广东省江门市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)

2021 -2021学年广东省江门市高二〔下〕期末数学试
卷〔理科〕
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求．
1．在复平面内，表示复数2﹣3i〔i是虚数单位〕点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字三位数个数是〔〕A．720 B．648 C．103D．310
3．设某大学女生体重y〔单位：kg〕与身高x〔单位：cm〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔x i，y i〕〔i=1，2，…，n〕，用最小二乘法建立回归方程为=0.85x﹣85.71，那么以下结论中不正确是〔〕
B．y与x具有正线性相关关系
C．回归直线过样本点中心〔，〕
D．身高x为解释变量，体重y为预报变量
4．执行如下图程序框图，输出S=〔〕
A．14 B．16 C．30 D．62
5．平面直角坐标系中，直线x﹣2y+3=0一个方向向量是〔〕A．〔1，2〕B．〔2，1〕C．〔1，﹣2〕D．〔﹣2，1〕
6．二项式〔x﹣1〕10展开式中第六项系数是〔〕
A．C106B．﹣C106C．C105D．﹣C105
7．天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨概率分别是0.9、0.8、0.75，假设甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，那么其中至少一个地方降雨概率为〔〕
8．函数f〔x〕=x3﹣12x〔x∈R〕极大值点是〔〕
A．﹣2 B．2 C．〔﹣2，16〕 D．〔2，﹣16〕
9．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出是某几何体三视图，那么此几何体体积为〔〕
A． B．C．32 D．16
10．F1、F2是椭圆+=1焦点，P是椭圆上任意一点，•最大值为〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
11．设函数f〔x〕=ln〔1+|x|〕﹣，x∈R，那么f〔x〕零点个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
12．分子为1且分母为正整数分数称为单位分数．1可以分拆为假设干个不同单位分数之与：
1=++，
1=+++，
1=++++，
依此类推可得：1=++++++++++++，其中，m、n∈N*，那么mn=〔〕
A．228 B．240 C．260 D．273
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．化简：〔1+〕5+〔1﹣〕5= ．
14．某射手每次射击击中目标概率是0.8，这名射手在5次射击中，恰有4次击中目标概率P= ．
15．小赵，小钱，小孙，小李四位同学被问到谁去过长城时，
小赵说：我没去过；
小钱说：小李去过；
小孙说；小钱去过；
小李说：我没去过．
假定四人中只有一人说是假话，由此可判断一定去过长城
是．
16．根据定积分性质与几何意义，[﹣
x]dx= ．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程与演算步骤．17．ABCD是复平面内平行四边形，A、B、C三点对应复数分别是1+3i、﹣i、2+i．
〔Ⅰ〕求点D对应复数；
〔Ⅱ〕求△ABC边BC上高．
18．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=〔n∈N*〕．
〔Ⅰ〕计算a2、a3、a4；
〔Ⅱ〕试猜测这个数列通项公式，并给出证明．
19．本着安康、低碳生活理念，租自行车骑游人越来越多．某自行车租车点收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时局部每小时收费2元〔缺乏1小时局部按1小时计算〕．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游〔各租一车一次〕．设甲、乙不超过两小时还车概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
〔Ⅰ〕求甲乙两人所付租车费用一样概率．
〔Ⅱ〕设甲乙两人所付租车费用之与为随机变量ξ，求ξ分布列及数学期望Eξ．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC中点，平面ABE与棱PD交于点F．〔Ⅰ〕求证：AB∥EF；
〔Ⅱ〕假设PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF 与平面AEF所成二面角正弦值．
