(统考版)高考数学二轮复习 板块2 命题区间精讲 精讲7 选考系列学案(含解析)(理)-人教版高三全

选考系列
“坐标系与参数方程”阅卷案例
思维导图
(2020·全国卷Ⅱ，T 22,10分)已知曲线C 1，C 2的参数方程
分别为C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos 2θ，
y ＝4sin 2θ，(θ为参数)，C 2：⎩⎨⎧
x ＝t ＋1t
，
y ＝t －1t
，(t 为参数).
(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.
本题考查：参数方程与普通方程的互化、圆的极坐标方程等知识，逻辑推理、数学运算等核心素养.
答题模板 标准解答 踩点得分
第1步：消参
结合参数方程的特点灵活选择方法消参，注意消参
前后的等价性.
第2步：联立
用代数及方程的思想求解曲线的交点问题.
第3步：写方程先写出直角坐标方程，再转化为极坐标方程．也可直接书写极坐标方程.
第(1)问得分点及说明：
正确求出C1，C2的普通方程各得2
分，没有注明C1的范围扣1分.
第(2)问得分点及说明：
1.正确求得点P得2分.
2.求出圆心坐标⎝⎛⎭⎫
17
10，0得2分.
3.正确写出圆的极坐标方程得2分. “不等式选讲”阅卷案例思维导图
(2020·全国卷Ⅱ，T23,10分)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)≥4，求a的取值范围.
本题考查：含绝对值的不等式等知识，逻辑逻辑、数学运算的核心素
养.
答题模板标准解答踩点得分
第1步：写成分段函数 利用零点分段法把f (x )写成分段函数.
第2步：分段解不等式 注意每段的变量取值范围. 第3步：确定函数最值
利用三角不等式求f (x )的最值.
第4步：解不等式
把恒成立问题转化为不等式问题，求解便可.
第(1)问得分点及说明：
1.把f (x )表示成分段函
数得1分.
2.每解对一个不等式得1分.
3.第(1)问结果正确得1分.
第(2)问得分点及说
明：
1.求f (x )的最小值得1分.
2.建立(a －1)2≥4得1分.
3.求出a 的范围得2分.
命题点1 坐标系与参数方程
角度一 极坐标与曲线的极坐标方程
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角
坐
标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2＝x 2＋y 2，
tan θ＝y x (x ≠0).
[高考题型全通关]
1.在极坐标系下，方程ρ＝2sin 2θ的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．
(1)当玫瑰线的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；
(2)求曲线ρ＝22
sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上的点M 与玫瑰线上的点N 距离的最小值及取得最小值时的点
M ，N 的极坐标．
[解] (1)以极点为圆心的单位圆为ρ＝1，与ρ＝2sin 2θ联立，得2sin 2θ＝1，所以sin 2θ＝1
2
， 因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以θ＝π12或5π12
， 从而得到以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π12和⎝⎛⎭⎫1，5π
12. (2)曲线ρ＝22
sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4的直角坐标方程为x ＋y ＝4.
玫瑰线ρ＝2sin 2θ极径的最大值为2，且在点N ⎝⎛⎭⎫2，π
4取得，连接ON 与x ＋y ＝4垂直且交于点M ⎝
⎛⎭⎫22，π
4(图略)，所以点M 与点N 的距离的最小值为22－2， 此时对应的点M ，N 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎫22，π4，⎝⎛⎭⎫2，π
4. [点评] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y
x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平
方法等技巧．
2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
2．(2020·眉山二诊)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，
y ＝sin α， (α为参数)，
将曲线C 经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝x ，
y 1＝2y 后得到曲线C 1.在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐
标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－5＝0.
(1)说明曲线C 1是哪一种曲线，并将曲线C 1的方程化为极坐标方程；
(2)已知点M 是曲线C 1上的任意一点，又直线l 上有两点E 和F ，且|EF |＝5，又点E 的极角为π
2
，点F 的极角为锐角．求：
①点F 的极角；
②△EMF 面积的取值范围．
[解] (1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos α，y ＝sin α (α为参数)，⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝x ，
y 1＝2y ， 则曲线C 1
的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2cos α，
y 1＝2sin α.
所以C 1的普通方程为x 21＋y 21＝4.
所以曲线C 1为圆心在原点，半径为2的圆． 所以C 1的极坐标方程为ρ2＝4，即ρ＝2.
(2)①点E 的极角为π
2，代入直线l 的极坐标方程ρcos θ＋ρsin θ－5＝0得点E 的极径为ρ
＝5，且|EF |＝5，所以△EOF 为等腰三角形，
又直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0， 又点F 的极角为锐角，所以∠FEO ＝π
4，
所以∠FOE ＝3π
8
，
所以点F 的极角为π2－3π8＝π
8
.
