立方和与立方差公式

第一阶梯
例1我们来计算a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,利用这个公式计算：
12x+3y2x-3y 21+2a1-2a32x3+5y22x3-5y2 4-a2-b2b2-a2
提示：
刚开始使用公式,运算格式可分两步走,第一步先按公式特征写出一个"框架",如12x+3y2x-3y = 2- 2,第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在"框架"中填数计算;
参考答案：
12x+3y2x-3y=2x2-3y2=4x2-9y2
21+2a1-2a =12-2a2=1-4a2
32x3+5y22x3-5y2=2x32-5y22=4x6-25y4
4-a2-b2b2-a2=-a2-b2-a2+b2=-a22-b22=a4-b4
说明：
平方差公式a+ba-b=a2-b2的特征是：
1左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;
2右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方,在学习平方差公式时还应注意：
①公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式
②一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整,使它变化为符合公式标准的形式,如第4小题;
例2计算a+b2和a-b2,可知
a+b2=a+ba+b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a-b2=a-ba-b=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即a±b2=a2±2ab+b2,这就是说,两数和或差的平方,等于它们的平方和,加上或者减去它们积的2倍,这两个公式叫做乘法的完全平方公式;利用这两个公式计算1x+52 22-y2 33a+2b2 5 -a+2b2
提示：
在套用完全平方公式进行计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b;
参考答案：
1x+52=x2+2·x·5+52=x2+10x+25
22-y2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2
33a+2b2=3a2+2·3a·2b+2b2=9a2+12ab+4b2
5-a+2b2=-a2+2·-a·2b+2b2=a2-4ab+4b2
说明：
1、a+b2=a2+2ab+b2与a-b2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式;
2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘,即二项式的平方形式,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上这两项相加时或减去这两项相减时这两项乘积的2倍;
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式;
4、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生a±b2=a2±b2这样的错误;
例3计算a+ba2-ab+b2和a-ba2+ab+b2,可知
a+ba2-ab+b2=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,a-ba2+ab+b2=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即a±ba2
ab+b2=a3±b3,这就是说,两数和或差乘以它们的平方和与它们的积的差或和,等于这两个数的立
方和或差,这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算：
1x+2x2-2x+4; 23-y9+3y+y2 ;
33x-4y9x2+12xy+16y2;
53x2-2y29x4+6x2y2+4y4
提示：
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b,最后再代入公式计算;
参考答案：
1x+2x2-2x+4=x+2x2-x·2+22=x3+23=x3+8
23-y9+3y+y2=3-y32+3·y+y2=33-y3=27-y3
33x-4y9x2+12xy+16y2=3x-4y3x2+3x·4y+4y2=3x3-4y3=27x3-64y3
53x2-2y29x4+6x2y2+4y4=3x2-2y23x22+3x2·2y2+2y22=3x23-2y23=27x6-8y6
说明：
1、注意对公式的理解和记忆1项数特征：两项乘三项→积为二项,2符号特征：二项的因式若两项都为"+",则三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号相同,二项的因式符号若为"+","-",则三项的因式符号为+,+,+,积的符号与二项因式的符号相同,即是说公式在各种条件都相符的情况下,所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差",主要看乘积中第一个乘式是"两数和",还是"两数差";
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式;
第二阶梯
1x+3x-3x2+9 2 a+ba-ba2-b2
3 x-2x+2x4+4x2+16
4 a-ba2+ab+b2a6+a3b3+b6
提示：
1小题可两次使用平方差公式；
2小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式；
3小题先使用平方差公式,再使用立方差公式
4小题两次使用立方差公式;
参考答案：
1x+3x-3x2+9=x2-9x2+9=x22-92=x4-81
2a+ba-ba2-b2=a2-b2a2-b2=a2-b22=a22-2a2b2+b22=a4-2a2b2+b4
3x-2x+2x4+4x2+16=x2-4x4+4x2+16=x23-43=x6-64
4a-ba2+ab+b2a6+a3b3+b6=a3-b3a6+a3b3+b6=a33-b33=a9-b9
说明：
遇到多项式的乘法问题,首先应看看是否符合某个乘法公式,若有恰当的公式使用可大大简化运算过程;
1 a+b+ca-b-c
2 a-2b+3ca+2b-3c
3 x+2y+z2
4 2x-3y-4z2
提示：
12小题可利用平方差公式进行计算；34小题可利用完全平方公式进行计算;
参考答案：