21．函数f〔x〕=ax++c〔a＞0〕图象在点〔1，f〔1〕〕处切线方程为y=x﹣1．
〔1〕用a表示出b，c；
〔2〕假设f〔x〕≥lnx在
22．命题p：方程=1表示焦点在x轴上椭圆，命题q：对任意实数x 不等式x2+2mx+2m+3＞0恒成立．
〔Ⅰ〕假设“￢q〞是真命题，求实数m取值范围；
〔Ⅱ〕假设“p∧q〞为假命题，“p∨q〞为真命题，求实数m取值范围．
23．一边长为a正方形铁片，铁片四角截去四个边长均为x小正方形，然后做成一个无盖方盒．
〔1〕试把方盒容积V表示为x函数；
〔2〕x多大时，方盒容积V最大？
24．为考察高中生性别与是否喜欢数学课程之间关系，随机调查了某市300名高中学生，得到下面数据表：
喜欢数学课程不喜欢数学课程合计
男4575120
女45a180
合计90b300
〔Ⅰ〕①求数表中a，b值；
②用分层抽样方法从“喜欢数学课程〞与“不喜欢数学课程〞两类同学中随机抽取一个容量为10样本，那么应从“喜欢数学课程〞同学中抽取几人？
〔Ⅱ〕根据调查结果，能否有97.5%把握认为是否喜欢数学课程与性别有关？
2021 -2021学年广东省江门市高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求．
1．在复平面内，表示复数2﹣3i〔i是虚数单位〕点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数表示法及其几何意义．
【分析】根据复数几何意义求出对应点坐标即可．
【解答】解：复数2﹣3i〔i是虚数单位〕对应点坐标为〔2，﹣3〕位于第四象限，
应选：D．
2．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字三位数个数是〔〕A．720 B．648 C．103D．310
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】用间接法，先用排列公式计算在0到9这10个数字中，任取3个数字，按从左到右顺序排列排法数目，再排除其中不能组成三位数即第一个数字为0情况，即可得答案．
用直接法，先确定百位，再确定十位与个位，根据分步计数原理可得．【解答】解：间接法：在0到9这10个数字中，任取3个数字，按从左到右顺序排列，有A103=720种排法，
其中不能组成三位数即第一个数字为0有A92=72种排法；
故可以组成没有重复数字三位数一共有720﹣72=648个；
直接法：选一个数字为百位数字，十位与个位任意排，故有A91A92=648种，
应选：B．
3．设某大学女生体重y〔单位：kg〕与身高x〔单位：cm〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔x i，y i〕〔i=1，2，…，n〕，用最小二乘法建立回归方程为=0.85x﹣85.71，那么以下结论中不正确是〔〕
B．y与x具有正线性相关关系
C．回归直线过样本点中心〔，〕
D．身高x为解释变量，体重y为预报变量
【考点】回归分析．
【分析】根据回归方程=0.85x﹣85.71及其意义，对选项中命题进展分析、判断即可．
【解答】解：回归方程=0.85x﹣85.71中，
当x=170cm时，×170﹣85.71=58.79kg，
即大学某女生身高为170cm，她体重应在58.79kg左右，A不正确；＞0，是正相关，B正确；
回归直线过样本点中心〔，〕，C正确；
身高x为解释变量，体重y为预报变量，D正确．
应选：A．
4．执行如下图程序框图，输出S=〔〕
A．14 B．16 C．30 D．62
【考点】程序框图．
【分析】框图首先给循环变量k与累加变量S赋值，然后判断k＜5是否成立，成立那么执行S=S+2k，k=k+1，依次循环，不成立那么跳出循环，输出S值，算法完毕．
【解答】解：模拟执行程序，可得
k=1，S=0
满足条件k＜5，执行循环体，S=2，k=2
满足条件k＜5，执行循环体，S=6，k=3
满足条件k＜5，执行循环体，S=14，k=4
满足条件k＜5，执行循环体，S=30，k=5
不满足条件k＜5，退出循环，输出S值为30．
应选：C．
5．平面直角坐标系中，直线x﹣2y+3=0一个方向向量是〔〕A．〔1，2〕B．〔2，1〕C．〔1，﹣2〕D．〔﹣2，1〕
【考点】平面向量正交分解及坐标表示；直线斜率．
【分析】求出直线x﹣2y+3=0斜率k，即可写出该直线一个方向向量〔1，k〕．
【解答】解：直线x﹣2y+3=0斜率为k=，
所以该直线一个方向向量是〔1，〕，
可化为〔2，1〕．
应选：B．
6．二项式〔x﹣1〕10展开式中第六项系数是〔〕
A．C106B．﹣C106C．C105D．﹣C105
【考点】二项式系数性质．
【分析】直接利用二项式定理展开式，求出二项式〔x﹣1〕10展开式中第六项系数．
【解答】解：二项式〔x﹣1〕10展开式中第六项系数：=﹣．应选D．