②法一：直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0. 曲线C 1上的点M 到直线l 的距离
d ＝
|2cos α＋2sin α－5|2
＝
⎪⎪⎪
⎪
22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－52
.
当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1，即α＝2k π＋π
4(k ∈Z )时， d 取到最小值为|22－5|2
＝522－2.
当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1，即α＝2k π－3π
4(k ∈Z )时， d 取到最大值为|－22－5|2
＝522＋2.
所以△EMF 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫522＋2＝252
4＋5；
△EMF 面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫522－2＝252
4－5.
故△EMF 面积的取值范围为⎣⎡
⎦
⎤
2524－5，2524＋5.
法二：直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.
因为圆C 1的半径为2，且圆心到直线l 的距离d ＝|0＋0－5|2＝52
2，
因为52
2
>2，所以圆C 1与直线l 相离．
所以圆C 1上的点M 到直线l 的距离最大值为d ＋r ＝522＋2，最小值为d －r ＝52
2－2.
所以△EMF 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫522＋2＝252
4＋5；
△EMF 面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫522－2＝252
4－5.
故△EMF 面积的取值范围为⎣⎡
⎦
⎤
2524－5，2524＋5.
[点评] 1.解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化．涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解．
2．数形结合的应用，即充分利用参数方程、参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
角度二 曲线的参数方程
曲线的参数方程及注意点
1．直线的参数方程
经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
t 的几何意义是OP →
的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为1
2
(t 1＋t 2)．
2．圆的参数方程
圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ
(θ为参数，0≤θ≤2π)．
3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)．
(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．
4．与参数方程有关的两个注意点
(1)将参数方程化为普通方程时忽视参数对变量x ，y 范围的限定致错．
(2)应用直线参数方程时，忽视不是直线参数方程的标准形式而用其参数t 的几何意义致错．
[高考题型全通关]
1．(2020·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝m ＋13m
，
y ＝m －1
3m
，(m 为参
数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1.
(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)已知点M ()2，0，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求1||MP ＋1
||
MQ 的值． [解] (1)由x 2＝m 2＋23＋19m 2，y 2＝m 2－23＋1
9m 2，
故x 2－y 2＝
43⇒3x 24－3y 2
4
＝1. 又直线l ：ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ－3
2sin θ＝1⇒12x －32y ＝1，
故x －3y －2＝0. (2)由k ＝tan θ＝
33⇒cos θ＝32，sin θ＝1
2
， 故直线l 的标准参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋32t ，
y ＝1
2t
(t 为参数)，将其代入曲线C 中，得1
2
t 2＋23
t ＋8
3
＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＋t 2＝－43，t 1t 2＝163，
故1||MP ＋1||MQ ＝1||t 1＋1||t 2＝||
t 1＋t 2||
t 1t 2＝334.
[点评] 参数方程化为普通方程消去参数的方法
(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．
(2)三角恒等式法：利用sin 2 α＋cos 2 α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．
(3)常见消参数的关系式：
①t ·1
t
＝1；②⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝
⎛⎭
⎪⎫1－t 2
1＋t 22＝1. 2．(2020·芜湖模拟)已知直线l ：⎩⎨⎧ x ＝t ，
y ＝－3＋3t
(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，y ＝sin θ (θ
为参数)．
(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；
(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的3
2倍，得到曲线
C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．
[解] (1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1 的交点为A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，－3
2，则|AB |＝1.
(2)曲线
C 2
的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1
2
cos θ，y ＝3
2sin θ
(θ为参数)，故点P 的坐标为
⎝⎛⎭
⎫12cos θ，32sin θ，
从而点P 到直线l 的距离是
d ＝
⎪⎪⎪
⎪
32cos θ－32sin θ－32
＝
34⎣
⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 由此当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64
.
命题点2 不等式选讲
角度一 绝对值不等式的常用解法
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .
1．(2020·深圳模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x ≤2，
1，2<x <3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.
