恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立成绩”与“存在性成绩”的基本解题计谋之杨若古
兰创作
一、“恒成立成绩”与“存在性成绩”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立成绩的基本类型 1、恒成立成绩的转化：
()a f x >恒成立⇒()max
a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立
2、能成立成绩的转化：
()
a f x >能成立
⇒()min
a f x >；
()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3、恰成立成绩的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为
M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩
在上恒成立在上恒成立
另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得
()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得
()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，
则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，
则()()x g x f max min ≤
8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得
()()21x g x f =，
设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的
值域为B,则A B.
9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；
10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立成绩的基本类型
在数学成绩研讨中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.
函数在给定区间上某结论成立成绩,其表示方式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;
某表达式的值恒大于a 等等…
恒成立成绩，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗
透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有益于考查先生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的感化.是以同样成为历年高考的一个热点.
恒成立成绩在解题过程中大致可分为以下几品种型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象. 二、恒成立成绩解决的基本计谋
大家晓得，恒成立成绩分等式中的恒成立成绩和不等式中的恒成立成绩.等式中的恒成立成绩，特别是多项式恒成立成绩，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决成绩
的.
（一）两个基本思想解决“恒成立成绩”
思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤
上恒成立在
如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值成绩,我们可以通过习题的实际,采纳合理无效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值.
这类成绩在数学的进修涉及的常识比较广泛，在处理上也有很多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，但愿同学们在日常进修中留意积累.
（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立成绩
等式中的恒成立成绩，经经常使用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8
π-
对
称
，
那
么
a
=
（
）
.
A.1
B.-1 C .
2
D. -2.
略解：取x=0及x=4
π-，则f(0)=f(4
π-),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从普通到特殊的转化思想. 例（备用）．由等式
x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=
(x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映照f ：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f ：(4,3,2,1) → ( )
略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以
b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D
（三）分清基本类型，应用相干基本常识，掌控基本的解题计谋
1、一次函数型：
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数常识求解,十分简捷
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
0)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内
恒有f(x)<0， 则有
)(0
)(<<n f m f
求使不等式
x 个字母看成是一个变量，另一个作为常数.明显可将a 视作自变量，则上述成绩即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的成绩.
解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨
⎧>>-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
103422
x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或
∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)
此类题实质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可. 2、二次函数型
涉及到二次函数的成绩是复习的重点，同学们要加强进修、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中盲目应用.
（1）若二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)大于0恒成立，则有
00<∆>且a
（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立成绩，可以利用韦达定理和根的分布常识求解.
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立，
（1）
R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；
（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立
（1）
当
>a 时，
]
,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立
⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b
a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨
⎧<<⇔0
)(0
)(βαf f
（2）
当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨
⎧>>⇔0
)(0
)(βαf f
],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b
a b f a b 或或 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 (-∞ , ]上恒成立. f(x)>0a>0且<0或-b/2a>且f()>0 f(x)<0
a<0且
<0或-b/2a>
且f(
)<0
类型4：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 [，+∞)上恒成立.
f(x)>0a>0,<0或-b/2a<且f()>0 f(x)<0
a<0,
<0或-b/2a<
且f(
)<0
例3． 若函数1
2
)1()1()(22++
-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求
实数 a 的取值范围.
分析：该题就转化为被开方数01
2
)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上
恒成立成绩，而且留意对二次项系数的讨论.
解：依题意，当时，R x ∈
01
2
)1()1(22≥++
-+-a x a x a 恒成立， 所以，①当,1,
01,01{,0122=≠+=-=-a a a
a 时，即当
此时.1,011
2
)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当01
2
)
1(4)1(,
01{
012222≤+---=∆>-≠-a a a a a
有,91,
09101
{
2
2≤<⇒≤+->a a a a 综上所述，f(x)的定义域为R 时，
]9,1[∈a
2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
分析：()y f x =的函数图像都在
X 轴及其
上方，如右图所示：
略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求
a 的取值范围.
解析一. （零点分布计谋） 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左边、零点在区间的右边三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0
)2(0)2(22
0f f a 或
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0
)2(0)2(22
f f a ，即a 的取值范
围为[-7，2].
解法二分析：（应用二次函数极值点的分布分类讨论）要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.
