简谐振动的动力学特征
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广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定 值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。
1
2、振动的特征 (在时间上）具有某种重复性。 3、振动中最简单最基本的是简谐振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。
2
二、几个谐振动的实例
１、弹簧振子
1）定义： 构成：轻质弹簧一端固定其另一端
简谐振动的动力学特征
物质的运动具有粒子和波动两种图象。 天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性； 微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。
一、振动的概念
1、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。
3
（2） 弹性恢复力的特点：
恢复力与位移正比而反
K
向（线性回复力），即
F= -kx 此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。
F 0 xX
（3）惯性的作用
整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。
4
3）弹簧振子的运动微分方程 以振子为对象 由牛顿定律：
m
d2x dt 2
kx
令 2 k
其谐振动的微分方程： 运动学特征：
d2x dt2
2x
0
物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数
谐振动的运动学方程 x A cos(t 0 )
式中A、 0 是由初始条件所决定的两个积分常数
v
dx dt
A
s in( t
0)
a
dv dt
A 2
c os ( t
0)
2x
10
2、谐振动的定义：
谐振子的定义： 一个描述其“惯性”的物理量可视为常数的系统,在其稳
定平衡位置附近作微小的自由振动时,只受到内部线性恢复力 的作用，且系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系 数微分方程，即能满足
d 2
dt 2
2
0
的系统，即为谐振子系统。
谐振动定义： （1） 狭义：谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动。
标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原
系统动力学特征相同的谐振子系统。
13
M mgh
──式中h指质心到悬点的距离
由定轴转动的转动定律：
I
d 2
dt 2
mgh
⊙⊙
h
●c
mg
令2 mgh
I
则得
ห้องสมุดไป่ตู้d 2
dt 2
2
0
方程的解为 0 cost 0
9
三、简谐振动的特征和谐振动的定义
1、谐振动特征 动力学特征：
振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力）
F＝b-ax
I ml 2
7
3）单摆的运动微分方程 由定轴转动的转动定律：
M I
ml
2
d 2
dt 2
mgl
令 2 g
l
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为 0 cost 0
8
３、复 摆
1)定义
构成：刚体绕水平光滑 轴转动 条件： 同单摆
2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程
M mghsin
证：以平衡位置A为原点，向下为x
轴正向， 设某一瞬时m的坐标为x，
则物体在振动过程中的运动微分方程
为
d2x
m dt2 k(x l) mg
式中 l 是弹簧挂上重物后的静伸长
l A 0 xF
mg x
因为
kl
mg
m
d2 dt
x
2
k x,
即有：d 2 x dt2
2x
0
这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐
l
oo/ /
T
重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：
M mgl sin
0 mg0
负号表示力矩方向始终与角位移方 向相反。
6
根据麦克劳林展开 sin 1 3 1 5
3! 5!
略去高阶无穷小后
M mgl
即恢复力矩与角位移正比而反向。
（角位移指偏离平衡位置的角位移）
（3）惯性的作用:
此处的惯性指摆球对过0/的水平轴的转动惯量
与刚体联结。
K
条件：位移限定在弹性限度内，不
计弹簧内部摩擦。
2）无阻尼时的自由振动
阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射
F 0 xX
自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。
（1）平衡位置与坐标原点： 平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为 坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。
m
则得
d2x dt 2
2x
0
解微分方程得： x A cos(t 0 )
5
２、单摆
1）定义
构成:一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联 条件:在重力作用下,在竖直平面内作小角度的摆动(θ
5o )
2）无阻尼时的自由振动
（1）平衡位置与坐标原点：
铅直位置为角平衡位置，o为角坐标 原点。 （2）恢复力矩的特点：
11
（2） 广义：若一系统的运动微分方程能满足二阶齐次、
线性、常系数条件，即能满足
d 2
dt 2
2
0
的系统，其所做的运动就是谐振动。
或物体运动时，它离开平衡位置的位移是时间的余 弦函数，即满足
x A cos(t 0 )
其所做的运动就是谐振动。
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例10-1 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧 重量和阻力，试证其在平衡位置附近的 振动是谐振动。
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2、振动的特征 (在时间上）具有某种重复性。 3、振动中最简单最基本的是简谐振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。
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二、几个谐振动的实例
１、弹簧振子
1）定义： 构成：轻质弹簧一端固定其另一端
