15章(2)

I
5）安培环路定理揭示稳恒磁场为有旋场。 [ 练习 ] 1、写出各回路的磁感应强度的环流。
I2
I1
I1
I2
o
L
I1
L1
L2
I3
L3

L1
B d l 0 ( I1 I 2 )


B d l 0
L

B d l
L
0 ( I 2 I1 2 I 3 )
第十五章（2）
复习
1、磁感应强度 B 的 定义:
方向 : 规定磁场中某点处小磁针 N 极所指的方向。
大小：
B F ma x qv
2、毕 -- 萨定律:
0 d B 4
ˆ I dl r r
2
B

dB
L
3、运动电荷产生的磁场:
0 qv er B 2 4 r
dx
0 Ic
2
ln
ab a
a
二、磁场的高斯定理:
若为闭合曲面，规定由里向外为法线的正方向则有:
＝ d
S

B d S
S
B
它表示，由闭合曲面穿出的磁通量为正， 进入闭合曲面内的磁通量为负。 磁场中磁感应线与闭合曲面S 的关系共有三种情况： ①与S 相离 ②与S 相交 对磁通量的贡献均为零 。
④ 利用安培环路定理分别计算 B 的环流和积分路径所包围
电流的的代数和
I内
，并判断电流的正负。
⑤ 由安培环路定理求出给定场点的磁感应强度 B 。
例题1 求无限长载流圆柱形导体的磁场。 解 由分析知电流分布为轴对称性，对圆柱外的一点P，取 r 为半径的圆周为安培环路，则有

B d l B d l B 2 r 0 I
B1

B2
设面电流密度为j。则载流平面的磁场 B
B 1 B 0－ B B 0 1 2
0 j
2
0 j
1
B2 B B0 B0
1 2
0 j
由此二式解得，
j
0
1 2
B 2
B1
B0
B1
B2
方向：
B0
小
1、安培环路定理:
a
解：距导线为x处的磁感应强度的大小为
B
b
0I
2 x
方向垂直纸面向里
I
c
在回路平面内取面元
O
x
dx
x
dS cdx
通过此面积元的磁通量为
dΦm
Ic B dS B dS 0 dx 2 x
由此得通过矩形回路的磁通量为
Φm

S
dΦ m

ab
0 Ic
2 x
B dl 0
结

E d l 0
L

L
L内
Ii
2、常用的磁场分布: 无限长载流圆柱形导体：B
0I
2 r
(r R )
B
0I
2 R
2
r
(r R )
无限长直螺线管磁场： B内 0 nI 螺绕环的磁场： 无限长载流平面： B
B内

B外 0
B
I L O
3、取一闭合积分回路L，使三根载流导线穿过它所围成的 面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则 (A) (B) (C)
回路L内的ΣI不变，L上各点的 B 回路L内的Σ I不变，L上各点的 B 回路L内的Σ I改变，L上各点的 B 回路L内的Σ I改变，L上各点的 B
2 θ1 π, θ 2 0, B μ 0nI
cos θ 2 cos θ 1
§15.3 磁场的高斯定理
一、磁通量 通过磁场中某一曲面的磁感应线的条数叫磁通量。
设磁场中某点处的磁 感应强度为 B ，
定义该点处任意面元 矢量的磁通量为
d B e n d S B cos d S
1）∑ Ii 为代数和，其中 Ii 正负的 规定： Ii 的方向与 L 的绕向成 右手螺旋关系，Ii 取正； 否则取负。
I 0
L
L L
I 0
L
2） B 是 L 内、外所有电流激发的总磁场。 但只有被 L 所围的 I 对 B 的环流有贡献。
3）安培环路定理仅适用于闭合恒定电流回路。 4）所谓包围: 以 L 为边界作任意曲面, I 一定与此面相交。
S
磁场线
en
dS
B
磁场中任意曲面 S 的磁通量


B dS
S

B cos dS
S
SI 单位:
韦伯(Wb)
1 Wb 1 T m
2
例题1 在真空中有一无限长载流直导线，电流强度为I
其旁有一矩形回路与直导线共面，如图所示，求通过该 回路所围面积的磁通量。

d c
B dl

l
a d
B dl

b a
B dl

B dl 0

c b
B d l

a d
B d l 0I 0
a
b
B bc 0 nI
d c
B bc l B da l 0
B da B bc 0 nI
0 NI
2 r
1 2
B外 0
0 j
0I
2a
作业：
B内 0 nI
无限长载流直螺线管内的磁场为均匀磁场。
再取环路b c e f ，则

B dl
bcef

c b
B dl
b f

e c
B dl

f e
B dl

b f
B dl

e c
B dl

B dl 0
0 I
2 R
(最大）
0
R
r
无限长载流圆柱面的磁场分布？？
例题2 无限长直均匀密绕载流螺线管的磁场 。 解 由电流分布的对称性知：在管内平行于轴线的任一直线 上各点的B 都相等。 选如图abcd为安培环路，则有


B dl
abcd

b a
B dl
d c

c b
B dl
解: 由分析知磁场分布为轴对称, 磁感应线 为同轴圆形曲线，与轴距离相同的各点 B大小相同，方向沿圆的切线方向。 在环内:取r 为半径的圆为积分回路 , 则
B d l
L


L
B d l B 2 r 0 NI
因而有: 环外:
B
0 NI
2 r
L
B 0
R 1 R
不变． 改变． 不变．
B
(D)
改变．
二、安培环路定理的应用： 当电流分布具有某种对称性时，可以利用安培环路定理 求解磁感应强度。 具体步骤： 分析磁场分布的对称性（轴对称、面对称）。 选择适当的安培回路，作为积分路径，积分路径必须通 过所要求的场点。 通过适当的积分路径使 B 能从 B d l 中以标量的形式 提出来。
l
f
b
e c

c b
B d l

f e
B d l 0 nIl
B bc l B ef l 0 nIl
B ef B bc B ef
0 nI 0 nI
0
B外
例题3求载流螺绕环的磁场分布 已知:
N , I , R1 , R 2
j

B dl
L


b a
B d l
d c

c b
B d l
d
Bl 0 Bl 0 0 jl
c
B
0 j
2
l
d
方向：如图所示。
B
b

B d l

a
B d l
a
B
例题5 将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁 场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为 B 1 和 B 2 。求原磁 场的磁感应强度。 [解] 流平面的磁场的方向与原均匀磁场 的方向在平面右侧是一致的，在平 面左侧是相反的，则平面上电流方 向是垂直于纸面向内。 由图可知，B 2 > B1 ，说明载
③ ② ①
③与S 相切
通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零。
高斯面上各点的磁感应强度 通过任意闭合 曲面的磁通量


B d S 0
S
磁场的高斯定理
高斯面
电场高斯定理 反映闭合曲面的电通量与所 包围电量之间的关系
1 E dS
S
磁场高斯定理 反映闭合曲面的磁通量恒 为零。
B
R
0I
2 r
(r R )
L
I
对圆柱内的一点P ′作以r 为半径的圆周为 安培环路，则有 2
B
r
P

B d l B 2 r 0
B
I
R
r
2
r
2
0
r
R
2
I
B
r
0I
2 R
2
(r R )