略解：（分类讨论）2
2()324a a f x x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝
⎭，令()f x 在[]2,2-上
的最小值为()g a .
⑴当22
a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73
a ∴≤ 又
4a >
a ∴不存在.
⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2
()()3024
a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤
又44a -≤≤42a ∴-≤≤
⑶当
22
a
-
>，即4a <-时，
()(2)70g a f a ==+≥7
a ∴≥- 又
4a <-74a ∴-≤<- 综上所述，72a -≤≤.
变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解法一：分析：题目中要证实2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把
2移到等号的右边，则把原题转化成右边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的成绩.
例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.
略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.
⑴()2410a a ∆=--
≤22
a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)0
2222
a a f f a a ⎧∆=-->⎪
≥⎪⎪
⎨-≥⎪
⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a .
解法二：（应用二次函数极值点的分布）
⑴当22
a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3
a ∴≤∉+∞a
∴不存在.
⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2
()()3224
a a g a f a ==--+≥，
⑶当22
a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，
综上所述2225-≤≤-a .
此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的地位进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.
对于二次函数在R 上恒成立成绩常常采取判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立成绩常常转化为求函数在此区间上的最值成绩 3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立成绩转化成函数的最值成绩求解.应用不等式的相干常识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)
恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值)
例 5.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.
略解：由①②得2<x<3,
要使同时满足①②的所有x 的值满足③,
即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立，
即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立，
又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x
所以 9≤m
例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .
解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f
又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在
12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.
是以，只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1， 都成立对所有又]1,1[-∈a ，
即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，
即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t
利用变量分离解决恒成立成绩，主如果要把它转化为函数的最值成绩
补例． 已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．
解：当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变成||b x a x
--< 即b b x a x x x
+<<- 故(]max min ()(),0,1b b x a x x x x
+<<-∈ 又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1b x g b x
+==+； 对于函数(](),0,1b h x x x x
=-∈ ①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1b x h b x
-==-，又11b b ->+，
所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-．
②当
10b -≤<，在(]0,1上，()b h x x x =-≥ 当
x =min ()b x x
-=a 存在，
必须有1
10b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩ 即13b -≤<，此时a 的取值范围是
(1b +
综上，当
1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，
a 的取值范围是(1,2)
b b +-； 当2230b -≤<时，a 的取值范围是∅．
4、根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x))恒成立；
若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.
5、直接根据图象判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过
画图直接判断得出结果.特别对于选择题、填空题这类方法更显方便、快捷.
例7.
a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.
分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.
解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=232
1121321x x x x x x y
在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象
可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只
需3-<a.
故实数.3）
-
∞
a
的取值范围是（-
，
注：本题中若将a
-
-
1改为
对任意实数>
+2
x恒成立，求实数
x
x
a
，不等式
①a
-
对任意实数<
+2
1，同样由图象可得
-
a
x
x
x恒成立，求实数
，不等式
a>3;
②a
-
对任意实数>
+2
1,构造函数，画出图
+
a
，不等式
x
x恒成立，求实数
x
象，得a<3.
利用数形结合解决恒成立成绩，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.
例8. 设常数a∈R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围为.
解：1）a<=0
x<=a/2<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a
a/2<=x<=0时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-a
x>=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，
最小值为-a<=2则与g(x)有交点，即：-2<=a<=0.
2）a>0
x<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a
0<=x<=a/2时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+a
x>=a/2时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a
最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2
综上所述，-2<=a<=2时f(x)=3|x|+|2x-a|与g(x)=2-x有交点.三、在恒成立成绩中，主如果求参数的取值范围成绩，是一种热点题型，介绍一些基本的解题计谋，在进修中学会把成绩分类、归类，熟练基本方法.
（一）换元引参，显现成绩实质
1、对于所有实数x，不等式
恒成立，求a的取值范围.解：因为的值随着参数a的变更而变更，若设，则上述成绩实质是“当t为什么值时，不等式
恒成立”.
这是我们较为熟悉的二次函数成绩，它等价于
求解关于t的不等式组：. 解得，即有，易得.
2、设点P（x，y）是圆4
(2
)1
2=
x上任意一点，若不等式
+y
-
x+y+c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围.
（二）分离参数，化归为求值域成绩
3、若对于任意角总有
成立，求m 的范围.
