Stolz定理的若干应用

Stolz定理的若干应用
Stolz定理的若干应用
XXXX
(XXXXXX大学 XXXXXX专业XXX级XX班)
摘要
极限思想是许多科学领域的重要思想之一．为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广．
本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz定理可以说是数列的L’Hospital法则，它对求数列的极限很有用．Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易．Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形．
关键词Stolz定理；数列；函数；极限
1 引言
极限论是数学分析的基础，极限问题是数学分析中困难问题之一．中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值．两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限的存在也被证明．反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路．
讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限．两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系．
极限思想是许多科学领域的重要思想之一．因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要．对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果．为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法．本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz 定理，并对Stolz 定理的结论进行了推广，讨论如何利用Stolz 定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想．
本文先叙述有关Stolz 定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz 定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易．Stolz 定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz 定理的数列情形、函数情形．
2 序列形式的Stolz 定理 2.1 ∞∞型Stolz 公式
定理2.1 (∞
∞型Stolz 公式) 设{}n x 严格递增(即N ∈∀n 有1+<n n x x )，且 +∞=∞→n n x lim ．若a x x y y n n n n n =----∞→11lim ，则a x y n
n n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(a 为有限数的情况)
因为{}n x 严格递增，所以N ∈∀n ，01>--n n x x ．记 a x x y y n n n n n ---=--1
1α． (1)
按已知条件有0lim =∞→n n α，即0>∀ε，0>∃N ，当N n ≥时，有2εα<n ．
由(1)得
.
)()()( )
)(())(( )
)(())(( )
)((1111111211211N n n n n N N N N n n n N N N N n n n n n n n n n n n n x x a x x x x y x x a x x a y x x a x x a y x x a y y -+-++-+=-+++-++==-++-++=-++=-++-++-------ααααααα
两边同时除以n x ，再同时减去a ，得 .2 2 111εεαα+-<-+-<
-++-+-≤--++n N N n N n n N N n
n n n N N N n N N n n x ax y x x x x ax y x x x x x x ax y a x y
因为+∞=∞→n n x lim ，故N N >∃1，使得1N n >时有2
ε<-n N N x ax y ． 于是εεε=+<-22a x y n n ．所以a x y n
n n =∞→lim ． 2°(+∞=a 的情况) 因为+∞=----∞
→11lim n n n n n x x y y ，所以对1=M ，0>∃N ，当N n >时，111>----n n n n x x y y ，即 N n >时，011>->---n n n n x x y y ． (2) 且有 0lim 11=----∞
→n n n n n y y x x ． 所以当N n >时，{}n y 严格递增．(2)式中令k N N n ,,2,1 ++= ，然后相加，可得
0>->-N k N k x x y y ．
令∞→k ，知+∞→k y ，即+∞=∞→n n y lim ．于是 {}n y 严格递增，+∞=∞
→n n y lim ，且0lim 11=----∞→n n n n n y y x x ．由1°的结论得0lim lim 11=--=--∞→∞→n n n n n n n n y y x x y x ，故+∞=∞→n
n n x y lim ．
3°(-∞=a 的情况)
只要令n n z y -=即可转化为2°中的情况．
注 ∞=----∞
→11lim n n n n n x x y y ，一般推不出∞=∞→n n n x y lim ．例如 {}{} , , ,3 ,2 ,1n x n =，{}{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0222=n y ． 这时虽然∞=----∞→11lim n n n n n x x y y ，但{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n x y 不趋向∞． 注 若a a n n =∞
→lim ，在Stolz 定理中设n x n =，n n a a a y +++= 21．因为 a a x x y y n n n n n n n ==--+∞→+++∞→111lim lim ，所以a n
a a a n n =+++∞→ 21lim ．因而Stolz 定理是它的推广形式．
2.2 00型Stolz 公式
定理2.2 (
00型Stolz 公式) 设∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．若a x x y y n n n n n =----∞→11lim ，则a x y n
n n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(a 为有限数的情况)
因为∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．所以