简谐振动的动力学特征
物质的运动具有粒子和波动两种图象。 天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性； 微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。
一、振动的概念
1、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。
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（2） 弹性恢复力的特点：
恢复力与位移正比而反
K
向（线性回复力），即
F= -kx 此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。
F 0 xX
（3）惯性的作用
整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。
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3）弹簧振子的运动微分方程 以振子为对象 由牛顿定律：
m
d2x dt 2
kx
令 2 k
其谐振动的微分方程： 运动学特征：
d2x dt2
2x
0
物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数
谐振动的运动学方程 x A cos(t 0 )
式中A、 0 是由初始条件所决定的两个积分常数
v
dx dt
A
s in( t
0)
a
dv dt
A 2
c os ( t
0)
2x
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2、谐振动的定义：
谐振子的定义： 一个描述其“惯性”的物理量可视为常数的系统,在其稳
定平衡位置附近作微小的自由振动时,只受到内部线性恢复力 的作用，且系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系 数微分方程，即能满足
d 2
dt 2
2
0
的系统，即为谐振子系统。
谐振动定义： （1） 狭义：谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动。
标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原
系统动力学特征相同的谐振子系统。
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M mgh
──式中h指质心到悬点的距离
由定轴转动的转动定律：
I
d 2
dt 2
mgh
⊙⊙
h
●c
mg
令2 mgh
I
则得
ห้องสมุดไป่ตู้d 2
dt 2
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方程的解为 0 cost 0
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三、简谐振动的特征和谐振动的定义
1、谐振动特征 动力学特征：
振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力）
F＝b-ax
I ml 2
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3）单摆的运动微分方程 由定轴转动的转动定律：
M I
ml
2
d 2
dt 2
mgl
令 2 g
l
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为 0 cost 0
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３、复 摆
1)定义
构成：刚体绕水平光滑 轴转动 条件： 同单摆
2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程
M mghsin
证：以平衡位置A为原点，向下为x
轴正向， 设某一瞬时m的坐标为x，
则物体在振动过程中的运动微分方程
为
d2x
m dt2 k(x l) mg
式中 l 是弹簧挂上重物后的静伸长
l A 0 xF
mg x
因为
kl
mg
m
d2 dt
x
2
k x,
即有：d 2 x dt2
2x
0
这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐
l
oo/ /
T
重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：
M mgl sin
0 mg0
负号表示力矩方向始终与角位移方 向相反。
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根据麦克劳林展开 sin 1 3 1 5
3! 5!
略去高阶无穷小后
M mgl
即恢复力矩与角位移正比而反向。
（角位移指偏离平衡位置的角位移）
（3）惯性的作用:
此处的惯性指摆球对过0/的水平轴的转动惯量
与刚体联结。
K
条件：位移限定在弹性限度内，不
计弹簧内部摩擦。
2）无阻尼时的自由振动
阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射
F 0 xX
自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。
（1）平衡位置与坐标原点： 平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为 坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。
m
则得
d2x dt 2
2x
0
解微分方程得： x A cos(t 0 )
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２、单摆
1）定义
构成:一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联 条件:在重力作用下,在竖直平面内作小角度的摆动(θ
5o )
2）无阻尼时的自由振动
（1）平衡位置与坐标原点：
铅直位置为角平衡位置，o为角坐标 原点。 （2）恢复力矩的特点：
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（2） 广义：若一系统的运动微分方程能满足二阶齐次、
线性、常系数条件，即能满足
d 2
dt 2
2
0
的系统，其所做的运动就是谐振动。
或物体运动时，它离开平衡位置的位移是时间的余 弦函数，即满足
x A cos(t 0 )
其所做的运动就是谐振动。
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例10-1 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧 重量和阻力，试证其在平衡位置附近的 振动是谐振动。