东莞9校联考 2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(原卷版+答案解析)

2023—2024学年度第一学期教学质量自查九年级数学试卷
说明：1．考试时间为120分钟，满分120分；
2．请把答案写在答题卡上，并按要求写在设定的方框内．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）．
A. 230x −=
B. 230x y −=
C. 22310x x −−=
D. 210x x
−−= 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 3. 将抛物线y =x 2平移得到抛物线y =x 2+3，则下列平移过程正确的是 ( )
A. 向上平移3个单位
B. 向下平移3个单位
C. 向左平移3个单位
D. 向右平移3个单位 4. 不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（ ） A. 13 B. 1
2 C. 2
3 D. 1
5. 已知点(4,2)A −
在双曲线y =
点是（ ） A. (4,2) B. (8,1)
C. (4,2)−
D. (8,1)−− 6. 如图，神奇自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A. 平移
B. 中心对称
C. 轴对称
D. 黄金分割 7. 如图，点A 、B 、C 在O 上，若38BCA ∠=°，则AOB ∠的度数为（ ）
的
的
A. 38°
B. 76°
C. 80°
D. 52°
8. 圆锥的底面圆半径是3cm ，母线长是4cm ，则圆锥的侧面积是（ ）
A. 9π
B. 12π
C. 15π
D. 20π
9. 如图，ABC 中，55BAC ∠=°，将ABC 逆时针旋转(055),αα°<<°得到ADE ，DE 交AC 于F ．当40α=°时，点D 恰好落在BC 上，此时AFE ∠等于（ ）
A. 80°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
10. 二次函数2y ax bx c ++自变量x 与函数值y 的对应关系如下表，设一元二次方程20ax bx c ++=的根为1x ，2x ，且12x x <，则下列说法正确的是（ ）
A 11.51x −<<−
B. 110.5x −<<−
C. 20.51<<x
D. 21 1.5<<x
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知反比例函数y ＝2k x
−的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是______． 12. 如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接OC ，OD ，则COD ∠=
_______________. .
13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是_________2m ．
14. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
15. 如图，抛物线()215156328
y x =−−与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点D ，点E 在y 轴上，点F C 为圆心，半径为1.5的圆上，则DE EF +的最小值是______．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程：x 2+4x+1=0．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点(4,1)A ，点(1,0)B ，点(2,2)C −．
（1）请作出ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到DBE ，其中点A ，点C 的对应点分别为点D ，点E ． （2）请直接写出（1）中点A 在旋转过程中经过的弧长为__________．
18. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
19. 已知关于x 一元二次方程()22
2110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ． （1）求k 的取值范围；
（2）若121221x x x x ++=
，求k 的值． 20. 如图，将一长方体A 放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强()Pa p 与受力
面积()2
m S 的关系如下表所示（与长方体A 相同重量的长方体均满足此关系）． 桌面所受压强()Pa p
100 200 400 800 受力面积()2m S 2 1
0.5
0.25
（1）根据以上数据，求桌面所受压强()Pa p 与受力面积()2m S 之间的函数表达式；
（2）现想将另一长、宽、高分别为0.2m ，0.1m ，0.3m ，且与长方体 相同重量的长方体按如右图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa ，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
的
21. 如图，在等边ABC 中，点D 是边AC 上一点，连接BD ，将线段BD 绕点B 按逆时针方向旋转60°后得到BE ，连接AE ．求证：
（1）ABE CBD ≌；
（2）AE BC ∥．
22. 2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，每天能销售20件，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了推广宣传，每个吉祥物的利润不允许高于进价的30%，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w （元），那么每个吉祥物公仔的售价定为多少元时该店铺可获得的利润最大？最大利润是多少元？
23. 如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠与反比例函数2(0)m y m x
=
≠的图象交于点(1,2)A 和,()2B a −，与y 轴交于点M ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出关于x 的不等式0m kx b x
−−>的解集． （3）在y 轴上取一点N ，当AMN 的面积为3时，求点N 的坐标；
五、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图AB 为O 的直径，且2AB =，点C 是弧AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作O 的
切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．
（1）若4BD =，求线段AC 的长度；
（2）求证：EC 是O 的切线；
（3）当30D ∠=°时，求图中阴影部分面积．
25. 二次函数()2
0y ax bx c a ++≠的图象，与x 轴交于原点和点E ，顶点P 的坐标为()2,4．
（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过()0,0O ，()4,0E 两点可画无数条抛物线，设顶点为Q ，过点Q 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为点M ，N ．求当所得的四边形OMQN 为正方形时的二次函数表达式；