01>-+n n y y ，01>-+n n x x ． 按已知条件a x x y y n n n n n =----∞→1
1lim ，可知0>∀ε，0>∃N ,当N n >时，有 εε+<--<-++a x x y y a n n n n 1
1． 即 ))(())((111+++-+<-<--n n n n n n x x a y y x x a εε．
可得 ))(())((p n n p n n p n n x x a y y x x a +++-+<-<--εε．
令∞→p ，得 n n n x a y x a )()(εε+<<-，即
ε<-a x y n n ． 所以a x y n n n =∞
→lim ． 2°(+∞=a 的情况) 因已知+∞=----∞→11lim n n n n n x x y y ，所以对0>∀M ，0>∃N ，当N n >时，有M x x y y n n n n >--++1
1． 推得)(p n n p n n x x M y y ++->-．令∞→p ，得n n Mx y ≥，即
M x y n n ≥ )(N n >．故+∞=∞
→n n n x y lim ． 3°(-∞=a 的情况)
只要令n n z y -=即可转化为2°中+∞=a 的情况．
注 Stolz 定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要．例如
n x n n 1)1(4321--++-+-= ，2n y n =),3,2,1( =n ． 虽然11lim --+∞→--n n n n n y y x x 不存在，但是却有0lim =∞→n
n n y x ．另外，定理2.1其名为∞∞型，其实只要求分母n x ↗∞+(严格单调上升趋向无穷大)，至于分子n y 是否趋向无穷大，无关紧要．定理2.2是名副其实的0
0型．因为定理要求分子、分母都以0为极限．因此，Stolz 定理为求某些待定型极限提供了一个有用的工具．
2.3 序列形式的Stolz 定理应用
Stolz 定理，对于求序列的极限十分有用．
例1 应用Stolz 定理求极限： (1) 3
2
222)12(531lim n n n +++++→∞ ；
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-+++++∞→34)12(531lim 32222n n n n ． 解 (1) 由Stolz 定理，得
34
)1()12(lim )12(531lim 33232222=
--+=+++++∞→∞→n n n n n n n ． (2) 因为
2
3
2223222234])12(31[334)12(531n n n n n n -++++=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-+++++ ， 所以，由Stolz 定理，得
.n n n n n n n n n n 4)1(33]
)1([4)12(3lim 34])12(31[3lim 2233223222=-----+=-++++=∞→∞→ 原式 例2 设101<<x ，)1(1n n n x x x -=+),3,2,1( =n ．证明：1lim =∞
→n n nx ．
证 设{}α== ,2,1|inf n x n ，则0≥α．0>∀ε，+N ∈∃m ，使得εαα+<≤m x ．
由于02
1<-=-+n
n n x x x ，故{}n x 单调减．因此，当m n >时，有εαα+<<≤m n x x ， 可知α=∞
→n n x lim ．令∞→n ，对递推公式取极限，得0=α．即{}n x 是单调减的无穷小
量，利用Stolz 定理
11
11
lim 1lim
lim 1=-
==+∞→∞
→∞
→n
n n n n n n x x x n nx ． 例3 设数列{}n a 收敛于a ，则当)1,0(∈q 时，有
q
a
a q a q qa a n n n n n -=
++++--∞
→1)(lim 0221 ． 证 由Stolz 定理，有
.1111lim 1111)
(lim 1
22100221 q
a q q a q q a q a q a q a a q a q qa a n n n n
n n n n n n n n n -=-
=++++=
++++-∞→--∞
→ Stolz 定理，必要时可以重复使用．
例4 设k n n
k n C x ∑==0
ln ，其中!)
1()1(k k n n n C k
n +--=
，求2lim n
x n n ∞→． 解 由于{}2n 单调增且发散于∞+，由Stolz 定理
{}
.2
1)111ln(21lim 2
)1ln()1ln()2ln()1(lim Stolz 1
2ln )1ln(lim
1
211ln
lim
1
2ln ln lim )1(lim lim
111
1
01
2212 n n n n n n n k
n n n k n n n C
C
n n x x n x n n n n
k n n
k n n
k k n
n k k
n n n
n n n n =++=+-+-++=+-+=++-+=+-=-+-=+∞→∞→=∞
→=∞
→=+=+∞
→+∞→∞→∑∑∑∑定理再用
有时问题经过处理之后，方能应用Stolz 定理． 例5
设0)(lim 1=--∞
→n n n A A n ．试证：极限n
A A A n
n +++∞
→ 21lim
存在时，
n
A A A A n
n n n +++=∞
→∞
→ 21lim
lim ．
证 因n A A A n A A A A A n n n n ++++
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++-= 2121，只须证明第一项趋于零． 为了利用0)(lim 1=--∞
→n n n A A n ，特令11A a =，122A A a -=，…，1--=n n n A A a ，…，则
知0lim =∞
→n n na ，且11112211)()()(a a a A A A A A A A A n n n n n n n +++=+-++-+-=---- ．
于是
.01lim )1()1(lim )Stolz ( )1(2lim )()()(lim lim 32212112121 a n n
n n a n n
a n a a n a a a a a a a a a n A A A A n n n n n
n n n n n n n =⋅⋅-=---=-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++++++-+++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+++-∞→∞→∞→∞→∞→定理应用
所以n
A A A A n
n n n +++=∞
→∞
→ 21lim
lim ．
例6 设∑==n
k k n a A 1
，当∞→n 时有极限；{}n p 为单调增的正数数列，且
+∞→n p )(∞→n ．证明：
0lim
2211=+++∞
→n
n
n n p a p a p a p ．
证 设a A n →)(∞→n ．由于1--=k k k A A a ，所以
.
