高三数学月考试题及答案-岳阳市两校2016届高三上学期联考(文)

岳阳市两校2016届高三上学期联考
数学试卷（文）
一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分)
1、设全集U R =，集合{}{}
2,05A x x B x x =≥=≤<，则集合()
U C A B =（ ）
A. {}02x x <<
B. {}02x x <≤
C. {}02x x ≤<
D. {}
02x x ≤≤ 2.下列命题中正确的个数是 （ ）
①命题“任意(0,),21x x ∈+∞>”的否定是“任意(0,),21x x ∉+∞≤； ②命题“若cos cos x y =，则y x =”的逆否命题是真命题； ③若命题
p 为真，命题q ⌝为真，则命题p 且q 为真；
④命题”若3=x ，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2
230x x --≠”.
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个 3. 如右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )
A.2
B.4
C.6
D.8 4.若复数z 满足，(3-4i)z=5，则z 的虚部为( ) A ．45-
B ．4
5
C ．4
5
i -
D ．
45
i 5.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 4π B. C. 12π
D.
6.,a b R ∈，且22a b +=，则24a b
+的最小值是（ ）. A ． 24 B ． 16 C ． 8
D ． 4
7. 已知{}n a 是等比数列，11=a ，23=a ，则=2a （ ）
A ．2
3
B ．2
C ．2或2-
D ．以上都不对
8．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则（ ） A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)
C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)
D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)
203π
5
π
9．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2⨯2列联表进行独立性检验，经计算K 2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”是（ ） A. 0．1％
B. 1％
C. 99％
D. 99．9％
10. ()sin(),2
f x x π
θθ=+<
，函数图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则θ值
等于 （ ） A.
2
π B.
6
π C.
3
π D. -
6
π
11.函数⎩⎨
⎧=为无理数
为有理数x x x f π
1)(，下列结论不正确．．．
的是( ) A. 此函数为偶函数 B. 此函数是周期函数
C ．此函数既有最大值也有最小值
D ．方程[]1)(=x f f 的解为1=x
12.在
ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，且
2C D D B =，则AD AB ⋅的值为( )
A ．48
B ．24
C ．12
D ．6
二、填空题（本题共4小题,每题5分,共20分） 13.设曲线2
y x
=
在点(2 ,1 )处的切线与直线1y ax =-垂直，则a = ． 14．已知a =（1，2），b =（0，1），c =（一2，k ），若（a +2b ）⊥c ，则k =
15.已知a ＞0，x ，y 满足约束条件，若z =2x +y 的最小值为0，则a = ．
16.已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +==+，则n
a n
的最小值为 ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c .设向量(,)m a c a b =--，
(,)n a b c =+，且//m n .
（1）求B ；
（2）若1,3a b ==，求ABC ∆的面积．
18．（本小题满分12分）
函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜
）的部分图象如图所
示，该图象与y 轴交于点F （0，1），与x 轴交于B ，C 两点，M 为图象的最高点，且△MBC 的面积为
．
（1）求函数f （x ）的解析式及单调增区间； （2）若f （a ﹣）=，求cos 2（a ﹣
）的值．
19.（本小题满分12分）
已知数列{}n
a 是公差大于零的等差数列，数列{}n
b 为等比数列，且
112233 1,2,1,13a b b a a b ==-=+=.
（1）求数列{}n a 和{}
n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}
n c 前n 项和n S ．
20.（本小题满分12分）
某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔
考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85分，乙组学生成绩的中位数是83分. （1）求x 和y 的值；
（2）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生， 求甲组至少有一名学生的概率。

21.（本小题满分12分）
某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元（x ＞6），年销量为u 万件，若已知与
成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
（1）求年销售利润y 关于x 的函数关系式．
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
22.（本小题满分12分）
已知函数，a 为常数.
（1）若函数有两个零点，且，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，证明：
1
2
x x 的值随的值增大而增大.
()ln ln f x x x a =--()f x 12,x x 12x x <a a
参考答案
一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
C
B
A
D
C
B
C
C
D
B
二、填空题（本题共4小题,每题5分,共20分）
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.
18. 解：（Ⅰ）∵S △ABC =×；
∴周期T =π，又∵
，∴ω=2…………………………………… 3分
由f （0）=2sin φ=1，得sin φ=， ∵0＜φ＜
，∴φ=
．
∴f （x ）=2sin （2x +
）． (5)
题号
13
14
15
16
答案
2
1
2
21
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得k（k∈Z），
所以函数f（x）的调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；……………………… 8分（Ⅱ）由f（α﹣）=2sin2α=，得sin2α=，……………………………… 10分
cos2（α﹣）===．…………………………… 12分19.
20. 解（1）∵甲组学生的平均分是85，
∴92968080857978
85
7
x
+++++++
=.
∴x=5. ………………………………2分
∵乙组学生成绩的中位数是83，
∴y=3. …………………………………… 4分
（2）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E. ……………………6分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E) …………8分
其中甲组至少有一名学生共有7种情况：
(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E )
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件M ， 则7
()10
P M =.…………………………………………………………………………12分
21. 解：（1）设
，
∵售价为10元时，年销量为28万件； ∴，解得k =2． …………………3分 ∴
=﹣2x 2+21x +18．
∴y =（﹣2x 2+21x +18）（x ﹣6）=﹣2x 3+33x 2﹣108x ﹣108．……………6分 （2）y '=﹣6x 2+66x ﹣108=﹣6（x 2﹣11x +18）=﹣6（x ﹣2）（x ﹣9） 令y '=0得x =2（∵x ＞6，舍去）或x =9
显然，当x ∈（6，9）时，y '＞0当x ∈（9，+∞）时，y '＜0
∴函数y =﹣2x 3+33x 2﹣108x ﹣108在（6，9）上是关于x 的增函数；…………10分 当x =9时，y 最大值为y =135
售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元……………………12分
22. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.
1()x
f x x
-'=
，由()0f x '>得：01x <<；由()0f x '<得：1x >. 故()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减。

要使()f x 有两个零点，则(1)0f >，解得：1
0a e
<<.……………5分
（2）12,x x 是()f x 的两个零点，1122ln ln ,ln ln x x a x x a ∴-=-=，
则12
12
,x x x x a a e e ==，. 设()x x g x e =
，1()x
x
g x e -'=，所以()g x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，故对任意
1
(0,)a e ∈，函数g()x 图像与直线y a =都有两个交点.横坐标分别为12,x x ，且
12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞，如下图：
…………………………………9分
任取12
1
,(0,)a a e
∈，设12a a <，则有12112g()g(),01a ξξξξ==<<<， 12212g()g(),01a ηηηη==<<<，
由12a a <得：11()()g g ξη<，()g x 在(0,1)上递增，∴11ξη<，同理得：22ξη>，所以
11
22
ξηξη<， 故1
2
x x 的值随的值增大而增大. …………………12分
a。