离散数学-3-5 关系及其表示

MR=
其关系图是：
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二、关系矩阵和关系图
例 设A=1,2,3,4，R是A的二元关系，定义为： R=<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1> 写出A上二元关系R的关系矩阵。 1 0 0 1 解：R的关系矩阵为： MR=
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
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二、关系矩阵和关系图
设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到 Y的一个二元关系。则对应于关系R有一个关系矩阵 R=[rij]mn，其中 关系矩阵M 关系矩阵
1 rij = 0
< xi , y j >∈ R < xi , y j >∉ R
(i=1,2,…，m；j=1,2,…，n) 设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到 Y的一个二元关系。在平面上作m个结点分别记作x1,x2,…,xm，然后另 作n个结点分别记作y1,y2,…,yn。如果xi Ryi，则可自结点xi至结点yj处 作一有向弧，其箭头指向yj ，如果xi Ryi ，则xi至yj处没有线段联结。 例：设A={a1,a2},B={b1,b2,b3},R={〈a1,b1〉,〈a2,b1〉,〈a1,b3〉, 〈a2,b2〉},则其关系矩阵为：
ranR = { y | (∃x )(< x, y >∈ R )}
R的前域和值域一起称作R的域 的域，记作FLD R即 的域 FLD R=domR∪ranR 例题1 例题 P106
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一、关系的概念
定义3-5.3 令X和Y是任意两个集合，直积X╳Y的子集R 定义 的关系。 称作X到Y的关系 到 的关系 例如：X到Y的关系R可用下图表示：
定义352令r为二元关系由xy的所有x组成的集合domr称为r有前域即使的所有y组成的集合ranr称作r的值域即r的前域和值域一起称作r的域记作fldfldrdomrranr例题1p106定义353令x和y是任意两个集合直积xy的子集r称作x到y的关系
第三章 集合与关系
3-5 关系及其表示 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
其关系图是：
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二、关系矩阵和关系图
例 设A=a1,a2,a3,a4，B=b1,b2,b3，R是A到B的二元关系，定义为： R=<a1,b1>,<a1,b3>,<a2,b2>,<a2,b3>,<a3,b1>,<a4,b1>,<a4,b2> 写出R的关系矩阵。 解：R的关系矩阵为：
1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0
1 0 1 MR = 1 1 0
其关系图： 其关系图：
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二、关系矩阵和关系图
例如：设R={<1,2>,<1,1>,<2,3>,<3,1>,<3,4>,<4,4>}是 X={1,2,3,4}上的关系，则其关系矩阵是：
1 0 MR = 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
其关系图为：
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二、关系矩阵和关系图
关系图主要表达结点与结点之间的邻接关 系，故关系图中对结点位置和线的长短无 关。
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本课小结
关系，前域，值域，关系的域。 二元关系。 恒等关系。 关系矩阵和关系图。
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作业
P110 （4）
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显然：domR ⊆ A, ranR ⊆ B, FLDR = domR U ranR ⊆ A U B
约定：X╳Y的两个平凡子集X╳Y和∅ ，分别称为从X到 全域关系和空关系 Y的全域关系 空关系。 全域关系 空关系
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一、关系的概念
考虑集合{2，3，5，9}上的小于关系“<”， 为了形象起见，我们用一条从i到j的有向线 段表示关系“i<j”.2来自9355
一、关系的概念
当X=Y，关系R是X╳X的子集，这时称R为X上的 R 二元关系。 二元关系
通常A上不同二元关系的数目依赖于A的基数，若 A=n（A表示A的元素数），则A×A= n2 。 n2 |A×A|=2 对幂集，则有|P (A×A) |=2 | (A A) ，即A×A的子集有 A A 2 2 2n个。所以具有n个元素的有限集A上有2 n 种二元关系。
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日常生活中，大家熟知一些常见关系，例：家庭 集合，有父子关系、夫妻关系等。全校同学作为 一个集合，有同班关系，同组关系。 在计算机科学中，在计算机逻辑设计中，应用了 等价关系，相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构中也有关系。
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一、关系的概念
关系是一个基本概念，即多个客体间的某种联系。 关系是一个基本概念，即多个客体间的某种联系。序偶可以 表达这个概念。 表达这个概念。 P105 定义 定义3-5.1 任意的序偶的集合确定了一个二元关系 二元关系 R，R中任一序偶<x,y >可记作<x,y >∈R或xRy。不在R ∈ 或 中的任一序偶<x,y >可记 <x,y> ∈R或xRy。 定义3-5.2 令R为二元关系，由<x,y >∈R 的所有x组成的 定义 集合domR称为R有前域 前域，即 前域 domR = {x | (∃y )(< x, y >∈ R )} 使的所有y组成的集合ranR称作R的值域 值域，即 值域
例如 A={0, 1, 2}，则在A上可定义 2 =512个不同 的关系。 P107 例题2 例题3
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一、关系的概念
P107 定义 定义3-5.4 设Ix是X是的二关系且满足Ix={< x, x >| x ∈ X } ，则 恒等关系。 称Ix是X上的恒等关系 恒等关系 例如： A={1，2，3}，IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>} *关系是序偶的集合，同一域上的关系可以进行集合的所有运算，结果是 一个关系。P107 例题4 P107 定理 定理3-5.1 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关系，则Z、S的 并、交、差仍是X到Y的关系。 证明：因Z⊆ X × Y, S⊆ X × Y 故 Z∪S ⊆ X × Y, Z∩S ⊆ X × Y ∼S=(X×Y-S)⊆ X× Y Z-S=Z∩∼S⊆ X × Y X到Y的关系R是X╳Y的子集，如果令X和Y为有限集，则二元关系R 还可以用矩阵或图形表示。