112321211122112211)()()()
()( A p A p p A p p A p p A A p A A p A p a p a p a p n n n n n n n n n
n +-++-+-=-++-+=+++---
由Stolz 定理，得
.0)(lim )()()(lim lim
1
1
1112321212211 a p p A p p A p A p p A p p A p p p a p a p a p n n n n n n n n n n n n n
n
n n =+--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-++-+-=+++---∞→--∞→∞
→ 例7 求2
1
1
21
32
21
2122122122lim 2
1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→--n n n n n ． 解 先取对数，再求极限．
.122ln 2122ln 2122ln 21122ln 211
22ln 21122ln 21
ln 1
2
32211
32221 x n n n n n
n n n n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++-+-=-++-+-=------ 应用Stolz 定理，得
2
1
ln
2121ln lim 22122ln 2lim ln lim 1
2
11
2
=-
=--
=-∞→----∞→∞→n n n n n
n n n n n x ． 故2
1lim =
=∞
→n n x 原式． 例8 设数列{}n a ，{}n b 满足：n n n b a a +=+λ1，+N ∈n ，其中1<λ．证明：
0lim 0lim =⇔=∞
→∞
→n n n n a b ．
证 "
"⇐显然成立．
""⇒设0lim =∞
→n
n b ．若0=λ，显然有0lim =∞
→n
n a
．
若0≠λ，则10<<λ．+N ∈∀n ．
, )( )(1
12211122111122231222112111⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++++=++++==+++=+++=++=++=+=---------------+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n b b b b a b b b b a b b b a b b b a b b a b b a b a a λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
++++≤+ 1 1 1 22111n n n n b b b a a λλλλ ． 令n
n n b b b a z λλλ
1
1
1
2
211++++= ，n
n y λ
1
=
．
由10<<λ知，{}n y 是严格增加的正无穷大的数列，应用Stolz 定理得
.b b y y z z y z b b b a n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n 01lim 111
lim lim lim 1 1 1 lim 111
1112211=-=-
=--==⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++++∞→+++∞→++∞→∞→∞→λλ
λλ
λλλλ 所以0lim 1=+∞
→n n a ，即0lim =∞
→n n a ．
例9 设p 为自然数，求下列各极限：
(1) 1
321lim ++∞→++++p p
p p n n n ；
(2) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++++∞→121lim p n n n p p p n ； (3) 1
)12(31lim ++∞→-+++p p
p n n n ；
(4) lim 2
n n a
n ∞→)1(>a ．
解 (1) 设∑==n
k p n k x 1
，1+=p n n y ．因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且
+∞→n y )(∞→n ．又
.)( 1
111!2)1()1(1
111
!
2)1()1(1
)1()1(1
11
111 n p n
n p p p n n p n p p n p pn pn n n n n y y x x p
p
p p p p p p p
n n n n ∞→+→++⋅++++++=+++++++++=
-++=----++++ 于是，由Stolz 定理得
11
lim 21lim lim 111+=--=+++=+++∞→+∞→∞→p y y x x n n y x n
n n n n p p p n n n n ． (2) 因为p
p p p p p p n p n n p p n n n )1(]21)[1(1211
+-++++=+-++++ ， 现设1]21)[1(+-++++=p p p n n n p x ，p n n p y )1(+=． 因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又
.)( 2
111!2)1()1(1)1()1(!31!212)1(1
!
2)1()1()1()1(!31!212)1(]
1!
