数学九年级上册《一元二次方程》单元综合测试题附答案

人教版数学九年级上学期
《一元二次方程》单元测试
【考试时间：90分钟分数：100分】
一．选择题（每题3分，共30分）
1．方程3x2+1＝6x的二次项系数和一次项系数分别为（）
A．3和6 B．3和﹣6 C．3和﹣1 D．3和1
2．方程x2＝4x的根是（）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 3．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
4．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝0，则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．2或﹣2
5．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0
6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（）
A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
7．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a≠c，以下列四个结论中，错误的是（）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
8．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为﹣1，则（）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0 9．用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16 B．±4 C．32 D．64
10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（）
A．1+x+x（1+x）＝100 B．x（1+x）＝100
C．1+x+x2＝100 D．x2＝100
二．填空题（每题4分，共20分）
11．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣19＝0的一个根是﹣3，则m的值是．12．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k有两个实数根，则k的取值范围是．13．如图，在宽为4m、长为6m的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15m2，则铺设的石子路的宽应为m．
14．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则+的值为．
15．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；
若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
17．已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
18．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问应将每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
19．如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为56m2，应如何设计道路的宽度？
20．学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程ax2+bx+c ＝0的两个根为x1，x2，由根与系数的关系有x1+x2＝﹣，x1x2＝，由此就能快速求出，x12+x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2+2x+3＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝3，得．
（1）小亮的说法对吗？简要说明理由；
（2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和；
（3）已知2﹣是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根与c的值．
答案与解析
一．选择题
1．解：3x2+1＝6x，
3x2+1﹣6x＝0，
3x2﹣6x+1＝0，
二次项系数是3，一次项系数为﹣6，
故选：B．
2．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
3．解：①当a﹣5＝0时，原方程为﹣4x﹣1＝0，
解得：x＝﹣，符合题意；
②当a﹣5≠0，即a≠5时，有△＝（﹣4）2+4（a﹣5）＝4a﹣4≥0，
解得：a≥1，
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
综上所述，a的取值范围为a≥1．
故选：A．
4．解：设t＝x2+y2，则t≥0，
原方程变形为（t+2）（t﹣2）＝0，
解得：t＝2或t＝﹣2（舍去）．
故选：B．
5．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，∴，
解得：m＝2．
故选：B．
6．解：由题意可得，
x（x﹣1）＝45，
故选：A．
7．解：A、在方程ax2+bx+c＝0中△＝b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a＝0中△＝b2﹣4ac，∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、∵和符号相同，和符号也相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
C、∵5是方程M的一个根，
∴25a+5b+c＝0，
∴a+b+c＝0，
∴是方程N的一个根，正确；
D、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a≠c，
∴x2＝1，解得：x＝±1，错误．
故选：D．
8．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根为﹣1，∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
∴（﹣1）2•a﹣b+c＝0，即a﹣b+c＝0．
故选：B．
9．解：∵x2+4x＝2，
∴x2+4x﹣2＝0，
∴a＝，b＝4，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝（4）2﹣4××（﹣2）＝64；
故选：D．
10．解：依题意得（1+x）+x（1+x）＝100．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解：将x＝﹣3代入方程可得：9﹣3m+m2﹣19＝0，即m2﹣3m﹣10＝0，
解得：m＝﹣2或m＝5，
故答案为：﹣2或5．
12．解：原方程可变形为x2﹣2x﹣k＝0．
∵方程x2﹣2x＝k有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2+4k≥0，
解得：k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
13．解：设铺设的石子路的宽应为x米，由题意得：
（4﹣x）（6﹣x）＝15，
解得：x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去）
故答案为：1．
14．解：根据题意得a+b＝1，ab＝﹣1，
所以+＝＝﹣1．
故答案为﹣1．
15．解：设每盆多植x株，可列出的方程：（3+x）（4﹣0.5x）＝15，故答案为：（3+x）（4﹣0.5x）＝15．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）∵2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝1.5；
（2）∵a＝，b＝2，c＝﹣5，
∴△＝（2）2﹣4××（﹣5）＝18＞0，
则x＝＝﹣2±3，
即x1＝，x2＝﹣5．
17．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2m）2﹣4×（m+1）（m﹣3）＞0且m+1≠0，
解得m＞且m≠﹣1；
（2）取m＝3，
此时方程为4x2+6x＝0，
整理为2x（2x+3）＝0，
∴2x＝0或2x+3＝0，
解得x1＝0，x2＝．
18．解：设应将每件涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）个，依题意，得：（1+x）（200﹣10×）＝480，
化简，得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x1＝2，x2＝7．
又∵要让顾客得到实惠，
∴x＝2．
答：应将每件涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．19．解：设道路的宽度为xm．
由题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝56×9，
化简得：x2﹣25x+24＝0，
（x﹣1）（x﹣24）＝0，
解得：x1＝1，x2＝24（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为1 m．
20．解：（1）小亮的说法不对
若有一根为震，就无法计算的值了，因为零作除数无意义．（2）所喜欢的一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0，
设方程的两个根分别是为x1，x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣6，
又∵，
代入得：＝52﹣2×（﹣6）＝37；
（3）把x＝2﹣代入方程得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，解得c＝1，
则x1+x2＝4，
则．。