（3）G 点在（1）中求出的二次函数图象上，且H 点的坐标为()2,2，是否存在GHE △的面积为2，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，说明理由．
2023—2024学年度第一学期教学质量自查九年级数学试卷
说明：1．考试时间为120分钟，满分120分；
2．请把答案写在答题卡上，并按要求写在设定的方框内．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）．
A. 230x −=
B. 230x y −=
C. 22310x x −−=
D. 210x x
−−= 【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含一个未知数，未知数的最高次数是2次的方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的一般形式：()2
00ax bx c a ++=≠，依次判断，即可． 【详解】A 、230x −=是一元一次方程，不符合题意；
B 、230x y −=
是二元一次方程，不符合题意； C 、22310x x −−=是一元二次方程，符合题意；
D 、210x x −−=中，含有分式2x
−，不是整式方程，不符合题意． 故选：C ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的定义，一元二次方
程的一般形式：()2
00ax bx c a ++=≠． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B ．
3. 将抛物线y =x 2平移得到抛物线y =x 2+3，则下列平移过程正确的是 ( )
A. 向上平移3个单位
B. 向下平移3个单位
C. 向左平移3个单位
D. 向右平移3个单位 【答案】A
【解析】
【详解】解：根据上下平移法则得：抛物线y =x 2向上平移3个单位得到抛物线y =x 2+3，
故选A ．
4. 不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（ ） A. 13 B. 1
2 C. 2
3 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用绿球的个数除以球的总数即为摸到绿球的概率，用到的知识
【详解】解：由题意得：共有球123+=个，绿球有2个，
∴从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为
23， 故选：C ．
5. 已知点(4,2)A −在双曲线k y x =
上，则下列各点中，在此双曲线上的点是（ ） A. (4,2)
B. (8,1)
C. (4,2)−
D. (8,1)−− 【答案】C
【解析】 【分析】本题主要求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】解：由于点(4,2)A −在双曲线k y x
=上， 428k ∴=×−=−
∴解析式为：8y x
−=， 4288×=≠− ，故(4,2)不在此双曲线上，选项A 不符合题意；
8188×=≠− ，故(8,1)不在此双曲线上，选项B 不符合题意；
428−×=− ，故(4,2)−在此双曲线上，选项C 符合题意；
8188−×−=≠− ，故(8,1)−−不在此双曲线上，选项D 不符合题意；
故选C ．
6. 如图，神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A. 平移
B. 中心对称
C. 轴对称
D. 黄金分割
【答案】D
【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部
，约等于0.618． 【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，这体现了数学中的黄金分割，
故选：D ．
7. 如图，点A 、B 、C 在O 上，若38BCA ∠=°，则AOB ∠的度数为（ ）
A. 38°
B. 76°
C. 80°
D. 52°
【答案】B
【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧
所对的圆心角的一半，即可求得．
【详解】解：2,38AOB BCA BCA ∠=
∠∠=° ， 76AOB ∴∠=°，
故选：B ．
8. 圆锥的底面圆半径是3cm ，母线长是4cm ，则圆锥的侧面积是（ ）
A. 9π
B. 12π
C. 15π
D. 20π 【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面积为：
12π3412π2
×××=， 故选：B ．
9. 如图，ABC 中，55BAC ∠=°，将ABC 逆时针旋转(055),αα°<<°得到ADE ，DE 交AC 于F ．当40α=°时，点D 恰好落在BC 上，此时AFE ∠等于（ ）
A. 80°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
【答案】B
【解析】 【分析】根据旋转可得B ADB ADE ∠=∠=∠，再结合旋转角40α=°即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得：55BAC DAE ∠=∠=°，AB AD =，
∵40α=°，
∴15DAF ∠=°，70B ADB ADE ∠=∠=∠=°，
∴85AFE DAF ADE ∠=∠+∠=°，
故选：B ．
【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．
10. 二次函数2y ax bx c ++自变量x 与函数值y 的对应关系如下表，设一元二次方程20ax bx c ++=的根为1x ，2x ，且12x x <，则下列说法正确的是（ ）
x 1.5− 1− 0.5− 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y
0.22− 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 0.22−
A. 11.51x −<<−
B. 110.5x −<<−
C. 20.51<<x
D. 21 1.5<<x
【答案】A
【解析】 【分析】根据表格找出y 的值接近0时对应的x 的值的取值范围，从而分析求解．
【详解】解：由表格可得：
当 1.51x −<<−时，0.220.13y −<<；
当2 2.5x <<时，0.220.13y −<<，
又∵一元二次方程20ax bx c ++=的根为1x ，2x ，且12x x <，
∴11.51x −<<−，22 2.5x <<，
故选：A ．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程20
ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解的近似值是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知反比例函数y ＝
2k x −的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是______． 【答案】2k >
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解．
【详解】解：∵反比例函数y ＝
2k x
−的图象位于第一、第三象限， ∴20k −>，
∴2k >；
故答案为2k >．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
12. 如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接OC ，OD ，则COD ∠=_______________.
