中考数学(直角三角形的边角关系提高练习题)压轴题训练及答案

中考数学(直角三角形的边角关系提高练习题)压轴题训练及答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数
值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米
【解析】
解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．
∴DC=BC•cos30°=3
639
=⨯=米，
∵CF=1米，
∴DC=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGF中，
BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高
2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20
【解析】
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5， ∴AB=AC=5，
设AF=x ，则CF=5﹣x ，
在Rt △ABF 中，BF 2=AB 2﹣AF 2=25﹣x 2，
在Rt △CBF 中，BF 2=BC 2﹣CF 2=2O ﹣（5﹣x ）2，
∴25﹣x 2=2O ﹣（5﹣x ）2，
∴x=3，
∴BF 2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B 到AC 的距离为4．
考点：切线的判定
3．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)
【答案】AE 的长为(123)+
【解析】
【分析】
在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解.
【详解】
过点C 作CF AB ⊥于点F
由题知：四边形CDBF 为矩形
12CF DB ∴==
在Rt ACF V 中，45ACF ∠=︒
tan 1AF ACF CF
∴∠== 12AF ∴=
在Rt CEF V 中，30ECF ∠=︒
tan EF ECF CF ∴∠= 312EF ∴= 43EF ∴=
1243AE AF EF ∴=+=+
∴求得AE 的长为()1243+
【点睛】 本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.
4．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB 段为监测区，监测点P 到AB 的距离PH 为50米（如图）．已知点P 在点A 的北偏东45°方向上，且在点B 的北偏西60°方向上，点B 在点A 的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．
【答案】车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内，可认定为超速
【解析】
分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.
详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，
∴∠PAH=∠CAB –∠CAP=30°，
∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH ∠33， ∵AC ∥BD ，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD –∠PBD=45°，
则PH=BH=50，∴3，
∵60千米/时=50
3
米/
秒，∴时间t=
50350
50
3
+
=3+33≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

5．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）
【答案】215.6米．
【解析】
【分析】
过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，
根据Rt△ACM和三角函数tan BDF
∠求出CM、DN，然后根据MN MD DN AB
=+=即可求出A、B两点间的距离.
【详解】
解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点
在Rt△ACM中，∵45
ACF
∠=︒，
∴AM=CM=200米，
又∵CD=300米，所以100
MD CD CM
=-=米，
在Rt△BDN中，∠BDF=60°，BN=200米
∴115.6
tan60
BN
DN=≈
o
米，
∴215.6
MN MD DN AB
=+=≈米
即A，B两点之间的距离约为215.6米．
【点睛】
本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.
6．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；
（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝1
2 EC；
（3）当AB＝22，且点E到AC的距离等于3﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．
【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）
633 tan
11
EAC
-
∠=
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；
（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP3，EH＝2PH＝2x，
由此FH＝31，CF＝33，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝3tan∠EAF＝23tan∠EAC＝
6-33
【详解】
（1）如图1中，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，
∴∠EDC＝90°，
故答案为90；
（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．
∵∠DAE＝∠BAP＝90°，
∴∠BAD＝∠PAE，
∵∠B＝45°，
∴∠B＝∠APB＝45°，
∴AB＝AP，
∵AD＝AE，
∴△BAD≌△PAE（SAS），
∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，
∴∠EPD＝∠EPC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴EC＝2PE＝2BD；
（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．
设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，
∴EP ＝3x ，EH ＝2PH ＝2x ， ∴FH ＝2x+3﹣1，CF ＝3FH ＝23x+3﹣3，
∵△BAD ≌△PAE ，
∴BD ＝EP ＝3x ，AE ＝AD ，
在Rt △ABG 中，∵AB ＝22，
∴AG ＝GB ＝2，
在Rt △AGC 中，AC ＝2AG ＝4，
∵AE 2＝AD 2＝AF 2+EF 2，
∴22+（2﹣3x ）2＝（3﹣1）2+（4﹣23x ﹣3+3）2，
整理得：9x 2﹣12x ＝0，
解得x ＝43
（舍弃）或0 ∴PH ＝0，此时E ，P ，H 共点，
∴AF ＝1+3，
∴tan ∠EAF ＝EF AF ＝3131
-+＝2﹣3． 根据对称性可知当点E 在AC 的上方时，同法可得tan ∠EAC ＝
6-3311． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．如图，已知二次函数212
y x bx c =
++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）点P（7，0）；（3）点N（-
7 5，
14
5
）．
【解析】【分析】
（1）将点A、
B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）利用S△ABC= 1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A，求出sinα=
22
2105
BH
AB
==，则tanα=
1
2
，在
△PMD中，tanα= MD
PM
=
1
2
22
x
=
+
，即可求解；
（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．
【详解】
（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
9
633
2
1
2
b
b c
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=--+
⎪⎩
，解得：
1
3
2
b
c
=-
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，
故：抛物线的表达式为：y=1
2
x2-x-
3
2
，
令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-3
2
，
故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；