解：此式是可分离变量型，由原不等式得
， 又，则原不等式等价变形为恒成立. 根据鸿沟道理知，必须小于
2cos cos )(2+=θθθf 的最小值，如许成绩化归为如何求
的最小值.因为2cos cos )(2+=θθθf 即时，有最小值为0，故.
（三）变动主元，简化解题过程
4、若对于
，方程都有实根，求实根的范围.
解：此题普通思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但如许会碰到很多麻烦，若以m 为主元，则，
由原方程知
，得 又，即
解之得或.
5、当1≤a 时，若不等式039)6(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围.
（四）图象解题，抽象直观
6、设]40(，∈x ，若不等式ax x x >-)4(恒成立，
求a 的取值范围. 解：若设)4(1x x y -=
，则为上半圆.
设，为过原点，a 为斜率的直线.
在同一坐标系内 作出函数图象
依题意，半圆恒在直线上方时，只要
时成立，即a 的取
值范围为. 7、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<logax 恒成立，求a 的取值范围. 解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线 要使对一切x ∈ (1,2),y1<y2恒成立，明显a>1,而且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.
故loga2>1, ∴ 1<a <2.
8、已知关于x 的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有独一解，求实数a 的取值范围.
分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,留意到若将等号两边看成是二次函数y=
x2+4x 及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有独一交点即可.
解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4,
y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y1和y2在x 轴上方有独一交点，则直线必须位于l1和l2之间.（包含l1但不包含l2）
当直线为l1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2-; 当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0，a=32
-∴a 的范围为)3
2,2[-- （五）合理联想，应用平几性质
9、不管k 为什么实数，直线
与曲线恒有交点，求a 的范围.
分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的.若考虑到直线过定点A （0，1），而曲线为圆,圆心C （a ，0），要使直线恒与圆有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内. 解：，C （a ，0），当时，联想到直线与圆的地位关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆内，即点A （0，
1）到圆心距离不大于半径，则有
，得.
（六）分类讨论，防止反复漏掉
10、当时，不等式恒成立，求x 的范围.
解：使用
的条件，必须将m 分离出来，此时应对进行讨论.
①当
时，要使不等式恒成立，只需， 解得
. ②当
时，要使不等式恒成立，只需，解得
. ③当
时，要使恒成立，只要. 综上①②③
得. 解法2：可设，用一次函数常识来解较为简单.我们可以用改变主元的法子，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令
)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需
⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)2
31,271(++-∈x .此类题实质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可.
11、当31<<x 时，不等式0622>+-ax x 恒成立，求实数a 的取值范围.
解：x
x a 32+< 当31<<x 时，62
3232=≥+x x ，当x x 32=，即6=x 时等号成立. 故实数a 的取值范围:6<a
（七）构造函数，体现函数思想
12、（1990年全国高考题）设
，其中a 为实数，n 为任意给定的天然数，且
，如果当时成心义，求a 的取值范围.
解：本题即为对于
，有恒成立. 这里有三种元素交织在一路，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将
a 分离出来，得，对于
恒成立. 构造函数
，则成绩转化为求函数在上的值域.
因为函数
在上是单调增函数，
则在上为单调增函数.因而有
的最大值为：，从而可得
. （八）利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围.
例13、当1,33
x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围.
解：
1log 1a x -<<
（1） 当1a >时，1x a a <<，则成绩转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3
113
a a ≥⎧⎪
∴⎨≤
⎪⎩3a ∴≥
（2）
当
01
a <<时，
1a x a
<<
，则成绩转化为
11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13
13a a
⎧≤
⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103
a <≤或3a ≥
四、其它类型恒成立成绩
能成立成绩有时是以不等式有解的方式出现的.
