北京市石景山区高考数学一模试题 理 新人教B版

2012年石景山区高三统一测试数学（理科）
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
【2012北京市石景山区一模理】1．设集合}032|{2
<--=x x x M ,}0log |{2
1<=x x N ，
则N M 等于（ ）
A ．)1,1(-
B ．)3,1(
C ．)1,0(
D ．)0,1(-
【答案】B
【解析】}31|{}032|{2
<<-=<--=x x x x x M ，}1|{}0log |{2
1>=<=x x x x N ，
所以
}
31{<<=x x N M ，答案选B.
【2012北京市石景山区一模理】2．在复平面内，复数
21i
i
-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】
i i i i i i i i 2
3
21231)1(1)1)(2(12-=-=-+--=+-）（，所以对应点在第四象限，答案选D. 3．【2012北京市石景山区一模理】圆2cos ,
2sin 2
x y θθ=⎧⎨=+⎩的圆心坐标是（ ）
【答案】A
A ．(0,2)
B ．(2,0)
C ．(0,2)-
D ．(2,0)-
【解析】消去参数θ，得圆的方程为4)2(2
2=-+y x ，所以圆心坐标为)2,0(，选A. 4【2012北京市石景山区一模理】设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A ．αα//,//,//n m n m 则若
B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥
C ．n m n m //,//,//则若αα
D ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα
【答案】D
【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。

【2012北京市石景山区一模理】5．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ）
A ．120
B ．720
C ．1440
D ．5040 【答案】B
【解析】第一次循环：2,1,1===k p k ，第二次循环：3,2,2===k p k ，第三次循环：
4,6,3===k p k ，第四次循环：5,24,4===k p k ，第五次循环：6,120,5===k p k ，第六次循环：,720,6==p k 此时条件不成立，输出720=p ，
选B.
【2012北京市石景山区一模理】6．若21
()n x x
-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）
A ．84-
B ．84
C ．36-
D ．36
【答案】B
【解析】二项展开式的系数和为5122=n
，所以9=n ，二项展开式为
k k k k k k k k k k k x C x x C x x C T )1()1()()(3189218919291-=-=-=-----+，令0318=-k ，得
6=k ，所以常数项为84)1(6697=-=C T ,选B 。

【2012北京市石景山区一模理】7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
、
A ．438+
B ．428+．238+ D ．32
3
【答案】A
【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2
的四棱锥。

四棱锥的高为3，四棱锥的体积为
3
3
23231=⨯⨯，所以组合体的体积为3
3
28+
，答案选 A. 【2012北京市石景山区一模理】8．如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个
点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个
动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积 的最大值是（ ）
A ．3
B ．16
C ．48
D ．144
【答案】C
β
α
A C B
D
P
【解析】因为APD BPC ∠=∠，所以在直角三角形PAD,PBC 中，BPC APD tan tan =,即
PB BC PA AD =,即2
1
==BC AD PB PA ,设x PB x PA 2,==，过点P 做AB 的垂线，设高为h ，
如图，
在三角形中有6
)2(2222=---h x h x ，
整
理
得
2
22412h x x -=-，
所
以
16162561614440242
=≤-+-=x x h ，所以h 的最大值为4，底面积为362
684=⨯+）（，
此时体积最大为484363
1=⨯⨯选C.
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
【2012北京市石景山区一模理】9．设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a
，且b a //，则
θ2cos = ．
【答案】3
1-
【解析】因为b a //，所以01cos 3cos =-⋅θθ，即1cos 32=θ，3
1
cos 2=θ，所以
3
11321cos 22cos 2-=-=
-=θθ。

【2012北京市石景山区一模理】10．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k =________． 【答案】10
【解析】法1：有题意知49S S =,即098765=++++a a a a a ，所以07=a ，又
7420a a a k ==+，所以10,144==+k k 。

法2：利用方程组法求解。

【2012北京市石景山区一模理】11.如图，已知圆中两条弦
AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若22DF CF ==，
::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ．
【答案】7
【解析】设AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，DF•FC=AF•BF，即k k 242222⋅=⨯，所以
1,1,8822===k k k ∴AF=4，BF=2，BE=1，AE=7，7712
=⨯=•=EA BE CE ,所以7=CE 。