【答案】72°##72度
【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得13605COD ∠=×°，即可求解．
【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形， ∴1360725
COD ∠=×°=°， 故答案为：72°．
13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是_________2m ．
【答案】2.25
【解析】
【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，
∵正方形的边长为3m ，
∴面积为29m ，
设不规则部分的面积为2m S ， 则=0.259
S ， 解得：225.S =，
故答案为：2.25．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
14. 三角形两边长分别是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
【答案】12
【解析】
【详解】试题分析：解方程212350x x −+=，得15=x ，27x =，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
15. 如图，抛物线()215156328
y x =−−与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点D ，点E 在y 轴上，点F 在以点C 为圆心，半径为1.5的圆上，则DE EF +的最小值是______．
【答案】23.5
【解析】
【分析】先求得点A 、B 、C 、D 的坐标，作点D 关于y 轴的对称点，连接CH 交y 轴的交点E ，交圆C 于点F ，则DE EF EH EF HF +=+=为最小值，求解HF 即可求解．
【详解】解：令0x =，则151********y =
×−=， ∴()0,15A ，
令0y =，由()2151506328x =
−−，得14x =，28x =， ∴()4,0B ，()8,0C ，
∵抛物线的对称轴为直线6x =，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点D ，
的
∴()1215,D ，
作点D 关于y 轴的对称点H ，连接CH 交y 轴的交点E ，交圆C 于点F ，则DE EH =，()
1215,H −，
∴DE EF EH EF HF +=+=为最小值，
∵25CH ==， ∴DE EF +的最小值为2515235..HF CH CF =−=−=，
故答案为：23.5．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质、两点距离坐标公式、最短路径问题，熟练掌握轴对称性质和圆的性质确定最短路径问题是解答的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程：x 2+4x+1=0．
【答案】12x =−，22x =−．
【解析】
【分析】求出b 2﹣4ac 的值，代入公式求出即可．
【详解】解：∵a=1，b=4，c=1，
∴△=42﹣4×1×1=16﹣4=12＞0，
∴2x =−±
∴12x =−，22x =−．
【点睛】考点：解一元二次方程-公式法．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点(4,1)A ，点(1,0)B ，点(2,2)C −．
（1）请作出ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到DBE ，其中点A ，点C 的对应点分别为点D ，点E ． （2）请直接写出（1）中点A 在旋转过程中经过弧长为__________．
【答案】（1）见解析 （2
【解析】
【分析】本题主要考查了作图，旋转变化，弧长公式．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）利用勾股定理求出AB 的长，再利用弧长公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图： 【小问2详解】
解：由勾股定理可得：AB =
∴点A
=．
． 18. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
的
【答案】（1）随机 （2）
16
【解析】 【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
【小问2详解】
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2， 所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率21126
==． 【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
19. 已知关于x 的一元二次方程()22
2110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ． （1）求k 的取值范围；
（2）若121221x x x x ++=
，求k 的值． 【答案】（1）34
k >
（2）1k =
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数关系得到2
1122211x x x x k k +==−−+，，再根据已知条件得到方程221221k k −−++=，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵关于x 的一元二次方程()22
2110x k x k ++++=有两个不等实数根， ∴()()2221410k k ∆=+−+>，
的
∴22441440k k k ++−−>， ∴34
k >； 【小问2详解】
解：∵关于x 的一元二次方程()22
2110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ， ∴2
1122211x x x x k k +==
−−+，， ∵121221x x x x ++=
， ∴221221k k −−++=，
∴2220k k −=，
解得1k =或0k =（舍去）
． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若12x x ，是该方程的两个实数根，则1212b c a x x x x a
+=−=，；若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．
20. 如图，将一长方体A 放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强()Pa p 与受力
面积()2
m S 的关系如下表所示（与长方体A 相同重量的长方体均满足此关系）． 桌面所受压强()Pa p
100 200 400
800 受力面积()2m S 2 1 05 0.25
（1）根据以上数据，求桌面所受压强()Pa p 与受力面积()2m S 之间的函数表达式；
（2）现想将另一长、宽、高分别为0.2m ，0.1m ，0.3m ，且与长方体 相同重量的长方体按如右图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa ，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
.
