP 称为矢量P
的协变矢量。

利用对偶关系式可以很方便地得到矢量的协变分量
ααg P P ⋅=
(1.3.11)
1.3.2 三维空间中的斜角直线坐标系
i i g P P =
(1.3.12)
再根据对偶条件引入一组逆变基矢量()3,1=i g i
，其对偶条件可以写作
()3,1,==⋅j i g g i j
j i δ
(1.3.13)
很显然， i i g P P ⋅= (1.3.14)
i
i
g P P ⋅=
(1.3.15)
1.4 曲线坐标系
1.4.1 曲线坐标系
许多物理问题的求解往往离不开除笛卡尔坐标系外的其他坐标系，如平面极坐标系、空间圆柱坐标系和球坐标系等，这些坐标系可以统称为曲线坐标系。

设()3,2,1=i x i 为三维空间的曲线坐标系，则空间任意点P 的矢径r
是坐标的函数，即
()
321,,x x x r r
=
(1.4.1)
考察从P 点出发的微线元r d
，写成矢量微分形式为
i i dx x
r dx x r dx x r dx x r r d ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=
332
211
(1.4.2)
现在定义坐标微分的矢量因子为协变基矢量，记做()3,1=i g i
，即
i i x
r g ∂∂=
(1.4.3)
这样，式(1.4.2)就可以写成
i i dx g r d =
(1.4.2)
显然，按式(1.4.2)定义的协变基矢量包括了直线坐标系中关于基矢量的定义。

事实上，任一直线坐标系的矢径都是i i x g r =，其微分式为i i dx g r d =（因为直线坐标系的i g
不变），所以与现在所讨论
的曲线坐标系中的情况完全一致。

值得强调的是，一般曲线坐标系的基矢量与点的位置有关，在不同的点处，基矢量是不同的。

因此，把矢量分解时应考虑到矢量的作用点，只有按作用点处的基矢量进行分解才是有意义的。

也就是说，曲线坐标系不是整体的。

我们把这种协变基矢量和逆变基矢量称为局部的。

2 微分算符和积分定理
标量场的微分和积分分别反映了标量场的局部和整体特性。

同样，有必要研究张量场的微分和积分规律。

2.1 微分算符
Hamilton 算符：
k k x
g ∂∂
=∇
(2.1.1)
仅考虑笛卡尔坐标系。

1． 梯度
i i
e x ∂∂=
∇ϕϕ (2.1.2a)
i
i
x e ∂∂=∇ϕ
ϕ (2.1.2a)
显然，标量场中，梯度ϕϕ∇=∇。

()j i j i j i j i j j i i j j e e v e e x v e x e v e x v v
,=∂∂=∂∂=∂∂=∇
(2.1.3a)
()j i j i j i i
j i j j i i i e e v e e x v x e v e x v e v
∂=∂∂=∂∂=∂∂=∇
(2.1.3b)
显然，矢量场，()T
v v ∇=∇。

()k j i k ij k j i k ij j k k i ij k k e e e T e e e x T e x e e T e x T T ,ˆˆ=∂∂=∂∂=∂∂=∇
(2.1.4a)
()k j i jk i k j i i
jk i k j jk i i i e e e T e e e x T x e e T e x T e T ∂=∂∂=∂∂=∂∂=∇ˆˆ (2.1.4b)
显然，T T
ˆˆ∇≠∇。

2． 散度和旋度
散度：()()i i j j
i i j j v e x e v e x v v v tr ,=∂∂=⋅∂∂=∇⋅=∇
(2.1.5a)
()()i i i
i
i j j i i i v x v x e v e x v e v v tr ∂=∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=⋅∇=∇
(2.1.5b)
显然，散度v v
⋅∇=∇⋅。

旋度：k ijk j i j i i
j i i e e v e e x v x v e v
∂=⨯∂∂=∂∂⨯=⨯∇
(2.1.6a)
()k ijk j i j i j i j j
i i j j e e v e e v e x e v e x v v
,,=⨯=⨯∂∂=⨯∂∂=∇⨯
(2.1.6b)
由置换符号的性质可知，v v
⨯-∇=∇⨯。