【2012北京市石景山区一模理】12．设函数2
1,,2
()1
log ,2
x a x f x x x ⎧
-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1-，则实数a
的取值范围是 ． 【答案】2
1
-
≥a 【解析】因为当21≥
x 时，1log 2-≥x ，所以要使函数的最小值1-，则必须有当2
1
<x 时，1)(-≥+-=a x x f ，又函数a x x f +-=)(单调递减，所以a x f +->2
1
)(所以由
12
1
-≥+-a 得21-≥a 。

【2012北京市石景山区一模理】13．如图，圆2
2
2
:O x y π+=内的正弦曲线sin y x = 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区
域M 内的概率是 ．
【答案】
3
4
π
【解析】阴影部分的面积为4)cos (2sin 2
00
=-=⎰
ππ
x xdx ，
圆的面积为3
π，所以点A 落在区域M 内的概率是
3
4
π。

【2012北京市石景山区一模理】14．集合
B
A
E
D
F
C
{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==
现给出下列函数：①x
a y =，②x y a log =，③sin()y x a =+，④cos y ax =， 若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是 ．
【答案】①②④
【解析】由,
P M C P U = 可知
φ=⋂P M ,画出相应的图象可知，①②④满足条件。

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【2012北京市石景山区一模理】15．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若cos 22
A a =
=，求ABC ∆的面积. 【答案】解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得
C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分
∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=．……4分 ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ， ∴ 2
1cos =
B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π
=B ． …………6分
（Ⅱ）由正弦定理B
b
A a sin sin =
，得b = …………8分
由 cos 2A =
可得4
A π=，由3π
=B ，可得
sin C =
， …………11分
∴11sin 222
s ab C ==⨯=． …………13分
16．【2012北京市石景山区一模理】（本小题满分13分）
甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为
3
1
，乙每次投中的概率
为
2
1
，每人分别进行三次投篮． （Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．
【答案】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …………1分
;27832)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;943231)1(2
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ
;9
23231)2(2
2
3
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ.27131)3(3
33=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ
ξ的分布列如下表：
…………4分 127
139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ． …………5分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为8
72113
33=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ． …………8分
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，
则2121,,B B B B A =为互斥事件． …………10分
=
+=)()()(21B P B P A P 6
1819483278=⨯+⨯． 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为6
1． …………13分 【2012北京市石景山区一模理】17 ．（本小题满分14分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，
13AA =，D 为AC 的中点.
（Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；
（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值；
B 1
B
（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得
1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.
【答案】 （I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …………1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1．
∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面
BDC 1． …………4分
（II ）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0），
1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，
…………5分
设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则
110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32
n =-. …………7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………8分
1112
cos ,7n C C n C C n C C
=
=-
⨯.
∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为2
7.
…………9分
（III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.
设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分
则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,
23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩
. (12)
分
解之3,73y y =⎧⎪
⎨
=⎪⎩
∴方程组无解. …………13分
∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………14分 【2012北京市石景山区一模理】18．（本小题满分14分）
已知函数2
()2ln f x x a x =+.
（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2
()()g x f x x
=
+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x
+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分
（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.
（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； ……5分
（2）当0a <
时'()f x =
.
当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：
由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；
单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =
++得222'()2a
g x x x x
=-++
，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，
则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，
即22220a x x x -
++≤在[1,2]上恒成立. 即21
a x x ≤-在[1,2]上恒成立. …………11分
令21()h x x x =-，在[1,2]上2211
'()2(2)0h x x x x x
=--=-+<，
所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7
()(2)2
h x h ==-,
所以7
2
a ≤-. …………14分
【2012北京市石景山区一模理】19．（本小题满分13分）
已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a
1，
短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的
，求直线AB 的方程． 【答案】解：
（Ⅰ）由题意，222
1a c b a b c ⎧-=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
-------1分
解得1a c =
=. ------------2分
即：椭圆方程为.12
32
2=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线AB 与x
轴垂直时，
AB =
此时AOB S ∆= -----------4分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去
y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分
设1122(,),(,)A x y B x y ，则21222
1226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， -----------7分 所以
221)23k AB k
+=+. ------------9分 原点到直线的AB
距离
d =
所以三角形的面积12S AB d ==
由224
S k k =
⇒=⇒= ------------12分
所以直线0AB l y -=