2)1()[1(]1!2)1()1[(]1!2)1()[1(]1!2)1()[1(]
)1)[(1(]
)1[()1)(1(1
1
2
1212
11
21211111 n n n p p p p n p
n p p p p p n p p pn p p n p p p n p p n p p pn p n p p n p n p p pn p n p p pn n p n n p n n n p y y x x p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n n n n ∞→→++⋅-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++⋅-++++-+⎪⎭⎫
⎝⎛-++=
++-+++++++-++-++++-+
++=-++-+-++=
---------------++++
故由Stolz 定理得：当p 为自然数时
21lim 121lim 11=--=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-+++++∞→∞→n n n n n p p p n y y x x p n n n ． (3) 设p p n n x )12(31-+++= ，1+=p n n y ．则{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ． 又因为
.)( 1
211!2)1()1(1
1221
)1(!2)1()1(1
)2()2()2()1()12(11
11
111 n p n
n p p p n n p n p n p p n p n p n p n n n n y y x x p p
p
p p p p p p p p p
n n n n ∞→+→+++++++=++++++++++=
-++=
-----++++ 所以，由Stolz 定理
12lim )12(31lim 111+=--=-+++++∞→+∞→p y y x x n
n p
n n n n n p p p n ． (4) 设2n x n =，n n a y =．则由1>a 知，{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ． 又因为n n n n n n a n a a a n y y x x 1211)1(1211+⋅-=-+=--++，所以n n n n n n n a
n a y y x x 1
2lim 11lim 11+-=--∞→++∞→． 注意
n
a n 12+仍为∞
∞型)(∞→n ，且满足Stolz 定理条件 0)1(2
lim )12(1)1(2lim 12lim
1=-=-+-++=+∞→+∞→∞→a a a a n n a n n n n
n n n n ．
可知0lim 11=--++∞→n
n n n n y y x x ．故0lim lim 112
=--=++∞→∞→n n n n n n n y y x x a n ．
3 函数形式的Stolz 定理
为了求非导函数的待定式的极限，在Stloz 定理的基础上，给出了Stloz 定理的推广定理，并对定理进行了证明．
3.1 ∞
∞型Stolz 公式
定理3.1 (
∞
∞
型) 若0>T 为常数， (ⅰ) )()(x g T x g >+)(a x ≥∀；
(ⅱ) +∞→)(x g (当+∞→x 时)，且f ，g 在),[+∞a 内闭有界(即指：a b >∀，f ，
g 在],[b a 上有界)；
(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞
→)
()()
()(lim
．
则l x g x f x =+∞
→)
()
(lim
(其中l 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(l 为有限数的情况)
按已知条件+∞→)(x g (当+∞→x 时)，及l x g T x g x f T x f x =-+-++∞
→)
()()
()(lim
知
0>∀ε，0>∃A ，当A n ≥时有0)(>x g ，
2
)()()()(ε
<--+-+l x g T x g x f T x f ． (1)
记 l T n x g nT x g T n x f nT x f n --+-+-+-+=)
)1(()()
)1(()(α． (2)
则
.
)]()([)])1(()([ )]()2([)())]()1(()([ ))](2()3([ ))](()2([)())]()1(()([ ))]()2(())1(([))2(())]()1(()([))1(()
(2321 T x g nT x g l T n x g nT x g T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T x g T x g l T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T n x g T n x g T n x f l T n x g nT x g T n x f nT x f n n n n n +-++-+-++++-+++=+-+-+++++-++++-+++==+-+-+++-+--++-+=+-+-++-+=+-αααααααα
在除以)(nT x g +，减去l ，得
{}.
))1(()( )()2( )
(1
)()()()()(2T n x g nT x g T x g T x g nT x g nT x g nT x g l T x f l nT x g nT x f n -+-++++-+⨯
++++⋅-+≤-++αα
由(1)式知 2
ε
α<
k ),,2,1(n k =，因为)()(x g T x g >+)(a x ≥∀，
.
2
)()()( )()
()(2)()()( nT x g T x g l T x f nT x g T x g nT x g nT x g T x g l T x f ε
ε+++⋅-+≤
++-++
++⋅-+≤上式右端
按条件，)()(T x g l T x f +⋅-+在],[T A A +上有界，即0>∃M ，使得
M T x g l T x f ≤+⋅-+)()(．于是
2
)(ε
++≤
nT x g M 上式右端．
但+∞→)(x g (当+∞→x 时)，故0>∃N ，当N n >时有
2
)(ε
<+nT x g M ．
所以
εε
ε=+≤-++2
2)()(l nT x g nT x f ．
(3) 故NT A y +>∀，总N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=． 从而由(3)式知
ε<-l y g y f )
()
(． 即l y g y f x =+∞
→)
()
(lim
． 2°(l 为∞+的情况) 因+∞=+∞
→)(lim x g n 及+∞=-+-++∞
→)
()()
()(lim
x g T x g x f T x f x ，故0>∀M ，a A >∃，当A x >时，
0)(>x g ，
M x g T x g x f T x f 2)
()()
()(>-+-+．从而N ∈∀n ，有
M T n x g nT x g T n x f nT x f 2)
)1(()()
)1(()(>---+---+．
由此
.