()i j ij k j i k ij j k k i ij k k e T e e e x T e x e e T e x T T ,ˆˆ=⋅∂∂=⋅∂∂=⋅∂∂=∇⋅
(2.1.7a)
()k ik i k j i i
jk i k j jk i
i i e T e e e x T x e e T e x T e T ∂=⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=⋅∇ˆˆ (2.1.7b)
()l i jkl k ij k j i k ij j k k i ij k k e e e T e e e x T e x e e T e x T T ,ˆˆ=⨯∂∂=⨯∂∂=⨯∂∂=∇⨯ (2.1.8a)
()k l ijl ik i k j i i
jk i k j jk i
i i e e e T e e e x T x e e T e x T e T ∂=⨯∂∂=∂∂⨯=∂∂⨯=⨯∇ˆˆ (2.1.8b)
2.2 积分定理
首先引入向量分析中的两个积分定理，然后给出以它们为基础发展来的一些结论。

Green-Gauss （格林—高斯）定理： ()⎰⎰⋅=⋅∇S V dS n u dV u
(2.2.1)
证明：
()()()⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=++=++=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+
∂∂+∂∂==⋅∇S
S
u S
u S V V i i V S
d u dS n u dS n du dS n du dS n du dxdy du dxdz du dydz du dxdydz z u y
u x
u dxdydz u dV u
3
32
21
13
2
1
321,
推广公式： ⎰⎰⋅=
⋅∇S
V
T S d T
dV ˆˆ
，⎰
⎰⋅=∇⋅S
V S d T T dV ˆˆ (2.2.2) ⎰⎰=∇S
V
T S d T dV ˆˆ ，⎰⎰=∇S
V
S d T T dV
ˆˆ
(2.2.3)
T S d T dV S
V
ˆˆ⨯=⨯∇⎰⎰ ，T S d T dV S
V
ˆˆ⨯=⨯∇⎰
⎰ (2.2.4)
Stokes 公式：
()⎰⎰
⋅=⨯∇⋅l
S
u l u S d
(2.2.5)
推广公式：
()
T l T S d l S
ˆˆ⎰⎰
⋅=⨯∇⋅ ，()
⎰
⎰⋅-=⋅∇⨯l
S
l d T S d T ˆˆ (2.2.6)
3 流体动力学基础
3.1 流体运动的描述
描述流体运动有两种方法；拉格朗日（Lagrange, J.L ）法和欧拉（Euler, L ）法。

介绍。

3.1.1 拉格朗日法
拉格朗日法从整个流体运动是无数个质点运动的总和出发，以个别质点为观察对象来描述，再将每个质点的运动情况汇总起来，就描述了流体的整个流动。

拉格朗日法为识别所观察的质点，用起始时刻0t t =时的坐标c b a 、、作为该质点的标记，如图3.1所示，该质点的位移是起始坐标和时间变量的连续函数，即
()
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧===t c b a z z t c b a y y t c b a x x ,,,,,,,,, (3.1.1)
式(3.1.1)是个别质点的轨迹方程，式中：c b a 、、称为拉格朗日变数。

将式(3.1.1)对时间求偏导数，在求导过程中c b a 、、视为常数，便得到该质点的速度式(3.1.2)和加速度式(3.1.3)
()()()⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=t t c b a z t z u t t c b a y t y u t t c b a x t x u z y x ,,,,,,,,, (3.1.2)
()()()⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧∂∂=∂∂=
∂∂=∂∂=
∂∂=∂∂=
t t c b a z t u a t t c b a y t u a t t c b a x t u a z z y y x x ,,,,,,,,,222 (3.1.3)
拉格朗日法实质上是应用质点动力学的方法来研究连续介质的运动，这种方法物理概念清晰、理论上能直接得出各质点的运动轨迹及其运动参数在运动过程中的变化，但在数学上常常会遇到很大的困难。

在实际应用中，大多数工程问题并不需要知道每个质点运动的全过程，例如工程中的管流问题，一般只要求知道若干个控制断面上的流速、流量及压强的变化就够了，正因为如此，除个别的流动问题外，都应用欧拉法。

3.1.2 欧拉法
欧拉法是以流体运动的空间点作为观察对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，再将每个时刻的情况汇总起来．就描述了整个运动。