（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，
设：∠DPC=∠BAC=α，
由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，
S△ABC=1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A，
解得：BH2
sinα=BH
AB
22
210
=
5
，则tanα=
1
2
，
由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，
延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，
在△PMD中，tanα=MD
PM
=
22
x+
=
1
2
，
解得：x=22，则CD=2x=4，
故点P（7，0）；
（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），
过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，
直线AP表达式中的k值为：8
4-
=-2，则直线A′N表达式中的k值为
1
2
，
设直线A′N的表达式为：y=1
2
x+b，
将点A′坐标代入上式并求解得：b=7
2
，
故直线A′N的表达式为：y=1
2
x+
7
2
…①，
当x=1时，y=4，
故点M（1，4），
同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，
联立①②两个方程并求解得：x=-7
5
，
故点N（-7
5
，
14
5
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．
8．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到
△AEC，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．
【答案】（1）证明见解析（2）613 【解析】
【分析】 （1）根据▱ABCD 中，AC ⊥BC ，而△ABC ≌△AEC ，不难证明；
（2）依据已知条件，在△ABD 或△AOC 作垂线AF 或OF ，求出相应边的长度，即可求出∠ABD 的正弦值．
【详解】
（1）证明：∵将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ，
∴BC ＝CE ，AC ⊥CE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴AD ＝CE ，AD ∥CE ， ∴四边形ACED 是平行四边形，
∵AC ⊥CE ，
∴四边形ACED 是矩形．
（2）解：方法一、如图1所示，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，
∵BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4，
∴在Rt △BDE 中，
2222BD BE DE 64213=+=+=∵S △BDE ＝12×DE•AD ＝12
AF•BD ， ∴AF 61313213
=， ∵Rt △ABC 中，AB 2234+5，
∴Rt △ABF 中，
sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝6136135
AF AB ==
方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，
同理可得，OB ＝
1132BD = ∵S △AOB ＝11OF AB OA BC 22
⋅=⋅，
∴OF ＝23655⨯=， ∵在Rt △BOF 中， sin ∠FBO ＝0661365
513F OB ==， ∴sin ∠ABD ＝
61365．
【点睛】
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD ．
9．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO ）的距离为120米的点P 处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为5秒且∠APO ＝60°，∠BPO ＝45°．
（1）求A 、B 之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2 1.414,3 1.73≈≈）．
【答案】
【小题1】73.2
【小题2】超过限制速度．
【解析】
AB=-73.2 (米)．…6分
解：（1）100(31)
(2) 此车制速度v==18.3米/秒
10．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）
【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．
【解析】
【分析】
过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．
【详解】
解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，
∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，
∴∠A＝∠C＝60°，
在△ABQ中，∵AQ＝（cm），
BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），
∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），
在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，
∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），
答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．
（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；
（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；
（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（032）C（12﹣33﹣18）；（3）B'（13 0），（2130）.
【解析】
【分析】
(1)设OD为x，则3x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；
(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；
(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.
【详解】
（Ⅰ）设OD为x，
∵点A（3，0），点B（0，33），
∴AO=3，BO=33
∴AB=6
∵折叠
∴BD=DA
在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．
∴9+OD2=（33﹣OD）2．
∴3
∴D（03）
（Ⅱ）∵折叠
∴∠BDC=∠CDO=90°
∴CD ∥OA ∴BD BC BO AB =且BD=AC ， ∴6633
BD -= ∴BD=123﹣18
∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93
∵tan ∠ABO=3OB AO =， ∴∠ABC=30°，即∠BAO=60° ∵tan ∠ABO=
3BD CD =， ∴CD=12﹣63
∴D （12﹣63，123﹣18）
（Ⅲ）如图：过点C 作CE ⊥AO 于E
∵CE ⊥AO
∴OE=2，且AO=3
∴AE=1，
∵CE ⊥AO ，∠CAE=60°
∴∠ACE=30°且CE ⊥AO
∴AC=2，3∵BC=AB ﹣AC
∴BC=6﹣2=4
若点B'落在A 点右边，
∵折叠
∴BC=B'C=4，3CE ⊥OA
∴22'13B C CE -=∴13∴B'（130）
若点B'落在A 点左边，
∵折叠
∴BC=B'C=4，CE=3，CE ⊥OA ∴B'E=22'13B C CE -=
∴OB'=13﹣2
∴B'（2﹣13，0）
综上所述：B'（2+13，0），（2﹣13，0）
【点睛】
本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.
12．如图，由一段斜坡AB 的高AD 长为0.6米，ABD 30∠=o ，为了达到无障碍通道的坡道标准，现准备把斜坡改长，使ACD 5.71∠=o ．
()1求斜坡AB 的长；
()2求斜坡新起点C 与原起点B 的距离.(精确到0.01米)(参考数据：
3 1.732≈，
tan5.710.100)≈o
【答案】()1?
AB 1.2=米；()2斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米． 【解析】
【分析】
()1在Rt ABD V 中，根据AB AD sin30=÷o 计算即可；
()2分别求出CD 、BD 即可解决问题；
【详解】
()1在Rt ABD V 中，1AB AD sin300.6 1.2(2
=÷=÷=o 米)， ()2在Rt ABD V 中，3BD AD tan300.6 1.039(3=÷=÷
≈o 米)， 在Rt ACD V 中，CD AD tan5.716(=÷≈o 米)，
BC CD BD 6 1.039 4.96(∴=-=-=米)．
答：求斜坡AB 的长为1.2米，斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。