1a+b+ca-b-c=a+b+ca-b+c=a2-b+c2=a2-b2+2bc+c2=a2-b2-2bc-c2
2 a-2b+3ca+2b-3c=a-2b-3ca+2b-3c=a2-2b-3c2=a2-4b2-12bc+9c2=a2-4b2-12bc-9c2
3x+2y+z2=x+2y+z2=x2+2x2y+z+2y+z2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2
4
2x-3y-4z2=2x-3y+4z2=2x2-2·2x·3y+4z+13y+4z2=4x2-4x3y+4z+19y2+24yz+16z2=4x2-12xy-16xz+9 y2+24yz+16z2
说明：
进行多项式乘法运算时,一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整;适当地添加括号,将有利于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如4小题还可添加括号为2x-3y-4z2,但得出的结果均相同;
例3利用乘法公式计算：
2a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2
提示：
1小题前两个因式可利用平方差公式计算,后两个因式也可利用平方差公式计算,也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式,第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式2小题类似;
参考答案：
1
解法一：
x+1x-1x2+x+1x2-x+1
= x2-1x2+12-x2
= x2-1x4+2x2+1-x2
= x2-1x4+x2+1
= x2-1x22+x2-1+12
= x23-13= x6-1
解法二：
= x+1x2-x+1x-1x2+x+1 =x3+1x3-1
= x32-12
= x6-1
2
解法一：
a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2 = a2-b2a2+b22-ab2
= a2-b2a4+2a2b2+b4-a2b2 = a2-b2a4+a2b2+b4
= a23-b23
= a6-b6
解法二：
a+ba-ba2+ab+b2a2-ab+b2
= a+ba2-ab+b2a-ba2+ab+b2
= a3+b3a3-b3
= a32-b32
=a6-b6
说明：
进行整式乘法运算时,要注意观察题目的特点,统观全局,恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算,以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和,立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错;
第三阶梯
例1
1化简化求值：x+2x2-2x+4+x-1x2+x+1,其中
2解方程：2x+12-x+1x-1-3xx-1=0
提示：
用乘法公式进行化简
参考答案：
1
x+2x2-2x+4+x-1x2+x+1
= x3+8+x3-1
= 2x3+7
当时,
22x+12-x+1x-1-3xx-1=0
解：
4x2+4x+1-x2-1-3x2+3x=0
4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0
7x=-2
说明：
在化简求值和解方程的过程中,如果遇到多项式的乘法,应先观察能否运用乘法公式,如果能运用,很多乘法就可直接应用公式写出结果,这充分简化了计算过程;
例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值;
1a2+b2 2 a2-ab+b2 3 a-b2 4 a3+b3
提示：
由完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=a+b2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值,再分别代入2,3,4,可求出2,3,4式的值;注意,第4小题应逆用立方和公式;
参考答案：
1 a2+b2=a+b2-2ab=32-2×-8=9+16=25
2 a2-ab+b2=a2+b2-ab=25--8=25+8=33
3 a-b2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×-8=25+16=41
4 a3+b3=a+ba2-ab+b2=a+ba2+b2-ab=3×25--8=3×33=99
说明：
灵活运用公式变形和逆用公式,这些都是常用的解题技巧;
例3若两个连续自然数的平方差是17,求这两个自然数的和
提示：
设一个自然数为x,另一个自然数为x+1,根据题意,列出方程,求出这两个自然数,进而求出它们的和
参考答案：
解：设这两个连续自然数是x,x+1
根据题意得,
x+12 -x2 =17
x2+2x+1-x2=17
2x+1=17
2x=16
x=8
∴x+1=8+1=9
∴x+x+1=8+9=17
答：这两个自然数的和是17;
说明：
解方程时还可逆用平方差公式x+12-x2 =x+1+xx+1-x=2x+1四、检测题
A组
选择题
1．下列各式能用平方差公式进行计算的是
A.a+2-a-2
B.-x-yy-x
C.
D.2x+yx-2y
2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式,则m的值为 D.±72
3．a3-27b3的一个因式是
+3ab+9b2
+3ab+9b2
+b2
+b2
4．若x+y=9,xy=16,则 x2+y2=
填空题
1、3x+2y= = 9x2-4y2
2、-1+2a-1-2a =
3、+y2=
4、x2+x+ =
5、9x2- +49y2=3x-7y2
6、2a+3b4a2-6ab+9b2 =
7、 m4-m2+1=m6+1
8、a2+b2=a+b2-
9、a+b2=a-b2+
10、p2-q =p6-q3
B组1、计算：
1x+2x-2x2+4
2x-y+1x+y-1
3a+b+c2
4x+3x-3x2-3x+9x2+3x+9
5
62022
2、化简求值：
3、解方程：4x-32-2x+12=3x+11-3x+9x2
答案：
A组答案：
选择题
1、B
2、D
3、A
4、C
填空题
1、3x-2y
2、1-4a2
3、++y2
4、
5、42xy
6、8a3+27b3
7、m2+1
8、2ab
9、4ab
10、p4+p2q+q2
B组答案：
1、1x4-16 2x2-y2+2y-1 3 a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc 4x6-729 640804
2、-39
3、
4、。