由于欧拉法以流动空间作为观察对象，每个时刻各空间点都有确定的物理量。

这样的空间区域称为流场，包括速度场、压强场、密度场等，表示为：()t z y x u u ,,,
=
()()()⎪
⎩⎪
⎨⎧===t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x ,,,,,,,,, (3.1.4)
()
()
t z y x t z y x p p ,,,,,,ρρ== (3.1.5)
式中，坐标()z y x ,,和时间变量t 称为欧拉变数。

欧拉法广泛应用于描述流体运动，例如天气预报，就是由分布在各地的气象台（站）在规定的同一时刻进行观测，并把观测到的气象资料汇总，绘制成该时刻的天气图，据此作出预报，这样的方法实际上就是欧拉法。

3.1.3 流体质点的加速度
拉格朗日法以个别质点为对象，式(3.1.3)是该质点（起始坐标c b a 、、)的加速度表达式。

下面讨论欧拉法质点加速度的表达式。

为求质点的加速度．就要跟踪观察这个质点沿程速度的变化。

这样一来．欧拉法速度表达式(3.1.4)中的坐标()z y x ,,就是质点运动轨迹经过的空间点坐标，不能视为常数，而是时间t 的函数：()t x x =、()t y y =、()t z z =，所以加速度应按复合函数求导法导出。

加速度在x 方向的分量．由式(3.1.4)
dt
dz
z u dt dy y u dt dx x u t u dt du a x x x x x x ∂∂+
∂∂+∂∂+∂∂==
(3.1.6)
故
z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z
z z y z x z z y
z
y y y x y y x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=
(3.1.7)
式(3.1.7)是欧拉法描述流体运动时质点加速度的三个分量表达式。

由式(3.1.7)可以看出，质点的加速度是由两部分组成的，前面的一项t
u t u t u z
y x ∂∂∂∂∂∂、、是速度场随时间变化而引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度；其余各项
z
u
u y u u x u u z u u y u u x u u z u u y u u x u u z z z y z x y z y y y x x z x y x x
∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂、、 是速度场随位置变化而引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度。

3.2 欧拉法的基本概念
3.2.1 流动的分类
欧拉法描述流体运动，各运动参数是空间坐标和时间变量的函数，如()t z y x u u ,,,
=，
()t z y x p p ,,,=。

在欧拉法的范畴内，可以按不同的时空标准对流动进行分类。

1．恒定流和非恒定流
以时间为标准，若各空间点上的运动参数（速度、压强、密度等）都不随时间变化的流动是恒定流，反之是非恒定流。

对于恒定流，流场方程简化为
()()()
z y x z y x p p z y x u u ,,,,,,ρρ===
(3.2.1)
比较恒定流与非恒定流，前者欧拉法变数中去掉时间变量t ，使问题的求解大为简化。

实际上程中，多数水、气系统正常运行时是恒定流，或虽然是非恒定流，但运动参数随时间的变化缓慢，仍可以近似按恒定流处理。

2．一元、二元和三元流动
以空间为标准，若各空间点上的运动参数（主要是速度）是三个空间坐标和时间变量的函数，即()t z y x u u ,,,
=，该流动是三元流动。

若各空间点上的速度都平行于某一平面，且运动参数在该平面的垂直方向无变化，令Oz 轴垂直于该平面，则0=z u ，
0=∂∂=
∂∂z
u z
u z y ，运动参数只是两个空间坐标和时间变量的函数，()t y x u u ,,
=。

若运动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，如管道和渠道内的流动。

流动方向的尺度远大于横向尺寸，忽略各断面上运动参数的横向变化，各参数的断面平均值（如断面平均速度）是曲线坐标s 和时间变量的函数()t s v v ,
=，这样的流动是一元流动。

3.2.2 流线
1．流线的概念
为了将流动的数学描述转换成流动图像，特引入流线的概念。

所谓流线是表示某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切，如图3.5所示。

理论上流线可以用几何方法作出，如图3.6所示。

2．流线和迹线
流体质点在一段时间内的运动轨迹称为迹线。

流线和迹线是两个不同的概念，但恒定流流线不随时间变化，通过同一点的流线和迹线在几何上是一致的，两者重合；非恒定流，一般情况下流线和迹线不重合，个别情况，流场速度方向不随时间变化，只是速度大小随时间变化，这时流线和迹线仍相重合。