1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x
a x g =)(，其中0>a ，0≠x ．
对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值
范围；
【分析：】思路、对在分歧区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：令n(a)=gmax(x)=a/2； 令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,
故(1)对称轴x=a<1，即或0<a<1时，m(a)= fmin(x)=f(1)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得a<4/5,（留意到a 的范围）从而得a 的范围：0<a<4/5;
(2)对称轴x=a>2时，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a ，由m(a)>n(a) 解得a<10/9,（留意到a 的范围）从而得a 无解：;
(3)对称轴x=a∈[1,2]时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得4
171+
->a 或4
17
1-
-<a ，（留意到a 的范围）从而得a 的范
围21≤<a ：;;
综合（1）（2）（3）知实数a 的取值范围是：(0，4/5)∪[1,2] 2、已知两函数
2
)(x x f =，m x g x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，
使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为
解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得
()21)(x g x f ≥等价于
m x g x
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小
值0，既041≤-m ，∴41
≥m
题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，清算成关于这个参数的函数)
题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）
题型四、数形结合（恒成立成绩与二次函数联系（零点、根的分布法））
五、不等式能成立成绩（有解、存在性）的处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间
D 上的()min f x B <.
1、存在实数x ，使得不等式2
313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______.
解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2
min
3a a f x ⇒-≥， 又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴2
34a a -≥，解得41a a ≥≤-或. 1、求使关于p 的不等式x p px x 212+<++在p∈[-2,2]有解的x 的取值范围.
解：即关于p 的不等式012)1(2<+-+-x x p x 有解,设()()2121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上的最小值小于0.
(1)当x>1时，f(p)关于p 单调添加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得1<x<3;
2222(2) 当x<1时，f(p)关于p 单调减少，故fmin(p)=f(2)=x2-1<0,解得-1<x<1；
(3)当x=1时，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立.
综合（1）（2）（3）知实数x 的取值范围是：(-1，1)∪(1,3) 例、设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二个根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立；
命题Q ：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命题P 和命
题Q 都是真命题，求m 的值范围.
解：(1)由P 真得：8||221+=-a x x ，留意到a 在区间[-1,1], 3||max 21=-x x ,
因为|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立，故有
3|||35|max 212=-≥--x x m m
解得： m≤-1或m≥6或0≤m≤5
(1)由Q 真，不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m>1,解得：m>1/2
因为（1）（2）都是相公命题，故m 的值范围：1/2<m≤5或m≥6. ［举例］（1）已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围.
（2）若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.
分析：（1）由0224>+⋅-x x a 得：x
x a 22
2+<对于+∞-∈,1[x ）恒成立，
因21
2≥
x
，所以222
22≥+x x ，当22=x 22<a . （2）留意到0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于
a )24(2)(++⋅-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则成绩等价
于0)3(>f ，所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ，则x 取值范围为
),1()0,(+∞-∞ .
小结：
恒成立与有解的区别：
恒成立和有解是有明显区此外，以下充要条件应仔细思考，鉴别差别，恰当使用，等价转化，切不成混为一体.
①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，
x I ∈.即()f x 的上界小于或等于M ；
②不等式()f x M <对x I ∈时有解min
()f x M•⇔<，x I ∈. 或()f x 的下界小于或等于M ；
③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min
()f x M•⇔>，
x I ∈.即()f x 的下界大于或等于M ；
④不等式()f x M >对x I ∈时有解max
()f x M ⇔>，x I ∈.. 或()f x 的上界大于或等于M ；
高中数学难点强化班第四讲（140709）课后练习答案： 一．填空选择题（每小题6分，共60分） 1、对任意的实数x ，若不等式a x x >--+21恒成立，那么实数a 的取值范围.
答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数a 的取值范围：a<-3
2、不等式2
sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是
解：原不等式有解()()2
2
sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ⇒>-+=---≤≤有解，而()2
min
sin 232x ⎡⎤--=-⎣⎦
，所以2a >-. x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
(A)1a <- (B)||1a ≤ (C)||1a < （D ）1a ≥ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立
则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||1a .
答案：选B
4．当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是. 解析:
当(1,2)x ∈时，由2
40x mx ++<得24x m x +<-.令244
()x f x x x x
+=
=+，则易知
()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则
2min 4
()5x x
+->-∴5m ≤-.
5．已知不等式223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立，那
么实数x 的取值范围为．
|y x =||
y x =y ax
y ax x
y
O
分析：已知参数a 的范围，请求自变量x 的范围，转换主参元x 和a 的地位，构造觉得a 自变量x 作为参数的一次函数()g a ，
转换成∀(0)a ∈+∞，
，()0g a >恒成立再求解. 解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，
都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，
都成立.设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），
则()g a 是一个觉得a 自变量的一次函数.
