2021年高考数学真题试卷(浙江卷)附答案解析

，
的中点，则（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
与直线 与直线 与直线 与直线
7.已知函数
垂直，直线 平行，直线 相交，直线 异面，直线
平面 平面 平面 平面
，则图象为如图的函数可能是（ ）
A.
B.
8.已知
是互不相同的锐角，则在
大值是（ ）
A. 0
B. 1
9.已知
，函数
点 的轨迹是（ ）
等腰梯形
，
，其高为 1，底面为
该等腰梯形的上底为 ，下底为 ，腰长为 1，故梯形的高为
，
故
，
故答案为：A.
【分析】先由三视图，用三色线法还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。
5.【解析】【解答】画出满足约束条件
的可行域，
如下图所示：
将目标函数
化为
，由
，解得
，即
，
当直线
过 点时，
取得最小值为
.
故答案为：B. 【分析】先画出可行域，然后由目标函数，作出直线
.
13.已知平面向量
满足
.记向量 在
方向
上的投影分别为 x ， y ，
在 方向上的投影为 z ， 则
的最小值为
.
14.已知多项式
，则
，
.
15.在
中，
，M 是 的中点，
，则
，
. 16.袋中有 4 个红球 m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是
红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则
，
.
17.已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交
于点 P
，且
轴，则该直线的斜率是
，椭圆的离心率是
.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（共
5 题；共 74 分）
18.设函数
.
1 求函数
的最小正周期；
2 求函数
在
上的最大值.
19.如图，在四棱锥
【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，
对于B：若 A 知
这显然不平行，所以B 不正确；
对于C：显然， 直线
与直线
是异面直线，故 C 错误；
对于Ｄ：由 B 知，MN 不垂直平面 BDD1B1。
7.【解析】【解答】显然,图中函数是奇函数,
对于A，显然
，该函数为非奇非偶函数，所以与图不符合,排除A；
对于B，
，该函数也是为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 B；
对于 C，
当
时，
，则
， ，与图象不符，排除 C.
对于 D,
性质，故 D 正确. 故答案为：D.
将
代入可计算得 y/<0,满足该图象在该点附近递减的
【分析】由 A,B 解析式都是非奇非偶函数，可以判断 A,B 错；
对于C，先对
求导，然后计算当
所以C 错，故选 D. 8.【解析】【解答】因为 已知
因为
所以
,
即
, 又因为
则 AB||MN,于是 AB∥平面
ABCD，A 符合题意；
对于B: 由 A 知,A1D 与 D1B 垂直，故 B 不符合题意； 对于 C: A1D 与 D1B 是异面的, 不平行，故 C 不符合题意； 对于 D: A1D 与 D1B 异面正确,但显然与平面BDB1D1 不垂直，故 D 不符合题意； 故答案为：A.
恒成 ，
（1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B 两点，斜率为2的直线l与直线
，x 轴依次交于点P ，
Q ，R ，N ，且
，求直线 l 在 x 轴上截距的范围.
22.设 a ， b 为实数，且
，函数
(注：
是自然对数的底数)
1 求函数
的单调区间；
2 若对任意
，函数
有两个不同的零点，求 a 的取值范围；
（3）当
时，证明：对任意
，函数 有两个不同的零点
，满足
.
答案解析部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.【解析】【解答】因为
，
,所以
.
故答案为：D.
【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。
2.【解析】【解答】因为
中，底面
是平行四边形，
，M ， N 分别为
.
的中点，
1 证明：
；
2 求直线 与平面
所成角的正弦值.
20.已知数列 的前 n 项和为 ，
，且
.
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 立，求 的范围. 21.如图，已知 F 是抛物线
，记 的前 n 项和为 ，若
对任意
的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且
而计算出结果。
，当直线过 点时，得到最优解，从
6.【解析】【解答】设正方体的棱长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(2,0,0), A1(2,0,2),
B(2,2,0), D1(0,0.2), M(1,0,1), N(1,1,1), B1(2,2,2),
对于A: 因为
，所以
利用复数相等的充分必要条件可得：
.
故答案为：C.
【分析】根据复数相等的条件，即可求得 a 的值。
3.【解析】【解答】若
若
时,
一定成立,故必要性成立,
故“
”是“
”的必要不充分条件
故答案为：B.
但 = 不一定成立, 故充分性不成立;
【分析】先将条件等式变形，可能得到条件不充分，后者显然成立。 4.【解析】【解答】由三色线法,画出几何体为如图所示的四棱柱
A. 直线和圆
B. 直线和椭圆
10.已知数列 满足
A.
B.
二、填空题（共 7 题；共 36 分）
，小正方形的面积为 ，则
C.
D.
三个值中，大于 的个数的最
C. 2
D. 3
.若
成等比数列，则平面上
C. 直线和双曲线
D. 直线和抛物线
.记数列 的前 n 项和为 ，则（ ）
C.
D.
.
12.已知
，函数
若
，则
2021 年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。（共 10 题；共 40 分）
1.设集合
，
，则
（）
A.
2.已知
，
B.
C.
，(i 为虚数单位)，则
（）
A. -1
B. 1
C. -3
3.已知非零向量
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
D. D. 3
D. 既不充分又不必要条件
A.
B. 3
5.若实数 x ， y 满足约束条件
A. -2
B.
6.如图已知正方体
C.
D.
，则
的最小值是（ ）
C.
D.
，M ， N 分别是
是互不相同的锐角, 所以
由基本不等式有
，
时，ｆ'（ ）＞０，
故
不可能均大于 .
取
，
，
，
则
，
故三式中大于 的个数的最大值为 2， 故答案为：C.
【分析】先由基本不等式 得到结果。 9.【解析】【解答】因为