当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔(4－x )－(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ， 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，解得－3≤a ≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围为[－3,0]． 2．(2020·吉林二模)已知函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －1|. (1)若a ＝2，解关于x 的不等式f (x )<9；
(2)若当x >0时，f (x )>1恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|
|
2x ＋1||
＋x －1
＝⎩⎨⎧ 3x ，x >1，x ＋2，－12≤x ≤1，－3x ，x <－12
， 由此可知，f (x )<9的解集为{}x |－3<x <3. (2)当a >0时，f (x )＝||
ax ＋1||＋x －1 ＝⎩⎨⎧ (a ＋1)x ，x >1，(a －1)x ＋2，－1a
≤x ≤1，－ (a ＋1)x ，x <－1a
. f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－1a 和f (1)中的最小值，其中f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝1＋1a
>1，f (1)＝a ＋1>1. 所以f (x )>1恒成立． 当a ＝0时，f (x )＝||x －1＋1≥1，且f (1)＝1，f (x )>1不恒成立，不符合题意．
当a <0时，f (1)＝||
1＋a ，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝⎪⎪⎪⎪1＋1a ， 若－2≤a <0，则f (1)≤1，
故f (x )>1不恒成立，不符合题意；
若a <－2，则f ⎝⎛⎭
⎫－1a <1， 故f (x )>1不恒成立，不符合题意．
综上，a ∈(0，＋∞).
角度二 不等式证明
证明不等式的常用方法
(1)不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法等，运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．
1．(2020·江苏一模)已知a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋1b ＋1c
＝1.证明： (1)abc ≥27；
(2)b a 2＋c b 2＋a c
2≥1. [证明] (1)∵a ，b ，c 都是正实数，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc
， 又∵1a ＋1b ＋1c
＝1， ∴331abc ≤1，即abc ≥27，得证． (2)∵a ，b ，c 都是正实数，
∴b a 2＋1b ≥2b a 2·1b ＝2a ①，c b 2＋1c ≥2c b 2·1c ＝2b ②，a c 2＋1a ≥2a c 2·1a ＝2c
③， 由①＋②＋③得，b a 2＋c b 2＋a c 2＋1b ＋1c ＋1a ≥2⎝⎛⎭
⎫1a ＋1b ＋1c ， ∴b a 2＋c b 2＋a c 2≥1a ＋1b ＋1c ＝1，得证． 2．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪
⎪x －1a . (1)证明：f (x )≥2；
(2)当a ＝12
时，f (x )≥x ＋b ，求b 的取值范围． [解] (1)证明：f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪x －1a ≥⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪1a ≥2|a |·⎪⎪⎪
⎪1a ＝2.
(2)当a ＝12时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋12＋||x －2＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋32，x ≤－12，52，－12<x <2，2x －32，x ≥2，
作出f (x )的图象，如图．
由图，可知f (x )≥x ＋b ，
当且仅当f (2)≥2＋b ，解得b ≤12
， 故b 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，12. 角度三 与绝对值不等式有关的最值问题 代数式最值的求法 (1)形如f (x )＝|Ax ＋B |±|Ax ＋C |的最值常用绝对值三角不等式求解．
(2)形如f (x )＝|Ax ＋B |±|Cx ＋D |的最值由绝对值的几何意义，转化为分段函数求最值．
(3)利用基本不等式：ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22或abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33求最值． (4)利用柯西不等式：∑n
i ＝1 (a i b i )2≤∑n i ＝1a 2i ·∑n i ＝1b 2i 求最值．
[高考题型全通关]
1．设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m .
(1)求m 的值；
(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
的最小值． [解] (1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1，
f (x )的最大值为1，∴m ＝1.
(2)由(1)可知，a ＋b ＝1，
∴a 2b ＋1＋b 2
a ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
b ＋1＋b 2a ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)]
＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1＋a 2＋b 2 ≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13
， 当且仅当a ＝b ＝12
时取等号， ∴a 2
b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13. 2．设函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |.
(1)当a ＝1时，求f (x )的图象与直线y ＝3围成区域的面积；
(2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．
[解] (1)当a ＝1时，
f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|
＝⎩⎨⎧ －3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ＜12
，3x ，x ≥1
2
， 如图，作出函数f (x )的图象与直线y ＝3，结合图象可知所求面积为12
×[1－(－1)]×⎝⎛⎭⎫3－32＝32. (2)法一：(借助分段函数的性质)
当－a ＞12，即a ＜－12
时， f (x )＝⎩⎨⎧
－3x －a ＋1，x ＜12，x －a －1，12≤x ＜－a ，3x ＋a －1，x ≥－a ，
则f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12－a －1＝1，所以a ＝－32
. 当－a ≤12，即a ≥－12时，
f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －a ＋1，x ＜－a ，－x ＋a ＋1，－a ≤x ＜12
，3x ＋a －1，x ≥12
， 则f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝3×12＋a －1＝1，所以a ＝12
. 综上，a ＝－32或a ＝12. 法二：(解恒成立问题)∵f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋a |≥⎪⎪⎪
⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪a ＋12≥⎪⎪⎪
⎪a ＋12， 当且仅当x ＝12
时取等号． 令⎪⎪⎪⎪a ＋12＝1，得a ＝12或a ＝－32.。