7．天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨概率分别是0.9、0.8、0.75，假设甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，那么其中至少一个地方降雨概率为〔〕
【考点】互斥事件概率加法公式；相互独立事件概率乘法公式．
【分析】求出甲、乙、丙三地都不降雨概率，根据对立事件，求出至少一个地方降雨概率即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙三地降雨概率分别是0.9、0.8、0.75，∴甲、乙、丙三地不降雨概率分别是0.1、0.2、0.25，
××0.25=0.005，
故至少一个地方降雨概率为1﹣0.005=0.995，
应选：D．
8．函数f〔x〕=x3﹣12x〔x∈R〕极大值点是〔〕
A．﹣2 B．2 C．〔﹣2，16〕 D．〔2，﹣16〕
【考点】利用导数研究函数极值．
【分析】求导数便可得出f′〔x〕=3x2﹣12，容易看出x=±2为方程f′〔x〕=0解，从而可判断导函数符号，进而得出该函数极大值点．【解答】解：f′〔x〕=3x2﹣12；
∴x＜﹣2时，f′〔x〕＞0，﹣2＜x＜2时，f′〔x〕＜0，x＞2时，f′〔x〕＞0；
∴x=﹣2是f〔x〕极大值点．
应选A．
9．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出是某几何体三视图，那么此几何体体积为〔〕
A．B．C．32 D．16
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可得此几何体为三棱锥，且可得到底面面积与体高，从而求体积．
【解答】解；此几何体为三棱锥，
底面面积S=×4×4=8，
体高为4，那么此几何体体积为V=×S×4=．
故答案为：A．
10．F1、F2是椭圆+=1焦点，P是椭圆上任意一点，
•最大值为〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】椭圆简单性质．
【分析】首先，由椭圆方程求出焦点坐标，然后，设出椭圆三角式，代入求解，即可得出答案．
【解答】解：∵F1、F2是椭圆+=1焦点，
∴F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕，
∵P是椭圆上任意一点，设P〔2cosθ，sinθ〕，〔0≤θ≤2π〕，∴•=〔﹣1﹣2cosθ，﹣sinθ〕•〔1﹣2cosθ，﹣〕=4cos2θ﹣1+3sin2θ=2+cos2θ≤3，
即•最大值为3．
应选：C．
11．设函数f〔x〕=ln〔1+|x|〕﹣，x∈R，那么f〔x〕零点个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数零点判定定理．
【分析】此题即求函数y=ln〔1+|x|〕与函数y=交点个数，数形结合得出结论．
【解答】解：函数f〔x〕=ln〔1+|x|〕﹣，x∈R零点个数，即函数y=ln〔1+|x|〕与函数y=交点个数，
由于这两个都是偶函数，且在〔0，+∞〕上，函数y=ln〔1+|x|〕=ln 〔1+x〕单调递增，与函数y=单调递减，
如下图：
函数y=ln〔1+|x|〕与函数y=交点个数我2，
应选：B．
12．分子为1且分母为正整数分数称为单位分数．1可以分拆为假设干个不同单位分数之与：
1=++，
1=+++，
1=++++，
依此类推可得：
1=+++++++++++ +，其中，m、n∈N*，那么mn=〔〕
A．228 B．240 C．260 D．273
【考点】归纳推理．
【分析】由题意，m=13，n=4×5=20，即可得出结论．
【解答】解：由题意，m=13，n=4×5=20，
∴mn=13×20=260，
应选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．化简：〔1+〕5+〔1﹣〕5= 2+20x+10x2．
【考点】二项式定理应用．
【分析】利用二项式定理展开即可得出．
【解答】解：原式
=1+++++ +1﹣+﹣
+﹣
=2+20x+10x2．
故答案为：2+20x+10x2．
14．某射手每次射击击中目标概率是0.8，这名射手在5次射击中，恰有4次击中目标概率P= 0.4096 ．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次概率．
【分析】利用n次独立重复试验中恰好发生k次概率计算公式，计算求得结果．
【解答】解：某射手每次射击击中目标概率是0.8，这名射手在5次射击中，恰有4次击中目标概率P=4•0.2=0.4096，
故答案为：0.4096．
15．小赵，小钱，小孙，小李四位同学被问到谁去过长城时，
小赵说：我没去过；
小钱说：小李去过；
小孙说；小钱去过；
小李说：我没去过．