3.2.3 流管、过流断面、元流和总流
1．流管与流束
某时刻，在流场内任意作—封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状曲面称为流管，充满流体的流管称为流束，如图3.10所示。

因为流线不能相交，所以流体不能由流管的侧表面出入。

由于恒定流中流线的形状不随时间变化，所以恒定流的流管、流束的形状也不随时间变化。

2．过流断面
在流束上作出的与所有流线正交的横断面是过流断面，或称过水断面。

过流断面不都是平面，如图3.11所示。

在流线为平行直线的均匀流段，过流断面是平面
3．元流和总流
元流是过流断面无限小的流束，其几何特征与流线相同。

由于元流的过流断面无限小，断面上
各点的运动参数如z （位置高度）、u （速度）、p （压强）均相同。

总流是过流断面为有限大小的流束，是由无数元流构成的，断面上各点的运动参数不相同。

许多流动现象，如水在管道、渠道和河道中的流动都归属于总流。

3.2.4 流量、断面平均流速
1．流量
单位时间通过流束某—过流断面的流体量称为该断面的流量。

若通过的量以体积计量。

就是体积流量，简称流量；若通过的流体量以质量计量，就是质量流星；若通过的流体量以重量计量，就是重量流量。

udA dQ =
⎰⎰==A
udA dQ Q
(3.2.2)
对于均质不可压缩流体，密度ρ为常数，于是
质量流量： Q Q m ρ= (3.2.3) 重量流量： gQ Q G ρ=
(3.2.4)
2．断面平均流速 vA udA Q A
==⎰
(3.2.5)
或
A
Q
v =
(3.2.6)
式(3.2.5)在数学分析中是曲面积分的中恒定理。

3.3 连续性方程
连续性方程是流体力学中的基本方程之一，是质量守恒原理流体力学的表达式。

3.3.1 连续性微分方程
下面推导不可压缩流体的连续性微分方程。

dt 时间控制体内，来自Ox 方向的质量增加量为
dxdydzdt x u dydzdt dx x u u dydzdt dx x u u m x x x x x x ∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∆ρρρ2121
同理，dt 时间控制体内，来自Oy 、Oz 方向的质量增加量为
dxdydzdt
z
u m dxdydzdt y
u m z
z y
y ∂∂-=∆∂∂-=∆ρρ
因为流体是连续介质，且不可压缩，根据质量守恒原理，微元控制体内流体质量保持不变，必是流入的质量等于流出的质量，即控制体内质量的增加量总和为零
0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∆dxdydzdt z u y u x u m z y x ρ
得到
0=∂∂+∂∂+∂∂z
u y u x u z
y x (3.3.1)
式(3.3.1)为不可压缩流体的连续性微分方程，是质量守恒原理的流体力学表达式（微分形式），是控制流体运动的基本方程之一，任何可能出现的不可压缩流体运动，必满足该方程。

连续性方程是不涉及作用力的运动学方程，对无粘性流体或粘性流体都适用。

3.3.2 恒定总流的连续性方程
恒定总流的连续性方程，可以由连续性微分方程对所取总流控制体积分得到。

也可以直接用总
流分析的方法导出，后者物理概念清楚，易于理解，这里就用总流分析的方法推导恒定总流的连续性方程。

恒定流动，所取元流的形状、位置不随时间变化，其中各点的运动参数不随时间变化；流体不能由元流的侧壁流人或流出；流体是连续介质，元流内部无空隙。

根据质量守恒原理，dt 时间由1dA 断面流入的流体质量必等于由2dA 断面流出的流体质量，故 dt dA u dt dA u 222111ρρ=
则， 222111dA u dA u ρρ=
(3.3.2)
或
常数=udA ρ
式(3.3.2)是恒定流动元流的连续性方程，对于不可压缩流体21ρρ=，式(3.3.2)化简为不可压缩流体，元流的连续性方程为
2211dA u dA u =
(3.3.3)
表明元流各过流断面的流量相等，速度与断面面积成反比。