)]()([2)()])1(()([2 )]()([2)()])1(()([2 )])2(())1(([2))2(()]
)1(()([2))1(()
( x g nT x g M x f T n x g nT x g M x g T x g M x f T n x g nT x g M T n x g T n x g M T n x f T n x g nT x g M T n x f nT x f -++=-+-+++-++>>-+-++-+--++-+>-+-++-+>+
两边同时除以)(nT x g +，得
)
()
(2)(2)()(nT x g x Mg x f M nT x g nT x f +-+>++．
注意到)(2)(x Mg x f -在],[T A A +上有界，而∞→+)(nT x g ，所以0>∃N ，N n >时，
M nT x g x Mg x f ->+-)
()
(2)(．于是
M M M nT x g nT x f =->++2)
()
(．
因NT A y +>∀，N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=．故
M nT x g nT x f y g y f >++=)
()
()()(． 即+∞=+∞
→)
()
(lim
y g y f x ． 3°(l 为∞-的情况)
可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．
3.2 0
0型Stolz 公式
定理3.2 (00
型) 设T>0，且
(ⅰ) )()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀； (ⅱ) 0)(lim )(lim ==+∞
→+∞
→x g x f x x ；
(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞
→)
()()
()(lim
．
则l x g x f x =+∞
→)
()
(lim
(其中l 为有限数，∞+或∞-)． 证 1°(l 为有限数的情况)
因为)()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀．所以0)()(>+-T x g x g ．按已知条件
l x g T x g x f T x f x =-+-++∞
→)
()()
()(lim
，可知0>∀ε，a X ≥∃，当X x >时，有
)]()()[()()()]()()[(T x g x g l T x f x f T x g x g l +-+<+-<+--εε．
对N ∈∀n ，由此可得
)]()()[()()()]()()[(nT x g x g l nT x f x f nT x g x g l +-+<+-<+--εε．
因为0)(lim )(lim ==+∞
→+∞
→x g x f x x ，令∞→n ，得
)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-．
即
ε<-l x g x f )
()
(．故l x g x f n =+∞→)()(lim
． 2°(l 为∞+的情况) 因+∞=-+-++∞
→)
()()
()(lim
x g T x g x f T x f x ，所以0>∀M ，a X ≥∃，当X x >时，
M x g T x g x f T x f >-+-+)
()()
()(．
推得)]()([)()(nT x g x g M nT x f x f +->+-．令∞→n ，得)()(x Mg x f ≥，即
M x g x f ≥)()(．故+∞=∞→)
()
(lim x g x f n ．
3°(l 为∞-的情况)
可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．
3.3 函数形式的Stolz 定理应用
有些问题应用上述定理可变得十分容易．如
例1 (Cauchy 定理) 若f 在),(+∞a 内有定义，且内闭有界(即),(],[+∞⊂∀a βα，f 在],[βα上有界)，则 (1) )]()1([lim )(lim x f x f x
x f x x -+=+∞→+∞→； (2) )
()1(lim )]([lim 1
x f x f x f x x
x +=+∞→+∞→ )0)((>≥c x f ， 当右边极限存在时成立．
证 (1) 令x x g =)(，则)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞
→)(lim x g x ． 又)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当
)()1()()1(lim )1()()1(lim )]()1([lim x g x g x f x f x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=-++∞→+∞
→+∞→存在时，可知 )
()(lim )(lim x g x f x x f x x +∞→+∞→=存在，且有 )]()1([lim )(lim x f x f x
x f x x -+=+∞→+∞→． (2) 已知0)(>≥c x f ，令)(ln )(x f x F =，x x g =)(，则)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞
