第二章《极限》的认识及教学建议

第二章《极限》的认识及教学建议
第二章《极限》的认识及教学建议
一、教材结构
㈠教材地位：极限概念是本章的基础，也是后续内容导数的基础。

极限的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材。

极限的概念和思想在数学中占有重要的地位，它的思想、方法贯穿在整个数学始终。

因而本章的教学及其重要。

㈡新旧教材对比：新教材第三册（选修Ⅱ）第二章“极限”和原教材第六章“数列、极限、数学归纳法”比较有较大的变化。

把原教材“数列”部分单独列出，作为新教材第三章，把原教材中的选学内容“函数的变化率、切线的斜率、瞬时速度、函数的单调性和极值”并入到新教材第三册第三章“导数”，把原教材中“函数的极限及其四则运算”作为必学内容，同时增加了“研究性课题：杨辉三角”及“函数的连续性”等内容。

新教材删去了“两个重要极限”，而把“无穷递缩等比数列的和”作为阅读材料，如此做的目的是为了操纵教学内容和适当降低教学要求。

㈢教学目标：
⑴了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

⑵从数列和函数的变化趋势明白得数列极限和函数极限的概念。

⑶把握极限的四则运算法则，会求某些数列和函数的极限。

⑷了解连续的意义，借助几何直观明白得闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。

⑸通过“研究性课题：杨辉三角”，学会提出问题，明确探究方向，体验数学活动的过
程，培养创新精神和应用能力。

㈣教学安排：本章教学时刻约需12课时，具体分配如下（仅供参考）
2.1数学归纳法及其应用举例………………………………2课时
2.2研究性学习课题：杨辉三角……………………………3课时
2.3数列的极限………………………………………………1课时
2.4函数的极限………………………………………………2课时
2.5极限的四则运算…………………………………………1课时
2.6函数的连续性……………………………………………1课时
小结与复习……………………………………………………2课时
二、教学内容
本章内容要紧包括数学归纳法、极限。

㈠数学归纳法
演绎和归纳是数学推理的两种方法。

归纳常常是发觉问题的方法，演绎通常是严格证明的方法。

数学归纳法起源于如何证明数学猜想的研究，而这些猜想多数是来源于归纳法。

法国数学家帕斯卡在研究二项展开式时引进推理模式后，人们始称这一模式为娄学归纳法。

数学归纳法是完全归纳法，它依据的原理是皮亚诺公理，是数学中最常用的一种归纳方法。

1．保留原教材数学归纳法的要紧内容。

1)要紧内容包括：归纳法及其不足，数学归纳法原理及步骤，数学归纳法在证明等式、整除性问题和几何问题中的应用。

2)以上内容在教材中的展开次序不变。

3)原教材在以上三类应用范畴内的例题、练习和习题原则上保留下来的同时，又新增加了部分习题，如P68第七题、P101参考例题、P104复习参考题二中的第一题等，可见加强
了这三类问题的应用。

2．删去数学归纳法在三角及不等式中的应用。

3．扩张数学归纳法的背景材料。

安排阅读材料“不完全归纳法与完全归纳法”使学有余力的学生了解数学归纳法形成的背景，加强对数学归纳法的明白得，拓展对推理论证的了解。

4．增加研究性学习课题：杨辉三角。

旧教材虽提到杨辉三角但篇幅专门少，新教材在“第十章排列、组合与概率”中介绍过杨辉三角的基础上，又浓墨重彩推出了杨辉三角新的一页，本课题综合性强，需要用到排列、组合、二项式定理、数学归纳法等知识。

让学生通过研究性学习，体验数学活动的过程，锤炼学生发觉问题、提出问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。

数学归纳法是解决涉及正整数无限问题的一种重要方法，它的特点是能将无限个对象的问题用有限的方法来解决。

新教材在数学归纳法的编写上既表达了课程改革的精神，又保持了其在高中数学中的地位和作用。

即它以一种新的方法证明了原先以不完全归纳法所认可的许多数学命题，如等差、等比数列的通项公式及前n项和的公式，以归纳、猜想、证明的步骤得出数学命题，开阔学生的视野，训练了推理论证，并为后续学习打下了基础。

教学中应当注意：
1．讲清数学归纳法的两个步骤和作用是解决本节难点的重要关键。

1)“找准起点，奠基要稳”是运用数学归纳法第一个要注意的问题。

步骤（1）验证
是运用数学归纳法的基础，只有步骤（2）而没有步骤（1），就失去了推理的基础，数学归纳法便成了无本之木。

2)“用上假设，递推才真”是运用数学归纳法第二个要注意的问题。

2．寻求正确的递推关系是实现由归纳假设“n=k”向“n=k+1”转化的必定途径。

3．把握学生的实际状况是教学内容扩充和深化的全然依据。

㈡极限
1.数列极限不采纳“ε-N”定义而只采纳描述性定义。

新教材没有采纳“ε-N”定义，而通过三个数列说明它们都具有如此的特性，随着n 的无限增大，项a n无限地趋近于某个常数（即|a n-a|无限地接近于0），从而引进描述性定义。

新教材作如此的处理，可能是由于“ε-N”定义尽管给出了极限概念的精确的数学描述，但学生同意它依旧比较困难的，从后续学习看关于高校许多专业的学生而言，能从数学变化的趋势来明白得数列极限的概念差不多足够了。