由此可见，流场中流线密集的地方流速大，流线稀疏的地方流速小，流线疏密走向能反映速度的变化。

总流的连续性方程： Q dA u dA u A A ==⎰⎰
2
1
2211
(3.3.4)
或
2211A v A v =
(3.3.5)
总流的连续性方程是质量守恒原理的流体力学表达式（总流积分形式），是控制总流运动的基本方程之一。

3.4流体的运动微分方程
连续性方程是控制流体运动的运动学方程，还需建少控制流体运动的动力学方程。

3.4.1 无粘性流体运动微分方程
1．无粘性流体的动压强
在推导无粘性流体运动微分方程之前，先对无粘性流体运动时的应力状念加以讨论，因为流体无粘性，运动时内部流层间不出现剪应力，只有压应力，即动压强。

动压强的大小与作用面的方位无关．是空间坐标和时间变量的函数，即()t z y x p p ,,,=。

2．无粘性流体运动微分方程
表面力：无粘性流体不存在剪应力，只有压强。

Ox 方向受压面（abcd 面和d c b a ''''面）中心点的压强为
22
dx
x p p p dx x p p p N M ∂∂+
=∂∂-
=
受压面上的压力
dydz
p P dydz p P N N M M ==
质量力
dxdydz X F X ρθ=
根据牛顿第二定律，作用于物体的力等于物体的质量与加速度的乘积。

在Ox 方向有 dt
du m
F P P x
X N M =+-θ
即
dt du dxdydz dxdydz X dydz dx x p p dx x p p x ρρ=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-22
化简，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-=∂∂-=∂∂-dt du z p Z dt du y p Y dt du x p X z
y
x ρρρ111 （3.4.1）
将加速度项表示为欧拉法表达式
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-
∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z u u y u u x u u t u z p Z z u u y u u x u u t u y p Y z u u y u u x u u t u x p X z z z y z x z
y z y y y x y
x z x y x x x ρρρ111 （3.4.2）
式(3.4.2)即为无粘性流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。

式(3.4.2)是牛顿第二定律的表达式，因此是控制无粘性流体运动的基本方程式。

3.4.2 粘性流体运动微分方程
1．粘性流体的动压强
粘性流体的应力状态和无粘性流体不同。

由于粘性作用，运动时流体内部存在剪应力，同时使任一点压应力的大小与作用面的方位有关，如以应力符号的第一个下角标表示作用面的方位，第二个下角标表示应力的方向，一般情况下，压应力zz yy xx p p p ≠≠，进一步的研究表明，同一点任意三个正交面上的压应力之和都不变，即
332211p p p p p p zz yy xx ++=++
据此，在粘性流体中，把某点三个正交面上的压应力的平均值定义为该点的动压强，仍以符号p 表示，这样一来，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数
()zz yy xx p p p p ++=
3
1
（3.4.3）
()t z y x p p ,,,=
2．粘性流体的运动微分方程
采用类似推导无粘性流体运动微分方程式的方法。

考虑剪应力的作用，根据牛顿第二定律，可以导出粘性流体运动微分方程（推导过程从略）
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇+∂∂-
∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇+∂∂-z u u y u u x u u t u u v z p
Z z u u y u u x u u t u u v y p Y z u u y u u x u u t u u v x p X z z z y z x z z y z
y y y x y y x z x y x x x x 22
2
111ρρρ （3.4.4）
式中，v 为流体的运动粘度，2∇为拉普拉斯算子符号。

3.5 元流的伯努利方程
3.5.1 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分
由无粘性流体运动微分方程式(3.4.1)
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-=∂∂-=∂∂-dt du z p Z dt du y p Y dt du x p X z
y
x ρρρ111
各式相加，得
dz dt du dy dt du dx dt du dz z p dy y p dx x p Zdz Ydy Xdx z y x
++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-
++ρ1 (a)
引入限定条件：
1． 作用在流体上的质量力只有重力，即 g Z Y X -===,0 则
gdz Zdz Ydy Xdx -=++ (b)
2． 不可压缩流体，恒定流，即
()z y x p p ,,==常数，ρ
则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ρρρp d dp dz z p dy y p dx x p 1
1 (c)
3． 恒定流动，流线与迹线重合，故有
dt u dz dt u dy dt u dx z y x ===,,
于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=++=++222222u d u u u d du u du u du u dz dt du dy dt du dx dt du z y x z z y y x x z
y x (d)
将(b-d)代入(a)，得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22u d p d gdz ρ
积分，得
C g
u g p z =++22
ρ
(3.5.1)
或
g
u g p z g u g p z 222
2
222111++=++ρρ
(3.5.2)
上述无粘性流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分。