→)(lim x g x ． 由于)(x f 在),(+∞a 上内闭有界，则)(x F 在),(+∞a 上也内闭有界．又)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当存在)()1(lim x f x f x ++∞
→，从而也存在)
()1()()1(lim )1()(ln )1(ln lim )()1(ln lim x g x g x F x F x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=++∞→+∞→+∞→时，可知 )
()1(lim )(ln lim )]([lim 1
x g x F x x f x f x x x
x +==+∞→+∞→+∞→存在，且有 )
()1(lim )]([lim 1
x f x f x f x x
x +=+∞→+∞→． 例2 设f 在),[+∞a 上有定义，内闭有界，l x
x f x f n x =-++∞→)()1(lim (l =有限数，∞+
或∞-)．则1)(lim
1+=++∞→n l x x f n x ． 证
.11121)1()1()
()1(lim 12
1)1()1()()1(lim )1()()1(lim )(lim 1111 n l x x n n n x x f x f x n n x n x f x f x x x f x f x x f n n x n n x n n x n x +=++⋅+++-+=++⋅+++-+=-+-+=+∞→-+∞→+++∞→++∞→
(l 为∞+，∞-也成立)．
例3 设函数)(x f 和)(x g 在区间),(+∞a 上满足
(1) +∞=+∞
→)(lim x g n ； (2) )(x f 、)(x g 可导，且0)('≠x g ； (3) l x g x f n =+∞
→)(')('lim ． 则l x g x f x g x f n n ==+∞→+∞→)
(')('lim )()(lim ． 证 由条件(2)可知，0)('>x g ，),(+∞∈a x ．以下验证)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上满足定理3.1(∞
∞型)的条件(取1=T )． 1) 由条件(2)，利用Lagrange 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有
0)(')()1(>=-+εg x g x g ，),()1,(+∞⊂+∈a x x ε，
即)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x 成立． 而由条件(1)，已成立+∞=+∞
→)(lim x g n ． 2) 由条件(2)知，)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上连续，从而内闭有界．
3) 由条件(2)和(3)，利用Cauchy 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有
)
(')(')()1()()1(ξξg f x g x g x f x f =-+-+，),()1,(+∞⊂+∈a x x ξ成立． 从而有
l g f x g x g x f x f n n ==-+-++∞→+∞→)
(')('lim )()1()()1(lim ξξ． 由定理3.1(
∞∞型)，得证在上述条件下成立 l x g x f x g x g x f x f x g x f n n n ==-+-+=+∞→+∞→+∞
→)(')('lim )()1()()1(lim )()(lim ．
结 论
Stolz 定理与L’Hospital 法则是数学分析中处理“∞
∞”型和“00”型极限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的”和“连续的”情形．
Stolz 定理实质上是已知数列{}n y 与正无穷大数列{}n x 的各自相邻两项增长率之比的极限，来求得
n n x y 的极限．这与求函数极限时，已知)(')('x g x f 的极限来求)()(x g x f 的极限(∞
∞型)的情形(L’Hospita l 法则)有相似之处． Stolz 定理常用于分子或分母是某一和式的极限求法，应用该定理时，要注意验证定理各条件．在同一题目中，只要定理条件满足，Stolz 定理可连续使用．
对于可导函数来说“∞
∞”型和“00”型可以互相转化，L’Hospita l 法则是求待定式极限的一个有力工具，但是对非导函数而言，求待定式极限的值比较复杂．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理还可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易，此定理为推广求非导函数的待定式的极限提供一种非常有效的方法．因此，Stolz 定理是求解证明数列和函数极限存在性的重要定理．讨论Stolz 定理在求解数列和函数极限问题中的应用是一件很有意义的工作，我们应掌握并灵活运用Stolz 定理．
致谢
在本次毕业论文的撰写过程中xxx老师给予了我极大的帮助和支持．在此，我谨对xxx老师的细心指导和帮助表示由衷的感谢!