另外，能够减少教学时数，让学生尽快进入后续内容的学习。

2．无穷递缩等比数列的和列为阅读材料。

无穷递缩等比数列的和作为数列极限的应用安排在旧教材的末尾,新教材由于数列
提到第一册而极限提不上去,在选修(Ⅱ)中,数列极限的四则运算和函数极限的四则运算并成一节,而将无穷递缩等比数列的和列为阅读材料。

3．两个重要极限未列入新教材。

两个重要极限在实际应用中,常常要依靠变量代换将所求极限向“模式”转化。

由于
存在极限点正确传递问题，加上两个重要极限推求难度较大，新教材只能舍去了。

4．新增函数的连续性概念
新教材增加了函数的连续性一节，函数的连续性同函数的单调性、奇偶性、周期性一样是函数的一个重要性质。

况且，运用数形结合，由图形的直观性，从学生的同意性而言也不存在障碍。

5．极限的四则运算安排函数极限的四则运算在先。

反正极限的四则运算均不给出证明，给出函数极限的四则运算后，由于数列的极限可
视为函数极限的特例，即可引出数列极限的四则运算。

6． 函数极限的应用纳入选修（Ⅱ）第三章导数。

教学中应当注意：
1.如何让学生从数列变化的趋势明白得数列极限的概念?
2.在极限教学中应注意:
1) 运用极限四则运算法则有前提，必须具备条件：数列{a n }、{b n }极限均存在。

例)1
11(
2lim +-∞→n n n n 2）极限的代数和形式即“和的极限等于极限的和”只适用于有限多项相加。

例)21(
2
22lim n n n n n +++∞→ 3）当0x x →，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关。

3.把握一些极限常用技巧
1) 无穷小量分出法求分式极限(对学生不必提无穷小量概念)，一样分子、分母同
除以n 的最高次幂再运算。

例43222lim ++-
∞
→n n n n 2)“零因子”消去法
例4
222lim --→x x x 3)化无限项为有限项 例2321lim n n n ++++∞
→ 4)裂项化简 例])
1(1321211[lim ++
+⋅+⋅∞→n n n 4． 明确函数)(x f 点0x 处连续的三个条件。

三、本章教材的特点
㈠深入浅出，突出思想方法
极限概念是本章的基础，也是后续内容的基础。

本章讲极限，并不是大学极限内容的简单下放，而重在讲思想方法，让学生把握一个工具，为他们用更高的观点、更一样的方法去解决中学数学的一些问题做预备。

在本章的引言中，引用了刘徽“割圆术”的例子，能够具体形象地让学生建立关于极限的初步印象，刘徽割圆的过程表达了数量的无限变化的过程和变化的进展趋势（即“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”），这正是极限概念和思想的要点。

极限是人们研究许多问题的工具，这些问题涉及到从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的过程。

极限的思想和方法贯穿在整个数学的始终。

例如，我们在第二册（下）中讲球体积和表面积公式的推导时，所用的“分割、求和、取极限”的方法正是极限的一个具体应用。

㈡循序渐进、加强知识间的联系
本章介绍了许多与极限有关的新概念，关于这些概念的明白得需要一个较长的过程。

因此，在编写时力求做好循序渐进，注意加强知识间的联系，在原有概念的基础上引出新概念，如此在学习新概念的同时也复习了旧概念。

例如，在引言中介绍了刘徽利用“割圆术”，借
助圆内接正多边形的周长，得出圆的周长的方法。

同时提出问题：“当n 无限增大时，圆内接正n 边形的周长是否趋近于圆周长呢？”再如，本章讨论了多种极限，其中包括数列的极限和函数的极限。

数列极限能够看作是自变量以取正整数的方式趋向于无穷大时的专门的函数极限，在讲函数极限时正是从那个地点入手来引入新课的。

由于函数的自变量有不同的变化形式，因此函数的极限又有多种形式，教材注意了它们之间的联系的区别，从一个概念引申到另一个概念。

在介绍函数)(x f 在点0x x =处连续的概念时，除借助图象直观描述外，
要紧以函数值)(0x f ，极限值)(lim 0
x f x x →都存在，且二者相等为定义方式。

这种定义与极限
关系紧密，因此如此既承上启下，又顺理成章。

本章还安排了一个阅读材料“无穷等比数列|q <1|的和”，安排那个阅读材料不仅能使学生了解无限循环小数如何化成分数形式的问题以及几何图形的面积的问题，更重要的是，如此安排也给出数列极限的一个具体应用，让学生加深关于数列极限概念的明白得。

四、教学建议
㈠结合教学内容，借助软件和技术，制作课例
随着运算机的普及，软件的技术在教学中的作用正逐步表达。

关于本章的教学内容，有许多能够与运算机辅助教学相结合。

运算机强大的运算功能、图形处理能力能专门好地表达数列、函数的运动变化过程，关于学生明白得极限概念专门有关心。

㈡结合本章内容对学生进行思想教育
通过介绍刘徽“割圆术”，对学生进行爱国主义教育,激发学生的民族自豪感，为祖国的繁荣强盛而努力学习的热情；通过对极限内容的教学，使学生从量变中认识质变，从有限中认识无限，从近似中认识精确，关心他们树立运动变化的辩证唯物主义观点。