假定四人中只有一人说是假话，由此可判断一定去过长城是小钱．【考点】进展简单合情推理．
【分析】利用3人说真话，1人说假话，验证即可．
【解答】解：如果小赵去过长城，那么小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，那么小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意；
故答案为：小钱．
16．根据定积分性质与几何意义，[﹣x]dx= ．
【考点】定积分．
【分析】首先利用定积分可加性将所求写成两个定积分差形式，然后分别按照几何意义与求原函数方法求定积分．
【解答】解：[﹣
x]dx=﹣，
定积分表示以〔1，0〕为圆心，1为半径圆，所以=，
所以所求定积分为；
故答案为：．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程与演算步骤．17．ABCD是复平面内平行四边形，A、B、C三点对应复数分别是1+3i、﹣i、2+i．
〔Ⅰ〕求点D对应复数；
〔Ⅱ〕求△ABC边BC上高．
【考点】复数代数表示法及其几何意义；点到直线距离公式．
【分析】〔Ⅰ〕求出复平面内A、B、C对应点坐标分别为，设D坐标为〔x，y〕，由列式解得x，y值，得到D坐标，求出D对应复数；
〔Ⅱ〕求出BC直线方程为，由点到直线距离公式求出A到BC直线距离，那么BC边上高可求．
【解答】解：〔Ⅰ〕复平面内A、B、C对应点坐标分别为〔1，3〕，〔0，﹣1〕，〔2，1〕…，
设D坐标为〔x，y〕，
由，得〔x﹣1，y﹣3〕=〔2，2〕…，
∴x﹣1=2，y﹣3=2…，
解得x=3，y=5…，
故D〔3，5〕…，
那么点D对应复数为：3+5i…；
〔Ⅱ〕∵B〔0，﹣1〕，C〔2，1〕，
∴BC直线方程为：x﹣y﹣1=0…，
A到BC直线距离…，
故BC边上高为…．
18．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=〔n∈N*〕．
〔Ⅰ〕计算a2、a3、a4；
〔Ⅱ〕试猜测这个数列通项公式，并给出证明．
【考点】数列递推式．
【分析】〔Ⅰ〕由a1=1，a n+1=，代入计算，可求a2、a3、a4；〔Ⅱ〕猜测{a n}通项公式；用数学归纳法证明，关键是假设当n=k〔k ≥1〕时，命题成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．或证明是以为首项，为公差等差数列．
【解答】解：〔Ⅰ〕依题意，，，…
〔Ⅱ〕猜测…
〔方法一•数学归纳法〕
①当n=n0〔n0=1，2或3〕时，由〔Ⅰ〕知，猜测成立…
②假设当时，…
那么当n=k+1时，
猜测也成立…
综上所述，对于一切n∈N*，…
〔方法二〕由与a1=1得，对于一切n∈N*，a n≠0…
两边取倒数得…
故，从而是以为首项，为公差等差数列…故…
19．本着安康、低碳生活理念，租自行车骑游人越来越多．某自行车租车点收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时局部每小时收费2元〔缺乏1小时局部按1小时计算〕．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游〔各租一车一次〕．设甲、乙不超过两小时还车概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
〔Ⅰ〕求甲乙两人所付租车费用一样概率．
〔Ⅱ〕设甲乙两人所付租车费用之与为随机变量ξ，求ξ分布列及数学期望Eξ．
【考点】离散型随机变量期望与方差；互斥事件概率加法公式．【分析】〔Ⅰ〕首先求出两个人租车时间超过三小时概率，甲乙两人所付租车费用一样即租车时间一样：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时与都超过三小时三类求解即可．
〔Ⅱ〕随机变量ξ所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件概率分别求概率，列出分布列，再由期望公式求期望即可．
【解答】解：〔Ⅰ〕甲乙两人租车时间超过三小时概率分别为：，甲乙两人所付租车费用一样概率
p=
〔Ⅱ〕随机变量ξ所有取值为0，2，4，6，8
P〔ξ=0〕==
P〔ξ=2〕==
P〔ξ=4〕==
P〔ξ=6〕==
P〔ξ=8〕==
数学期望
Eξ==
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC中点，平面ABE与棱PD交于点F．〔Ⅰ〕求证：AB∥EF；
〔Ⅱ〕假设PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF 与平面AEF所成二面角正弦值．
【考点】二面角平面角及求法；空间中直线与直线之间位置关系．【分析】〔Ⅰ〕推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB ∥EF．