【答案】（1）200P S
= （2）不安全，理由见解析
【解析】
【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；
（2）算出S ，即可求出P ，比较可得答案．
【小问1详解】
解：由表格可知，压强P 与受力面积S 的乘积不变，故压强P 是受力面积S 的反比例函数， 设k P S
=， 将()4000.5，
代入得： 4000.5200k =×=， ∴200P S
=； 【小问2详解】
这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知()20.10.20.02m S =×=， ∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，
()20010000Pa 0.02
P ==， ∵100005000>，
∴这种摆放方式不安全． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21. 如图，在等边ABC 中，点D 是边AC 上一点，连接BD ，将线段BD 绕点B 按逆时针方向旋转60°后得到BE ，连接AE ．求证：
（1）ABE CBD ≌；
（2）AE BC ∥．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定是解此题的关键． （1）由旋转可知，60EBD BE BD ∠=°=，，由等边三角形的性质可得
60ABC DCB AB BC ∠=∠=°=，，进而可得EBA DBC ∠=∠，根据全等三角形的判定可得结论； （2）由ABE CBD ≌可得EAB DCB ∠=∠，进而可得EAB ABC ∠=
∠，结合平行线的判定可得AE BC ∥．
【小问1详解】
证明：由旋转可知，60EBD BE BD ∠=°=，，
BAC 是等边三角形，
60ABC DCB AB BC ∴∠=∠=°=，，
60EBD ABC ∠=∠=
° ， EBD ABD ABC ABD ∴∠−∠=∠−∠，即EBA DBC ∠=∠，
()SAS ABE CBD ∴△≌△；
【小问2详解】
证明：由（1）知，ABE CBD ≌，
EAB DCB ∴∠=∠，
60ABC DCB ∠=∠=° ，
EAB ABC ∴∠=∠，
AE BC ∴∥．
22. 2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，每天能销售20件，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了推广宣传，每个吉祥物的利润不允许高于进价的30%，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w （元），那么每个吉祥物公仔的售价定为多少元时该店铺可获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）月平均增长率是20%
（2）每个吉祥物公仔的售价定为78元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元
【解析】
【分析】（1）设月平均增长率为m ，根据7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件列出方程，解方程即可；
（2）设每个吉祥物公仔的售价为x 元，先根据每个吉祥物的利润不允许高于进价的30%，列出不等式求出
78x ≤，再列出二次函数解析式()()20602010010w x x =−+−
，根据二次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】
解：设月平均增长率为m ，根据题意得：
()2
517.2m +=，
解得：0.2m =或 2.2m =−（舍去）
， 答：月平均增长率是20%；
【小问2详解】
解：设每个吉祥物公仔的售价为x 元，根据题意得： 6030%60
x −≤， 解得：78x ≤，
()()20602010010w x x =−+−
2234013200x x =−+−
()2
2851250x +=−−，
∵20−<，
∴当85x <时，w 随x 的增大而增大，
∵78x ≤，
∴当78x =时，获得的利润最大，且最大利润为1152元．
答：每个吉祥物公仔的售价定为78元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系和不等关系列出方程和不等式，准确计算．
23. 如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠与反比例函数2(0)m y m x
=
≠的图象交于点(1,2)A 和,()2B a −，与y 轴交于点M ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出关于x 的不等式0m kx b x
−−>的解集． （3）在y 轴上取一点N ，当AMN 的面积为3时，求点N 的坐标；
【答案】（1）11y x =+，22y x
=
（2）<2x −或01x <<
（3）(0,7)N 或(0,5)−
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质，面积的计算，数形结合思想等，熟练掌握函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据图形可知，当
2(0)m y m x =≠在一次函数1(0)y kx b k =+≠上方即可； （3）由132
AMN A S MN x =
⋅= 即可得到答案． 【小问1详解】 解： 反比例函数
2(0)m y m x
=≠的图象经过点(1,2)A ， 122m ， 即反比例函数22y x
=， 当2x =−时，1a =−，即(2,1)B −−，
一次函数1(0)y kx b k =+≠经过点(1,2)A 和(2,1)B −−，
221k b k b += ∴ −+=
− ，
解得11k b = =
， ∴11y x =+；