参考文献
1 江泽坚，吴智泉，周光亚．数学分析．北京：人民教育出版社，1978
2 常庚哲，史济怀．数学分析教程．南京：江苏教育出版社，1998
3 华东师范大学数学系．数学分析．北京：高等教育出版社，1986
4 孙本旺，汪浩．数学分析中的典型例题和解题方法．长沙：湖南科学技术出版社，
1981
5 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，2002
6 刘泽庆．数学分析的典型方法与例题选讲．大连：大连海事大学出版社，1997
7 李惜雯．数学分析例题分析及难点注释(上册)．西安：西安交通大学出版社，2004
8 赵显曾，黄安才．数学分析中的方法与题解．西安：陕西师范大学出版社，2005
9 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析学习指导书(上册)．北京：高等教育
出版社，2004
10 李成章，黄玉民．数学分析上册(第二版)．北京：科学出版社，2004
11 李克典，马云苓．数学分析选讲．夏门：夏门大学出版社，2006
附录A 外文参考文献（译文）
函数的极限
4.1 定义 令X 和Y 是度量空间，假设X E ⊂，f 将E 映入Y 内．且p 是E 的极限点．凡是我们写当p x →是q x f →)(，或
q x f p
x =→)(lim (1) 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个0>ε，存在着0>δ，使得 ε<)),((q x f d Y (2) 对于满足
δ<<),(0p x d X (3) 的一切E x ∈成立．
记号X d 和Y d 分别表示X 和Y 中的距离．
如果X 和(或)Y 换成实直线，复平面或某一欧氏空间k R ，那么，距离X d 和Y d 自然该换成绝对值或相应的范数．
应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求p 是E 的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p
x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：
4.2 定理 令X ，Y ，E ，f 和p 是定义4.1说的那些，那么
q x f p
x =→)(lim (4) 当且仅当
q p f n x =∞→)(lim
(5)
对于E 中合于
p p n ≠，p p n x =∞
→lim (6) 的每个序列{}n p 成立．
证 假定(4)成立，取E 中满足(6)的{}n p ．给定了0>ε，那么就有0>δ，使得当E x ∈且δ<<),(0p x d X 时，ε<)),((q x f d Y ．同样又有N 使得当N n >时，δ<<),(0p p d n X ．这样，对于N n >，我们有ε<)),((q p f d n Y ．这就证明了(5)成立．
反过来，假定(4)不成立．这时便有某个0>ε，使得对于每个0>δ，都有点E x ∈(依赖于δ)，对这个x 来说，ε≥)),((q p f d n Y 但δ<<),(0p x d X ．取n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n 我们就在E 中找到一个满足(6)，但使(5)式不成立的序列．
推论 如果f 在p 有极限，那么这极限是唯一的．
这可以由定理3.2(b)及定理4.2推出来．
4.3 定义 设有定义在E 上的两个复数f 和g ，我们用g f +表示一个函数，它给E 的每个点x 配置的数是)()(x g x f +．我们用类似的方法定义两个函数的差g f -，积fg 及商g f ，约定商只定义在E 的那些使0)(≠x g 的点x 上．如果f 给E 的每点x 配置同一个数c ，那么f 就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作c f =．设f 和g 都是实函数，如果对于每一个E x ∈来说)()(x g x f ≥，那么有时为了简便，就记作g f ≥．
类似地，如果f 和g 把E 映入k R 内，便用
)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅
来定义g f +及fg ；再若λ是实数，便定义)(f ))(f (x x λλ=．
4.4 定理 假设X E ⊂，X 是度量空间，p 是E 的极限点，f 与g 是E 上的复函数，而且
A x f p x =→)(lim ，
B x g p
x =→)(lim ． 那么
(a) B A x g f p
x +=+→))((lim ， (b) AB x fg p
x =→))((lim ， (c) B A x g f p
x =→))((lim ，假定0≠B ． 证 依照定义4.3，这些论断可以从序列的类似性质(定理3.3)直接推出来． 评注 如果如果f 与g 将E 映入k R 内，那么(a)仍然成立，而(b)就要变为(b')
B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x p
x ． (参看定理3.4．)
为了使我们能在广义实数系中作运算，我们用领域的说法把定义4.1重述一遍，借以扩大它的范围．
对于任一实数x ，我们已经定义了x 的领域就是任一开区间),(δδ+-x x ．
4.5 定义 对于任一实数c ，合于c x >的实数x 的集叫做∞+的一个领域，记作),(+∞c ．类似地，集),(c -∞是∞-的一个领域．
4.6 定义 设f 是定义在E 上的实函数，A 与x 在广义实数系中．如果对于A 的每个领域U 存在着x 的一个领域V ，使得E V 不空，并且对一切E V t ∈，x t ≠，有U t f ∈)(．我们说
当x t →时 A x f →)(
稍一考虑即可看出，当A 和x 是实数时，这与定义4.1是一致的．
同定理4.4类似的定理仍然成立．它的证明并没有什么新的东西．为了完备起见，我们把它叙述出来．
4.7 定理 设f 与g 定义在E 上，假定当x t →时
A t f →)(，
B t g →)(；
那么
(a) ')(A t f →则有A A ='，
(b) B A t g f +→+))((，
(c) AB x fg →))((， (d) B A t g f →))((
只要(b)，(c)，(d)的右端有定义．
注意∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A 是没有定义的．
附录B 外文参考文献（原文）
Limits oF Functions
4.1 Definition Let X and Y be metric spaces ；suppose X E ⊂，f maps E into Y ，and p is limit point of E ．We write q x f →)( as p x →，or q x f p
x =→)(lim (1)
if there is a point Y q ∈ with the following property ：For every 0>ε there exists a 0>δ such that
ε<)),((q x f d Y (2) for all points E x ∈ for which
δ<<),(0p x d X ． (3) The symbols X d and Y d refer to the distances in X and Y ，respectively ．
If X and/or Y are replaced by the real line ，the complex plane ，or by some
euclidean space k R ，the distances X d ，
Y d are of course replaced by absolute values ，or by norms of differences ．
It should be noted that X p ∈，but that p need not be a point of E in the above definition ．Moreover ，even if E p ∈，we may very well have )(lim )(x f p f p