220x +>恒成立，则对
∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数.
所以对∀(0)a ∈+∞，
，()0g a >恒成立的充分须要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，因而x 的取值范围是{|20}x x -≤≤.
6．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，
()f x 与()
g x 的值至多有一个为负数，则实数m 的取值范围是
（ )
A ．(0，2)
B ．(0，8)
C ．(2，8)
D ．(－∞，0)
分析：()f x 与()g x 的函数类型，直接受参数m 的影响，所以首先要对参
性质及图像解题.
解析：当0m =时，()810f x x =-+>在1(,)8
-∞
在R 上恒成立，明显不满足题意；(如图1)
当0m <时，()g x 在R 上递减且()0g x mx =>只在(,0)-∞上恒成立， 而()f x 是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，明显不满足题意.
当0m >时，()g x 在R 上递增且()0g x mx =>在(0,)+∞上恒成立，
而()f x 是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实 数x ，
()f x 与()g x 的值至多有一个为负数则只需()0f x >在(,0]-∞上
恒成立.(如图3)
则有24024(4)80m m m m -⎧<⎪⎨⎪∆=--<⎩
或402m m -≥解得48m <<或04m <≤， 综上可得08m <≤即(0,8)m ∈. 故选B.
７、已知两函数()2
728f x x x c =--，g(x)=6x2-24x+21.
（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，那么实数c 的取值范围 c≥0 ；
（2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，那么实数c 的取值范围 c≥-25；
（3）对任意[]1
2
,3,3x x ∈-，都有()()1
2
f x
g x ≤，那么实数c 的取值范围 c≥150 ；
（4）存在[]1
2
,3,3x x ∈-，都有()()1
2
f x
g x ≤，那么实数c 的取值范围 c≥-175 ；
解析：（1）设()()()3
2
2312h x g x f x x x x c =-=--+，成绩转化为[]3,3x ∈-时，()0h x ≥恒成立，故()min
0h x ≥.令()()()2
66126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2.由导数常识，可知()h x 在[]3,1--单调递增，在[]1,2-单调递减，在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值，()()220h x h c ==-极小值
，()39h c =-，∴()()min
345h x h c =-=-，由450c -≥，得45c ≥.
（2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由（1）知()max
70h x c =+≥，因而得7c ≥-. （3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立成绩，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12
f x
g x ≤成立，不等式的摆布两端函数的自变量分歧，1x ，2
x 的取值在[]3,3-上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：max min
()(),[3,3]f x g x ••x •≤∈-.∵()()[]2
7228,3,3f x x c x =---∈-∴()()max
3147f x f c =-=-，
∵()2
6840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只要一个解2x =. ∴()()min
248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥.
（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12
f x
g x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得()()min 1228f x f c ==--，()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤⇒≥- 点评：本题的三个小题，概况方式非常类似，究其实质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加练习，精确使用其成立的充要条件.
二．简答题（每题10分）
８、（10分）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围
解：)10,2[
9、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 的范围. ②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 的范围.
③若方程32x x a --+=有解，求实数a 的范围. 解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a
(Ⅰ)若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围.
(Ⅱ) 若()x f 在()3,2∈x 上成心义, 试求a 的取值范围. (Ⅲ)若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值.
解答：这三问中,第(Ⅰ)问是能成立成绩,第(Ⅱ)问是恒成立成绩,第(Ⅲ)问是恰成立成绩.
(Ⅰ) ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02>--x ax a 成立, 即()2x ax a x --=ϕ的最大值大于0
成立,(),044442
2max >+=---=a a a a x ϕ
解得 4-<a 或0>a .
(Ⅱ)()x f 在区间()3,2上成心义,等价于()2x ax a x --=ϕ0>在()3,2恒成立,即()x ϕ的最小值大于0. 解不等式组
()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-,
03,252ϕa 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥>-,02,25
2ϕa ⎩⎨
⎧≥---≥,
093,5a a a 或
⎩⎨
⎧≥---<0
42,5a a a 解得
.2
9-≤a
(Ⅲ)()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12>--x ax a 的解集为()3,2;因而有
012<-++a ax x ,
这等价于方程012=-++a ax x 的两个根为2和3, 因而可解得5-=a .。