【小问2详解】 解：由图像可知，当2(0)m y m x =≠在一次函数1(0)y kx b k =+≠上方即可，不等式0m kx b x
−−>解集为<2x −或01x <<；
【小问3详解】
解：当0x =时，代入1y x =+中得，1y =，即(0,1)M ， 132
AMN A S MN x =⋅= ，且1A x =， 6MN ∴=，
(0,7)N ∴或(0,5)−．
五、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图AB 为O 的直径，且2AB =，点C 是弧AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．
（1）若4BD =，求线段AC 的长度；
（2）求证：EC 是O 的切线；
（3）当30D ∠=°时，求图中阴影部分面积．
【答案】（1
）AC = （2）见解析 （3
3π−
【解析】
的
【分析】（1）连接BC ，如图，连接BC ，根据切线的性质得到90ABD ，根据勾股定理得到
AD
（2）连接OC ，OE ，
由E 是BD 的中点，可得CE BE =，证明OCE OBE ≌，得90OCE OBE ∠=∠=°，则结论得证；
（3）阴影部分的面积即为四边形OBED 的面积减去扇形COB 的面积．
【小问1详解】
如图，连接BC ，
BD 是O 的切线，
90,ABD ∴∠=°
2,4AB BD == ，
AD ∴=，
AB 为O 的直径，
BC AD ∴⊥，
AB BD BC AD ⋅∴==
AC ∴=
【小问2详解】
连接,,OC OE
AB 为O 的直径，
90ACB ∴∠=°，在Rt BDC 中，
BE ED = ，
DE EC BE ∴==，
,,OC OB OE OE ==
()SSS OCE OBE ∴ ≌，
,OCE OBE ∴∠=∠
BD 是O 的切线，
90ABD ∴∠=°，
90,OCE ABD ∴=∠=°∠
OC 为半径，
EC ∴是O 的切线；
【小问3详解】
,,OA OB
BE DE == ,AD OE ∴∥
D OEB ∴∠=∠，
30,D ∠=°
30,60OEB EOB ∴∠=∠=°°，
120BOC ∴∠=°，
2,AB =
1,OB ∴=
BE ∴
∴四边形OBEC 的面积为12212OBE S =×
×=△
∴阴影部分面积为212013603
OBEC BOC S S ππ⋅×−−−四边形扇形． 【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 二次函数()2
0y ax bx c a ++≠的图象，与x 轴交于原点和点E ，顶点P 的坐标为()2,4．
（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过()0,0O ，()4,0E 两点可画无数条抛物线，设顶点为Q ，过点Q 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为点M ，N ．求当所得的四边形OMQN 为正方形时的二次函数表达式；
（3）G 点在（1）中求出的二次函数图象上，且H 点的坐标为()2,2，是否存在GHE △的面积为2，若存在，求出点G
【答案】（1）24y x x =−+
（2）21
22y x x =−+或2122
y x x =− （3）()2,4G 或()3,3G
或G
或G ． 【解析】
【分析】（1）设抛物线解析式为：()2
24y a x =−+，将()0,0O 代入待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出对称轴为直线2x =，()2,2Q 或()2,2−，设抛物线解析式为：()222y a x =−+，将()0,0O 代入待定系数法求解析式即可求解；
（3）直线HE 的解析式为：4y x =−+，设()
2,4G t t t −+，则(),4D t t −+，求得GD ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵顶点P 的坐标为()2,4；
设抛物线解析式为：()224y a x =−+，
∵抛物线与x 轴交于原点，将()0,0O 代入得，
∴()20024a =−+
解得1a =−，
∴抛物线的解析式为()22244y x x x =−−+=−+
【小问2详解】
解：∵抛物线过()0,0O ，()4,0E 两点，
∴对称轴为直线2x =，
依题意，四边形OMQN 为正方形
∴()2,2Q 或()2,2−
∴设抛物线解析式为：()222y a x =−+
∵抛物线与x 轴交于原点，
∴()20022a =−+或()0022=−−a 解得12a =−或12
， ∴抛物线的解析式为()221122222
y x x x =−−+=−+或()221122222y x x x =−−=− 综上所述，解析式为：2122y x x =
−+或2122
y x x =− 【小问3详解】
解：∵()2,2H ，()4,0E ，
设直线HE 的解析式为：y kx b =+， 2240k b k b += +=
， 14
k b =− =
∴直线HE 的解析式为：4y x =
−+， 设()
2,4G t t t −+，则(),4D t t −+ ∴()22
+4+454GD t t t t t =−−−=−+−
∵GHE △的面积为2， ∴
122
E H GD x x ××−= 即()21544222t t ×−+−×−= 解得：12
23t t ==
,34t t =， 当2t =时，()2444t t t t −+=
−−=，则()2,4G 当3t =时，()2
443t t t t −+=−−=，则()3,3G
当t =(
)244t t t t −+=−−
，则G
当t =(
)244t t t t −+=−−
，则G 综上所述：()2,4G 或()3,3G
或G
或G ． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊四边形问题，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．。