所得式(3.5.1)或式(3.5.2)称为伯努利方程。

3.5.2 粘性流体运动微分方程的伯努利积分
设v
h '为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒原理，便可以得到粘性流体元流的伯努利方程
v
h g
u g p z g u g p z '+++=++222
2
222111ρρ (3.5.3)
3.6 总流的伯努利方程
3.6.1 均匀流及其性质
凡流线是平行直线的流动为均匀流，否则为非均匀流，流体在等直径的直线管道中流动就是常见的均匀流。

均匀流有以下性质：
1．由于流线是平行直线，故过流断面是平面，面上各点的速度方向平行。

2．均匀流中，同一流线上各点的速度相等，从而各过流断面上的速度分市相同，断面平均速度相等，如图3.22所示。

3．均匀流同一过流断面上，动压强的分布规律与静压强分布规律相同，即面上各点
C g
p
z =+
ρ
3.6.2 非均匀渐变流和急变流
在非均匀流中，流线的曲率很小，流线间的夹角也很小的流动，即流线近似于平行直线的流动是非均匀渐变流，否则是急变流，如图3.24所示。

渐变流是接近于均匀流的非均匀流，因此，前述均匀流的各项性质，对渐变流都近似成立、渐变流并没有准确的界定标准，流动是否按渐变流处理，以所得结果能否满足工程要求的精度而定．便于工程应用。

3.6.3 总流的伯努利方程
设恒定总流，过流断面1-l 、2-2为渐变流断面，面积为1A 、2A ，如图3.25所示。

在总流内任取元流，过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别是1111u p z dA 、、、；2222u p z dA 、、、。

由元流的伯努利方程式(3.5.3)，以重量流量2211dA gu dA gu gdQ ρρρ==相乘，得
gdQ h gdQ g u g p z gdQ g u g p z v ρρρρρ'+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++222
2222111
总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分，便得到单位时间内通过总流两过流断面的总能量关系
⎰⎰⎰⎰⎰'++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Q v
A A A A gdQ h dA gu g u dA gu g p z dA gu g u dA gu g p z ρρρρρρρ1211222
2
22221121111122 (a)
可以分别确定式中三种类型的积分。

1．势能积分
因所取过流断面是渐变流断面，面上各点单位重量流体的总势能相等，C g
p
z =+
ρ，于是 gQ g p z udA g g p z gudA g p z A A ρρρρρρ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ (b)
2．动能积分
⎰
⎰
=A
A
gdA g
u gudA g
u ρρ2232 (c)
面上各点的速度u 不同，对此引入修正系数，积分按断面平均速度v 计算
gQ g
v gvA g
v gdA g
u A
ραραρ2222
2
3=
=
⎰
(c)
式中：α是为修正以断面平均速度计算的动能与实际动能的差异而引入的修正系数，称为动能修正系数。

3．水头损失积分
gQ h gdQ h v
Q
v
ρρ='⎰
(d)
式中，v h 为总流的水头损失。

gQ h gQ g v gQ g p z gQ g v gQ g p z v ρραρρραρρ++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22
22222121111122
两断面间无分流及汇流，即Q Q Q ==21。

则，
v h g
v g p z g v g p z +++=++222
2
22221111αραρ
(3.6.1)
3.6.4 水头线
水头线是总流沿程能量变化的几何图示，如图3.26所示。

总水头线是沿程各断面总水头g
v g p z H 22
αρ++=的连线，粘性流体的总水头线沿程单调下降，下降的快慢用水力坡度J 表示，J 是单位流程内的水头损失
dl dh dl dH J v =-= (3.6.2)。