〔Ⅱ〕取AD中点G，连接PG，GB，以G为原点，GA、GB、GP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成二面角正弦值．
【解答】证明：〔Ⅰ〕∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，
又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD…
又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF…
解：〔Ⅱ〕取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD…
∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD 中点，∴AD⊥GB，
如图，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz…
由PA=PD=AD=2得，G〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，
，，D〔﹣1，0，0〕，
…
又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，
设平面AFE法向量为，
那么有，∴，
不妨令x=3，那么平面AFE一个法向量为
，…
∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF一个法向量，…
∴平面PAF与平面AFE所成二面角正弦值为：
21．函数f〔x〕=ax++c〔a＞0〕图象在点〔1，f〔1〕〕处切线方程为y=x﹣1．
〔1〕用a表示出b，c；
〔2〕假设f〔x〕≥lnx在
22．命题p：方程=1表示焦点在x轴上椭圆，命题q：对任意实数x不等式x2+2mx+2m+3＞0恒成立．
〔Ⅰ〕假设“￢q〞是真命题，求实数m取值范围；
〔Ⅱ〕假设“p∧q〞为假命题，“p∨q〞为真命题，求实数m取值范围．
【考点】复合命题真假．
【分析】〔Ⅰ〕先求出命题q等价条件，根据“￢q〞是真命题，即可求实数m取值范围；
〔Ⅱ〕假设“p∧q〞为假命题，“p∨q〞为真命题，那么p，q只有一个为真命题，即可求实数m取值范围．
【解答】解：〔Ⅰ〕因为对任意实数x不等式x2+2mx+2m+3＞0恒成立，
所以△=4m2﹣4〔2m+3〕＜0，解得﹣1＜m＜3，．…
又“￢qq〞是真命题等价于“q〞是假命题，．…
所以所求实数m取值范围是〔﹣∞，﹣1]∪∪
23．一边长为a正方形铁片，铁片四角截去四个边长均为x小正方形，然后做成一个无盖方盒．
〔1〕试把方盒容积V表示为x函数；
〔2〕x多大时，方盒容积V最大？
【考点】利用导数求闭区间上函数最值；函数解析式求解及常用方法．【分析】〔1〕由于在边长为a正方形铁片四角截去四个边长为x小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒底面是正方形，且边长为a ﹣2x，高为x，从而写出函数表达式；
〔2〕求导V′〔x〕=12x2﹣8ax+a2=〔6x﹣a〕〔2x﹣a〕，由导数可得在x=时函数V〔x〕有最大值．
【解答】解：〔1〕由于在边长为a正方形铁片四角截去四个边长为x 小正方形，做成一个无盖方盒，
所以无盖方盒底面是正方形，且边长为a﹣2x，高为x，
那么无盖方盒容积V〔x〕=〔a﹣2x〕2x，0＜x＜；
〔2〕∵V〔x〕=〔a﹣2x〕2x=4x3﹣4ax2+a2x，0＜x＜；
∴V′〔x〕=12x2﹣8ax+a2=〔6x﹣a〕〔2x﹣a〕，
∴当x∈〔0，〕时，V′〔x〕＞0；
当x∈〔，〕时，V′〔x〕＜0；
故x=是函数V〔x〕最大值点，
即当x=时，方盒容积V最大．
24．为考察高中生性别与是否喜欢数学课程之间关系，随机调查了某市300名高中学生，得到下面数据表：
喜欢数学课程不喜欢数学课程合计
男4575120
女45a180
合计90b300
〔Ⅰ〕①求数表中a，b值；
②用分层抽样方法从“喜欢数学课程〞与“不喜欢数学课程〞两类同学中随机抽取一个容量为10样本，那么应从“喜欢数学课程〞同学中抽取几人？
〔Ⅱ〕根据调查结果，能否有97.5%把握认为是否喜欢数学课程与性别有关？
【考点】独立性检验应用．
【分析】〔Ⅰ〕①根据2×2列联表，即可求数表中a，b值；
②利用分层抽样，比值不变，即可求出应从“喜欢数学课程〞同学中抽3人；
〔Ⅱ〕根据列联表所给数据，代入求观测值公式，求出观测值，即可得出结论．
【解答】解：〔Ⅰ〕①a=180﹣45=135，b=300﹣90=210…
②设从“喜欢数学课程〞同学中抽取x人，那么由分层抽样可得
，解得x=3，
故应从“喜欢数学课程〞同学中抽3人…
〔Ⅱ〕由列联表可算得：
…
所以有97.5%把握认为喜欢数学课程与性别有关．…。