或0AB l y +=. ---------13分 【2012北京市石景山区一模理】20．（本小题满分13分） 若数列}{n A 满足2
1n
n A A =+，
则称数列}{n A 为“平方递推数列”．已知数列}{n a 中，
21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．
（Ⅰ）证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即
)12)12)(12(21+++=n n a a a T （ ，求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；
（Ⅲ）记21log n n a n b T += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2012n S >
的n 的最小值．
【答案】解：（I ）因为222
1122,212(22)1(21)
++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a
所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” . --------2分
由以上结论2
1lg(21)lg(21)2lg(21)
n n n a a a ++=+=+，
所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列. --------3分 （II ）1
112
1lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，
11
221215,(51)2--+==-n n n n a a .
--------5分 1lg lg(21)lg(21)(21)lg 5
n n n T a a =++
++=-，
2
1
5n
n
T -=.
--------7分
（III ）11
lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n
n n
n n n T b a 1
1
222n n S n -=-+
. --------10分
11
2220122n n --+>
1
10072n n +
>
min 1007
n =.
--------13分
2012年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得
C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分
∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=．……4分 ∵ 0A π<<,
∴0sin ≠A ，
∴ 21cos =
B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3
π
=B ． …………6分
（Ⅱ）由正弦定理B
b
A a sin sin =
，得b = …………8分
由 cos 2A =
可得4
A π=，由3π
=B ，可得
sin C =
， …………11分
∴113sin 222
42
s ab C ==⨯=． …………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …………1分
;27832)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;943231)1(2
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ
;9
23231)2(2
23
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛==C P ξ.27131)3(3
33=⎪⎭⎫
⎝⎛==C P ξ
ξ的分布列如下表：
…………4分 127
139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ． …………5分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为8
72113
33=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ． …………8分
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，
则2121,,B B B B A =为互斥事件． …………10分
=
+=)()()(21B P B P A P 6
1819483278=⨯+⨯． 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为6
1． …………13分
17．（本小题满分14分）
（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …………1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//A B 1．
∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面
BDC 1． …………4分
（II ）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0），
1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，
…………5分
设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则
110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32
n =-. …………7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………8分
1112
cos ,7n C C n C C n C C
=
=-
⨯.
∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为
27
. …………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.
设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分
则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,
23(3)0
y y -=⎧⎨+-=⎩. …………12分
解之3,73y y =⎧⎪
⎨
=⎪⎩
∴方程组无解. …………13分
∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………
14分
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）2222'()2a x a
f x x x x
+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分
（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.
（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； ……5分
（2）当0a <时2('()x x f x x
+=
.
当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：
由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；
单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =
++得222'()2a
g x x x x
=-++
，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，
则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，
即22220a
x x x -
++≤在[1,2]上恒成立. 即2
1a x x
≤-在[1,2]上恒成立. …………11分
令21()h x x x =-，在[1,2]上2211
'()2(2)0h x x x x x
=--=-+<，
所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7
()(2)2
h x h ==-,
所以7
2
a ≤-
. …………14分 19．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由题意，2221
a c
b a b
c ⎧-=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
-------1分
解得1a c =
=. ------------2分
即：椭圆方程为.12
322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线AB 与x
轴垂直时，AB =
，
此时AOB S ∆=不符合题意故舍掉； -----------4分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去
y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分
设1122(,),(,)A x y B x y ，则21222
1226233623k x x k
k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， -----------7分
所以
AB =分
原点到直线的AB
距离d =
，
所以三角形的面积12S AB d ==
由224
S k k =
⇒=⇒= ------------12分
所以直线0AB l y -=
或0AB l y +=. ---------13分 20．（本小题满分13分）
解：（I ）因为2
2
2
1122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a
所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” . --------2分
由以上结论2
1lg(21)lg(21)2lg(21)
n n n a a a ++=+=+，
所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列. --------3分 （II ）1
112
1lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，
11
221215,(51)2--+==-n n n n a a .
--------5分 1lg lg(21)lg(21)(21)lg 5
n n n T a a =++
++=-，
21
5
n n T -=.
--------7分 （III ）11lg (21)lg51
2lg(21)2lg52
---===-+n n n n n n T b a
1
1
222n n S n -=-+. --------10分
1
1
2220122n n --+
>
1
10072n
n +
>
min 1007n =.
--------13分
[注：若有其它解法，请酌情给分]。