x →≠． We can recast this definition in terms of limits of sequences ：
4.2 Theorem Let X ，Y ，E ，f ，and p be as in Definition 4.1．Then q x f p
x =→)(lim (4)
if and only if
q p f n x =∞→)(lim
(5)
for every sequence {}n p in E such that
p p n ≠，p p n x =∞
→lim ． (6) Proof Suppose (4) holds ．Choose {}n p in E satisfying (6)．Let 0>ε be given ．
Then there exists 0>δ such that
ε<)),((q x f d Y if E x ∈ and δ<<),(0p x d X ．Also ，there exists N such that N n > implies
δ<<),(0p p d n X ．Thus ，for N n >，we have ε<)),((q p f d n Y ，whice show that (5) holds ．
Conversely ，suppose (4) is false ．Then there exists some 0>ε such that for every 0>δ there exists a point E x ∈(depending on δ)，for which ε≥)),((q p f d n Y but δ<<),(0p x d X ．Taking n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n ，we thus find a sequence in E satisfying (6) for which (5) is false ．
Corollary if f has a limit at p ，this limit is unique ．
This follows from Theorems 3.2(b) and 4.2．
4.3 Definition Suppose we have two complex functions ，f and g ，both
defined on
E ．By g f + we mean the the function which assigns to each point x of E the number )()(x g x f +．Similary we define the difference g f -，the product fg ，and the quotient g f of the two functions ，with the understanding that the quotient is defined only at those points x of E at which 0)(≠x g ．If f assigns to each point x of E the same number c ，then f is said to be a constant function ，or simply a constant ，and we write c f =．If f and g are real function ，and if )()(x g x f ≥ for
every E x ∈，we shall sometimes write g f ≥，for brevity ．
Similarly ，if f and g map E into k R ，we define g f + and fg by
)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅；
And if λ is a real number ，)(f ))(f (x x λλ=．
4.4 Theorem Suppose X E ⊂，a metric space ，p is a limit point of E ，f and g are complex functions on E ，and
A x f p x =→)(lim ，
B x g p
x =→)(lim ． Then
(a) B A x g f p
x +=+→))((lim ， (b) AB x fg p
x =→))((lim ， (c) B A x g f p
x =→))((lim ，if 0≠B ． Proof In view of Theorem 4.3，these assertions follow immediately from the analogous properties of sequences (Theorem 3.3)．
Remark If f and g map E into k R ，then (a) remains true ，and (b) becomes (b')
B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x p
x ． (Compare Theorem 3.4．)
To enable us operate in the extended real number system ，we shall now enlarge the scope of Definition 4.1，by reformulating it in terms of neighborhoods ．
For any real number x ，we have already defined a neighborhood of x to be any segment ),(δδ+-x x ．
4.5 Definition For any real c ，the set of real numbers x such that c x > is called a neighborhood of ∞+ and is written ),(+∞c ．Similarly ，the set ),(c -∞ is a neighborhood of ∞-．
4.6 Definition Let f be a real function defined on R E ⊂．We say that
A x f →)( as x t →，
where A and x are in the extended real number system ，if for every neighborhood U of A there is neighborhood V of x such that E V is not empty ，and such that U t f ∈)( for all E V t ∈，x t ≠．
A moment’s consideration will show that this coincides with Definition 4.1 when A and x are real ．
The analogue of Theorem 4.4 is still true ，and the proof offers nothing new ．We state it ，for the sake of completeness ．
4.7 Theorem Let f and g be defined on R E ⊂．Suppose
A t f →)(，
B t g →)( as x t →．
Then
(a) ')(A t f → implies A A ='，
(b) B A t g f +→+))((，
(c) AB x fg →))((， (d) B A t g f →))((，
provided the right members of (b)，(c)，and (d) are defined ．
Note that ∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A are not defined ．。